5.3.1 第2课时 等比数列的判定与简单应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第2课时　 等比数列的判定与简单应用 第五章　5.3.1　等比数列 1.了解等比数列的通项公式与函数的关系. 2.掌握等比数列的判定与证明方法. 3.掌握等比数列中的项的设法. 学习目标 导语 前面我们学习了等差数列，判断一个数列是否为等差数列，有哪些方法呢？今天研究等比数列的判定，是否与等差数列的判定有类似方法呢？ 一、等比数列的通项公式与函数的关系 二、等比数列的判定与证明 课时对点练 三、等比数列中的项的设法 随堂演练 内容索引 等比数列的通项公式与函数的关系 一 问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ (x∈R)当x＝n时的函数值，即________. (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为___，公比为__. an＝f(n) ka a 知识梳理 7 例1　已知数列{an}是等比数列，且公比q大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 8 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 9 延伸探究 1.若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列 ，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 10 2.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 11 设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0， 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列， 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 12 判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列. (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列. 反思感悟 13 跟踪训练1　 √ 14 ∵a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， 15 等比数列的判定与证明 二 问题2　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性. 例2　 (1)求a1，a2； 18 (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， 19 判断一个数列是否为等比数列的常用方法 (2)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列. 反思感悟 20 跟踪训练2　 21 得an>0，Sn>0. 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 22 23 等比数列中的项的设法 三 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 25 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 26 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 27 几个数成等比数列的设法 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 反思感悟 28 (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 反思感悟 29 跟踪训练3　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____. 45 30 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 解得a＝3，q＝2. 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 31 1.知识清单： (1)等比数列与函数的关系. (2)等比数列的判定与证明. (3)等比数列中的项的设法. 2.方法归纳：定义法、分类讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是 A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列 C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列 √ 1 2 3 4 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列. 1 2 3 4 3.在数列{an}中，对任意的n∈N＋，都有an＋1＋2an＝0(an≠0)，则 等于 A.－2 B.2 C.4 D.－4 √ 由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，故{an}是以－2为公比的等比数列， 1 2 3 4 4.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)，则下列说法正确的是_______(填序号). ①a5＝－16； ②S5＝－63； ③数列{an}是等比数列； ④数列{Sn＋1}是等比数列. ①③ 1 2 3 4 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，因此a1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故③正确； 因此a5＝－1×24＝－16，故①正确； 又Sn＝2an＋1＝－2n＋1， 所以S5＝－25＋1＝－31，故②错误； 因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故④错误. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0. 若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1<an， 所以q<1； 所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为 A.108 B.54 C.36 D.18 √ 因为an＋1＝3an， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 则a4＝33a1＝54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是 A.当q>1时，{an}为递增数列 B.当0<q<1时，{an}为递增数列 C.当n∈N＋时，anan＋2>0成立 D.当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立 √ 等比数列的单调性由a1，q共同决定，易知A，B不正确； 不论q>0或q<0，an，an＋2，an＋4同号，故anan＋2>0成立，C正确，D不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知 是等差数列，且公差d≠0，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0. 又{an}是正项数列， 由等比数列的定义知，数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an＝2×4n－1＝22n－1. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1， a7a8>1， <0.则下列结论正确的是 A.0<q<1 B.a7>1 C.a8>1 D.Tn的最大项为T7 √ ∴a7>1,0<a8<1,0<q<1， ∴A正确；B正确；C错误； √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________. 2×3n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮食98斤， 甲、乙、丙按顺序衰分，乙分得28斤，则衰分比例为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＝8，q＝2时，这三个数为4,8,16；当a＝8，q＝ 时，这三个数为16,8,4. 综上，这三个数为4,8,16或16,8,4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝3a1－2×2＋3＝－4， a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列： 又a1－1＝－2， ∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求an. 由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18, 36,81}中，则q等于 ∵{an}中的项必然有正有负， ∴q<0.又|q|>1，∴q<－1. 由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为_______. 1 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝ ， 所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，若an∈(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的项数为 A.10 B.11 C.12 D.13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1＝1，an＋1＝Sn，可得a2＝S1＝a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－1，又由an＋1＝Sn， 则数列{an}从第二项起是公比为2的等比数列，即an＝2n－2，n≥2， 又由an∈(0,2 022)，即2n－2<2 022，可得n<13，n∈N＋，所以“和谐项”共有12项. 16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1，n∈N＋. 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). ·qx 解得或 可得或此时a1<a2成立， A. B. C. D.6 等比数列{an}为递减数列，若a4·a17＝6，a4＋a17＝5，则等于 联立 ∴q13＝＝， 则＝＝＝. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 解得a2＝. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋). 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， ∴a1＝－. an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－，a2＝，＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列. (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N＋)，则{an}是等比数列. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).证明：数列是等比数列. 由a1＝1，an＋1＝Sn， 由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 所以＝2·， 则＝2. 因为＝＝1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得解得或 方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得解得或 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. …，，，，aq，aq3，aq5，… (1)三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. 即 整理得 3.常见误区：四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n，则有＝＝，所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3. 2.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是 所以＝＝＝q2＝4. 5.若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 所以an＋1－4an＝0，＝4. 由a－3an＋1an－4a＝0， ∵a1>1，a7·a8>1，<0， T7是数列中的最大项，故D正确. 因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1. 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q斤， ∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或. 又0<q<1，∴q＝. 设这三个数依次为，a，aq， ∵·a·aq＝512，∴a＝8. ∵＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝， ＝ ＝＝3(n＝1,2,3，…). ∴q＝－. A.－ B. C.－ D. A. B. C. D. ②当0<q<1时，a＋aq>，即q2＋q－1>0，解得<q<1. 由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q>1时，＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1<q<； 综上，q的取值范围是∪，结合选项，q可能的值是与. 由于∀m，n∈N＋，有am＋n＝aman，且a1＝， 13.在数列{an}中，a1＝，am＋n＝aman，则a6等于 A. B. C. D. 令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝×n－1＝n， 故a6＝6＝. 因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列， 所以 解得a1＝16，q＝， 所以an＝16×n－1＝25－n， 两式相减，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，即＝2， 解得q＝或(舍去)， 所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N＋. $$