5.3.1 第1课时 等比数列的定义 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第1课时　 等比数列的定义 第五章　5.3.1　等比数列 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算. 学习目标 导语 从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷 3 500亿千克，年增稻谷可养活6 000万人口.这一切都归功于“杂交水稻之父”袁隆平，西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”，并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子？学习了本节内容之后，你就能得到这个问题的答案了. 一、等比数列的定义 二、等比数列的通项公式 课时对点练 三、等比数列中的简单运算 随堂演练 内容索引 等比数列的定义 一 问题1　观察下列情境中的数列，回答后面的问题. 有些细胞在分裂时，会从1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列1,2,4,8,16,32，…. ① 《庄子》中说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”其意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果记木棒的长度为1，则不断 取一半的过程中，每日截去一半之后木棒的长度构成数列 ….② 提示　不难看出，上述数列①②③的共同点是：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于一个常数. 具体地，数列①从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于2； 数列②从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于 ； 数列③从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于1.03. 我们都知道，如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列1 000×1.03,1 000× 1.032，…，1 000×1.035. ③ 类比等差数列的研究，你能发现上述三个数列有何共同点？ 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于_____ 常数q，即________恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的 _____. 同一个 公比 知识梳理 8 注意点： (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 知识梳理 9 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. 不是等比数列. (2)10,10,10,10,10，…； 是等比数列，公比为1. 10 不是等比数列. (4)1,0,1,0,1,0，…； 11 是等比数列，公比为－4. (5)1，－4,16，－64,256，…. 12 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 反思感悟 13 跟踪训练1　(多选)以下数列中是等比数列的是 A.数列1,3,9,27，… √ √ 14 在数列C中，若a＝0，则不是等比数列； ∴A，D是等比数列. 15 等比数列的通项公式 二 问题2　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 方法一　即an＋1＝anq， 从而a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …… 由此可得an＝a1qn－1. 方法二　由等比数列的定义可得 …… 因此可得an＝a1·qn－1. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝_______(n∈N＋). 注意点： (1)已知等比数列的首项a1和公比q，便可写出其通项公式. (2)等比数列的通项公式是an，a1，q，n之间的关系，可以解方程(组)“知三求一”. (3)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋). a1qn－1 知识梳理 19 例2　写出下列等比数列的一个通项公式： (1)－1,1，－1,1，－1，…； 数列的首项为－1，公比为－1， 所以an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n. 20 (3)5,10,20,40，…. 数列的首项为5，公比为2， 所以an＝5×2n－1. 21 写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，当公比是负数或分数时，需加括号. 反思感悟 22 跟踪训练2　已知等比数列{an}的通项公式是an＝7×21－n，试写出它的首项和公比. 当n＝1时，a1＝7×21－1＝7， 23 等比数列中的简单运算 三 例3　在等比数列{an}中. (1)a1＝1，a4＝8，求an； 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. 25 (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 故a1＝5. 26 (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 27 又an＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 28 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 29 延伸探究　将本例(1)条件改为a2＝2，a4＝8，求an. 30 当q＝2时，a1＝1，∴an＝1×2n－1＝2n－1， 当q＝－2时，a1＝－1， ∴an＝－1×(－2)n－1＝－(－2)n－1， 综上所述，an＝2n－1或an＝－(－2)n－1. 方法二　由方法一知q＝2或q＝－2. ∴an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1 或an＝a2qn－2＝2×(－2)n－2＝－(－2)n－1. 31 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 反思感悟 32 跟踪训练3　在等比数列{an}中. (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； 因为a5＝a1q4，而a1＝5， 所以a5＝405. 33 (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 34 所以an＝a1qn－1＝ . 35 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列的通项公式. (3)等比数列通项公式的简单运算. 2.方法归纳：定义法，通项公式法. 3.常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列各组数成等比数列的是 A.1，－2,4，－8，… C.x，x2，x3，x4，… D.a－1，a－2，a－3，a－4 √ 由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列. √ √ 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 024，则公比q等于 A.2 B.－2 C.±2 D.－ √ 因为a2 021＝－8a2 024， 1 2 3 4 3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32 √ 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6. 1 2 3 4 4.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________. 1或－2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的有 A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22,42,62,82，…成等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A显然正确； 等比数列的公比不能为0，故B错误； C显然正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于 A.32 B.－32 C.64 D.－64 √ 根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 故a7＝a1·q6＝－64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.数列{an}是各项为负数的等比数列，若2a1＋a2>a3，则公比q的取值范围是 A.(－1,2) B.(0,2) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(2，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}是各项为负数的等比数列，则首项a1<0，公比q>0， 因为2a1＋a2>a3，即2a1＋a1q>a1q2， 两边同时除以a1，得q2－q－2>0， 即(q＋1)(q－2)>0，解得q>2或q<－1(舍去). 故公比q的取值范围是q>2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则 A.q＝2 B.an＝2n C.18是数列中的项 D.an＋an＋1<an＋2 √ 由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确； an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误； an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝____. －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}为等比数列，设公比为q. 显然q≠1，a1≠0， 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________. 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等比数列{an}中. (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. ∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2×(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4， 若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋).若am≤128，则正整数m的最大值是 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1， 若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7， 所以m≤8，正整数m的最大值是8. 13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列的第一个数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正项等比数列{an}的公比为q，q>0， 即a1q2＝3a1＋2a1q， ∴q2－2q－3＝0，q>0，解得q＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由各项均为正数的等比数列{an}满足a10＋a9＝6a8， 可得a8q2＋a8q＝6a8，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3(舍去). ∴2m＋n－2＝16， ∴m＋n＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. ，，， ＝q (1)定义的符号表示：＝q(n∈N＋且n≥2)或＝q(n∈N＋). (1)1，，，，，…； (3)，2，3，4，…； 是等比数列，公比为. B.数列{an}中，已知＝2，＝2 C.常数列a，a，a，…，a，… D.数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋ 在B中，不一定满足＝2； 在A，D中，满足为非零常数， 提示　设一个等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q. ＝q， ＝q， ＝q， 将这n－1个式子两边分别相乘，则有＝qn－1， ＝q， (2)1，，，，…； 数列的首项为1，公比为， 所以an＝n－1. 当n＝2时，a2＝7×21－2＝， 所以q＝＝， 所以该等比数列的首项和公比分别是7，. a1＝＝＝5， 方法一　因为 由，得q＝，从而a1＝32. 所以32×n－1＝1， 所以q＝. 方法一　 ∴由得q2＝4，∴q＝2或q＝－2， q＝＝－3， 从而q＝，而a1q3＝2， 因为 于是a1＝＝， 所以 由得q3＝4， B.－，2，－2，… 解得q＝－. 所以＝－＝q3， 根据题意得， 解得或 由于≠，故不是等比数列，D错误. 2.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.(－1)nn－1 D.(－1)n＋1n－1 由题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×n－1＝(－1)2×(－1)n－1×n－1＝(－1)n＋1n－1. 若a1＝－1，a4＝8，则有q3＝＝－8，解得q＝－2， 则q2＝，解得q＝±. 4.已知{an}为等比数列，若＝4，则公比q的值为 A.±2 B.2 C.± D. ∴＝＝＝4， 则 即 由得，1－q＝3，解得q＝－2，代入①式可得a1＝1， 所以an＝4×n－1. 4×n－1 由已知可得＝， 所以q＝＝＝， ∵＝＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝ (n∈N＋). 由题意可得a－(2a2－1)a1－2a2＝0， 10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； 即2－4a2＝0，解得a2＝， 同理可得a－(2a3－1)a2－2a3＝0， 即－3a3＝0， 解得a3＝. 由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 因为数列{an}的各项都为正数，所以＝. 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 因此an＝，n∈N＋. A.8 B. C.8或2 D.8或 由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，可得＝2， ， ，， … A. B. C. D. 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝. 14.在正项等比数列{an}中，若3a1，a3,2a2成等差数列，则 ＝___. ∵3a1，a3,2a2成等差数列， ∴2×a3＝3a1＋2a2， 则原式＝＝＝. 15.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10＋a9＝6a8，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为 A.4 B. C. D.9 ∵＝4a1，＝4a1， ∴＋＝(m＋n) ＝≥＝. 当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，等号成立. 故＋的最小值等于. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，的通项公式. 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， $$