7.2 离散型随机变量及其分布列-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[学习目标]　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.3.理解两点分布． 导语 在射击比赛训练中，某运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列． 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 一、随机变量的概念及判定 问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ (4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 提示　(1)射击一次，可能命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用1,2，…，10来表示相应结果． (2)投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分． (3)共有6种，可以用1,2,3,4,5,6来表示相应结果． (4)掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 知识梳理 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 注意点： 离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示． (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值． (3)试验结果能一一列出． 例1　(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 答案　C 解析　根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0,1,2. (2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． ①某机场一年中每天运送乘客的数量； ②某单位办公室一天中接到电话的次数； ③明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； ④一瓶果汁的容量为500±2 mL. 解　①某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． ②某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． ③明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． ④由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量． 反思感悟　判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 解　(1)是离散型随机变量．只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)是离散型随机变量．从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)不是离散型随机变量．林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，故不是离散型随机变量． (4)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，故不是离散型随机变量． 二、离散型随机变量的分布列 问题2　在掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示　列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列也可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 注意点： 随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 例2　从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列． 解　根据题意，X＝0,1,2,3， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 反思感悟　求离散型随机变量的分布列的关键 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 跟踪训练2　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． 解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 三、分布列的性质及应用 例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 解　由题意，得X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. (2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. 延伸探究　本例条件不变，求P. 解　∵<X<，∴X＝，，. ∴P＝P＋P ＋P＝＋＋＝. 反思感悟　分布列的性质及其应用 (1)验证分布列是否正确． (2)求参数的值或取值范围． (3)求随机变量在某个范围内取值的概率． 跟踪训练3　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. 解　(1)由题意知P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)， ∴＝1，∴a＝10， ∴P(X＝1或X＝2)＝＝. (2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝＝. 1．知识清单： (1)随机变量的概念及判定． (2)离散型随机变量的概念． (3)离散型随机变量分布列的概念及其性质． (4)两点分布． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误． 1．下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的车辆数X B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C．一天之内的温度X D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 答案　C 解析　A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的． 2．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　) A. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B. X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C. X 1 2 3 P － D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 答案　C 解析　C选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以C选项不是随机变量的分布列． 3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)等于(　　) A．0 B. C. D. 答案　D 解析　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 X 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1，得p＝， 所以P(X＝1)＝2p＝. 4．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝______. 答案　 解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个． ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P＝P(X＝1)＝. 1．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 答案　BC 解析　根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量． 2．袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5 答案　B 解析　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数可以是1,2,3，…，7. 3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案　D 解析　甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 4．(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 答案　BCD 解析　由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1,2,3,4,5,6，所以A中的随机变量不服从两点分布． 5．设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－1|≤1)等于(　　) X －1 0 1 2 P m A. B. C. D. 答案　C 解析　由分布列的性质可得＋m＋＋＝1，则m＝，P(|X－1|≤1)＝P(0≤X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝. 6．(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案　BD 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－＝. 7．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________. 答案　0.8 解析　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0， ∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 8．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q q 则P(∈Z)＝________. 答案　0.9 解析　由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.3， ∴P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1) ＝＋1－2×0.3＝0.9. 9．某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 解　(1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费用相同，即两人都在同一时间段还车， 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A， 则P(A)＝×＋×＋×＝， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)由题可知，X可能取的值有0,2,4,6,8，且 P(X＝0)＝×＝； P(X＝2)＝×＋×＝； P(X＝4)＝×＋×＋×＝； P(X＝6)＝×＋×＝； P(X＝8)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 10.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． 解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝×＝. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200,300,400. 则P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 11．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为(　　) A. X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B. X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C. X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D. X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 答案　D 解析　易知X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝0.2×0.3＝0.06，P(X＝1)＝0.8×0.3＋0.2×0.7＝0.38，P(X＝2)＝0.8×0.7＝0.56， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 12.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8， 因为P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝， 所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 13．(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．X的所有可能取值是3,4,5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为 答案　AC 解析　记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N， 任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球． M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3,4,5，故A正确； 又P(X＝3)＝＝，故C正确； P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， 所以X最有可能的取值是4，故B，D错误． 14．已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝________. 答案　 解析　依题意，P(X＝n)＝a， 由分布列的性质得(X＝n) ＝a ＝＝1， 解得a＝. 15．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，X的取值范围为{0,1,2}，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)＝P(X＝2)， 即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)＝P(X＝2)＝. 16．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列． 解　用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数． 于是，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表： 　 第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是. 由上表，X的可能取值为2,3，…，12， 使X＝2有1种：(1,1)，则P(X＝2)＝. 使X＝3有2种：(1,2)，(2,1)，则P(X＝3)＝. 使X＝4有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)， 则P(X＝4)＝. 使X＝5有4种：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， 则P(X＝5)＝. 使X＝6有5种：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则P(X＝6)＝. 使X＝7有6种：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，则P(X＝7)＝. 使X＝8有5种：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，则P(X＝8)＝. 使X＝9有4种：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)， 则P(X＝9)＝. 使X＝10有3种：(4,6)，(5,5)，(6,4)， 则P(X＝10)＝. 使X＝11有2种：(5,6)，(6,5)， 则P(X＝11)＝. 使X＝12有1种：(6,6)， 则P(X＝12)＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 学科网（北京）股份有限公司 $$