6.3.1 二项式定理-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.1　二项式定理 [学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 导语 英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理．那么，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理的正用与逆用 问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？ 提示　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C×C＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C. 知识梳理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． (4)通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换． 例1　(1)求4的展开式． 解　方法一　4 ＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)22＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 延伸探究　若将例1(2)中的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果． 解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 反思感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 跟踪训练1　(1)求5的展开式． 解　方法一　5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　5＝ ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3·(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5] ＝32x5－120x2＋－＋－. (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 二、二项式系数与项的系数 例2　在二项式10的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)求展开式中x－1的系数． 解　(1)10的展开式的通项是 Tk＋1＝C(3)10－kk＝310－kk(k＝0,1,2，…，10)． 则展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120. (2)令＝－1，解得k＝4. 所以展开式中x－1的系数为364C＝30 240. 反思感悟　正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 跟踪训练2　已知n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中含项的系数． 解　(1) 因为二项式n的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为C，C， 所以＝，即＝，解得n＝7. (2)因为展开式的通项为Tk＋1＝C(3)7－k·k＝ 当＝－1时，k＝3， 所以展开式中含项的系数为C34＝2 835. 三、二项展开式中的特定项 例3　在二项式12的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项； (4)中间项． 解　12的展开式的通项为Tk＋1＝Cx12－k·k＝ (1)令k＝3，则T4＝(－1)3C＝－220x8. (2)令12－k＝0，解得k＝9， 所以常数项为(－1)9C＝－220. (3)当k＝0,3,6,9,12时，Tk＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4， T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. (4)因为n＝12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项． 令k＝6，得T7＝＝924x4. 反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． 跟踪训练3　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解　n的展开式的通项为Tk＋1＝ (1)∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2， ∴所求项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意得 令＝t(t∈Z)，则10－2k＝3t， 即k＝5－t. ∵k∈N， ∴t应为偶数． 令t＝2,0，－2，则k＝2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 1．知识清单： (1)二项式定理的正用与逆用． (2)二项式系数与项的系数． (3)二项展开式中的特定项． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项． 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 答案　B 解析　展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 2．(x－y)6的展开式的第3项是(　　) A．Cx4y2 B．Cx2y4 C．Cx3y3 D．－Cx3y3 答案　A 解析　由题设，(x－y)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(－y)k， ∴第3项为T3＝Cx4y2. 3.4的展开式中的常数项为________． 答案　－4 解析　4的展开式的通项为 Tk＋1＝C(x3)4－kk＝(－1)kCx12－4k， 令12－4k＝0，得k＝3， 常数项为T4＝(－1)3C＝－4. 4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________． 答案　x4 解析　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 ＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(－1)4 ＝[(x＋1)－1]4＝x4. 1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于(　　) A．17 B．16 C．15 D．14 答案　C 解析　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15. 2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　(1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk， 又展开式中x3的系数为－160， 则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6. 3.6的展开式中的常数项为(　　) A．60 B．－60 C．250 D．－250 答案　A 解析　6的展开式中的常数项为 C()4·2＝60. 4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A．840 B．－840 C．210 D．－210 答案　A 解析　在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840. 5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　) A．32 B．－32 C．1 024 D．512 答案　A 解析　a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10， 当a＝2－时，(a－2)10＝32. 6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 答案　D 解析　(1－x)5中x3项的系数为－C＝－10， －(1－x)6中x3项的系数为－C·(－1)3＝20， 故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中， 含x3的项的系数为10. 7．若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________. 答案　8 解析　(1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8. 8.6的展开式的中间项为________． 答案　－x3 解析　因为n＝6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项， 则展开式的中间项为T4＝C(x2)33 ＝C3x3＝－x3. 9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 解　(1)因为T3＝C()n－22＝， T2＝C()n－1＝ 依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9. (2)二项式9的展开式的通项为 Tk＋1＝C()9－kk＝ 令＝3，解得k＝1， 所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3. 二项式系数为C＝9. 10．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得，＋ ＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)二项式(＋)14的展开式的通项为 当且仅当k是6的倍数时， 展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. 11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．21 答案　B 解析　∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2×2＋C(x－2)×22＋C×23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6. 12．若(ax＋y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于(　　) A．2 B．±2 C．2 D．±2 答案　D 解析　展开式的通项公式是Tk＋1＝C·(ax)5－k·yk，当k＝3时，x2y3项的系数为C·a2＝80，解得a＝±2. 13．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______. 答案　5　10 解析　(x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C(－1)1＋C＝3，a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10. 14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则 (1)n的值为________； (2)含x的整数次幂的项有________个． 答案　(1)10　(2)6 解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k (1)因为第9项为常数项， 所以当k＝8时，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)要使20－k为整数，需k为偶数， 由于k＝0，1,2,3，…，9,10， 故符合要求的项有6个． 15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______． 答案　2 解析　二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝ 令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4， ∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2. ∵B＝4A，a>0，∴a＝2. 16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)． (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解　(1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4. (1＋x)3的展开式的通项为Cxr， (1＋2x)4的展开式的通项为C(2x)k， f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12， 所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12， 所以m＝12－2n. x2的系数为C＋4C＝C＋4C ＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1) ＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*， 所以当n＝3，m＝6时， 含x2的项的系数取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$