7.1.2 两条直线垂直-【初中必刷题】2024-2025学年七年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 七年级下册 RJ 1 2 第七章 相交线与平行线 3 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 垂直的定义 1.【2024河南郑州期末】小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请 你帮她解决：如图，线段和相交于点 ，则下列条件中能说明 的是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 【解析】 选项 分析 结论 A 由只能得出是的中点,不能说明 错误 B 由只能得出是的中点,不能说明 错误 C 和是对顶角，始终是相等的,不能说明 错误 D 因为 ,且 ，所以 ，所以 正确 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2023山东青岛期中】如图，点，，在同一条直线上， .若从 点引出一条射线，使，则 的度数为___________． 或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】如图（1），当在上方时，因为，所以 .又因 为 ，所以 . 图（1） 图（2） 如图（2），当在下方时,因为，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .综上所述，的度数为 或 ． 易错警示 有两种情况，先根据题意画出图形，再分情况进行讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2024江苏扬州期末】如图，直线与相交于点， . （1）若，试说明： ； 【解】因为，所以 ，即 .因为 ， 所以 ，即 ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若，求 的度数. 【解】因为，所以 ，所以 .因为，所以 ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 垂线的画法 4.【2023河北唐山期中】用直角三角板过直线外一点画直线 的垂线，则下列各 图中，画法正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】用直角三角板的一条直角边与直线重合，另一条直角边过点 ，然后沿 过点 的直角边画直线，所以C选项的画法正确，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.如图，分别过点作 的垂线. 【解】如图所示： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 垂线的性质 6.在平面内作直线 的垂线，能作出( ) D A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 【解析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线上有无 数个点，所以在平面内作已知直线的垂线，可作无数条.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点4 垂线段的性质 7.【2024广东惠州期中】在数学课上，老师提出如下问题： 如图（1），需要在，两地和公路 之间修地下管道，请你设计一个最省材料的 修建方案. 小军同学的作法如下： 如图（2）,①连接 ； ②过点作于点，则折线 即为所求. 老师说：“小军同学的方案是正确的.” 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 请回答：该方案最节省材料的依据是（填写序号）______.（ 两点之间，线段最 短；②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂线段最短） 图（1） 图（2） 【解析】依据是①两点之间，线段最短;③垂线段最短，故答案为①③. ①③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点5 点到直线的距离 8.【2024陕西延安调研】在下列图形中，线段的长表示点到直线 的距离的 是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，所 以当于点时,线段的长表示点到直线 的距离，故只有选项A符合 题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.【2024四川达州期中】如图，点在直线上，点，在直线上， ， ，，， ，则下列说法正确的是( ) A A.点到直线的距离等于4 B.点到直线 的距离等于4 C.点到的距离等于4 D.点到 的距离等于3 【解析】根据点到直线的距离的概念可知，点A到直线的距离等于4，点C到直线 的距离等于5，点C到的距离等于3，点B到的距离等于 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.【2024云南昆明期中，中】引江济淮工程是一项以城乡供水和发展江淮航运为 主要目的的大型跨流域调水工程.要确定村庄 是否对河道施工有影响，需测量村 庄到河道的距离.某测绘队沿河道规划路线 进行多次测量，如图，测得的 的度数与线段 的长度如表所示： 度数 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 长度 693 587 549 550 570 620 则下面说法正确的是( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 A.村庄到河道的距离等于 B.村庄到河道的距离小于 C.村庄到河道的距离大于 D.村庄到河道的距离等于 √ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【解析】由题意得,当,即 时， 的长度为村庄A到河道的 距离.由题表可知当 时,的长度为 .因为垂线段最短，所以 村庄A到河道的距离小于 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.【2024四川德阳期末，中】已知是直线外一点，以为一个端点作线段 ， 使端点在直线上，并且使线段的长为 ，这样的线段的条数不可能是 ( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】设点到直线的距离为.①当 时，根据“垂线段最短”可知,直 线上不存在点使 ，故此时满足条件的线段有0条，故选项A符合题意； ②当时，根据“垂线段最短”可知,直线上只存在一个点使 ， 故此时满足条件的线段只有1条，故选项B符合题意；③当时，直线 上存 在两个点使 ，故此时满足条件的线段有2条，故选项C符合题意.由上 可知,这样的线段条数不可能是3.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （第3题图） 3. 跨学科综合【2024吉林白城校级质检,中】如图是地 球截面图，其中， 分别表示赤道和南回归线，冬至正午 时，太阳光直射南回归线（太阳光线 的延长线经过地心 ），此时太阳光线与地面水平线 垂直，已知 ，则 的度数是_______. 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第4题图） 4.【2024贵州安顺期末，中】如图，点为直线 上一点，过 点作射线，使 .将直角三角板绕点 旋 转一周，当直线与直线互相垂直时， 的度数是 ___________. 或 【解析】因为 ，所以 .当在直线 的上方时，因为，所以 ，所以 .当在直线的下方时，因为 ，所 以 ，所以 .故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 5.［较难］已知和互为邻补角，且，平分 ， 射线在内部，且 ， ， ， 则 ___________． 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】分两种情况进行讨论： ①如图（1）所示，在上方.因为平分， 所以 .因为 ， ，所以 ，即 .设 ，则 ， .因 为为平角，所以 ，即 ，解得 ，所以 .又因为 ， 所以 ，所以 . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 图（2） ②如图（2）所示，在下方.同理可得， .又因为 ，所 以 ，所以 .综上所述， 的度数为 或 ．故答案为 或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 思路分析 分两种情况进行讨论：在上方和在下方，先依据已知条件求得 的度数，再根据 ，即可求得 的度数． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.思想方法 分类讨论［较难］如图（1），点，，依次在直线 上，现将射 线绕点沿顺时针方向以每秒 的速度转动，同时射线绕点 沿逆时针方向 以每秒 的速度转动，直线保持不动，如图（2），设转动时间为 秒 . （1）当时，求 的度数； 【解】当时， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）在转动过程中，当第二次达到 时，求 的值； 【解】依题意，得，解得 . 答：当第二次达到 时， 的值为26. （3）在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线 垂直？如果存在，请 求出 的值；如果不存在，请说明理由. 【解】存在.令,解得.当时， ， 解得；当时，或 ，解得 或 . 答：在转动过程中存在这样的，使得射线与射线垂直， 的值为9或27或45. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 关键点拨 （3）注意分两种情况讨论，分别构建方程求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 $$