2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第17章勾股定理微专题一 方程思想在勾股定理中的应用

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题一 方程思想在勾股定理中的应用 应用归纳 【类型1 利用勾股定理解决古代问题】 【类型2 利用勾股定理求边长】 【类型3 利用勾股定理解决折叠问题】 【类型4 利用勾股定理解决最短路径、最小值问题】 【类型5 利用勾股定理解决实际问题应用】 【类型6 勾股定理及逆定理的综合应用】 典例精析、应用专练 类型1 利用勾股定理解决古代问题 【例1】．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长． 【变式1-1】我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【变式1-2】． 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为　 　尺． 【变式1-3】．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． （1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． （2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是：　 　． （3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是　 　． （4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是　 　． （5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于　 　． （6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 类型2 利用勾股定理求边长 【例2】．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为　 　． 【变式2-1】．【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； 【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度． 【变式2-2】．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，在矩形 中，点 在 上，，作 于点 ，交 于 ，则 的长是 （　　） A． B． C．3 D．2 【变式2-4】．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为　 　． 类型3 利用勾股定理解决折叠问题 【例3】．已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处． （1）求线段EF长； （2）在平面内找一点G， ①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标； ②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标． 【变式3-1】．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　． 【变式3-2】．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【变式3-3】．在中，． （1）若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； （2）点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 类型4 利用勾股定理解决最短路径、最小值问题 【例4】．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路CH比原路CA短多少千米？ 【变式4-1】． 【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （3）【应用意识】 如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 【变式4-2】．探究函数的最小值.小聪同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A. BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是，因此，可求得y=CE +DE 的最小值为　 　，已知：则y的最大值是　 　. 【变式4-3】．如图，已知线段，点P是AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、PB为边在AB的同侧作正方形APCD和PBFE，且两正方形对角线的交点分别为M、N，则MN长度的最小值为　 　. 【变式4-4】．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s． （1）求CD的长； （2）t为何值时，△ACP是等腰三角形？ （3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有，请直接写出最小值，如果没有，请说明理由． 【变式4-5】． 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 类型5 利用勾股定理解决实际问题 【例5】．已知中，，cm，cm，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， （1）当秒时，求的面积； （2）当时，； （3）若PQ将周长分为5∶7两部分，求出t的值． 【变式5-1】．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？ 【变式5-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【变式5-3】．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 类型6 勾股定理及逆定理的综合应用 【例6】．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为　 　米． 【变式6-1】．如图， 在 Rt 中， ． 动点 在线段 上并从点 出发，沿 方向运动； 动点 在线段 上并同时从点 出发，沿 方向运动． 如果点 的运动速度均为 ， 那么运动多少秒时， 它们相距 【变式6-2】．为迎接六十周年校庆，光明中学准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点是边上的一点，过点作垂直于的小路，点在边上.经测量，米，米，米，比长12米. （1）求的面积； （2）求小路的长. 【变式6-3】．如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分. 图1 图2 （1）证明：四边形ABCD是菱形； （2）如图1，过四边形ABCD的顶点作，且，线段交于点，交于点，交的延长线于点，求证：； （3）如图2，在四边形中，若，的面积为，点是直线上一动点，连接.点在线段的左侧，为等边三角形，连接，当线段最短时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第17章勾股定理 微专题一 方程思想在勾股定理中的应用（解析版） 应用归纳 【类型1 利用勾股定理解决古代问题】 【类型2 利用勾股定理求边长】 【类型3 利用勾股定理解决折叠问题】 【类型4 利用勾股定理解决最短路径、最小值问题】 【类型5 利用勾股定理解决实际问题应用】 【类型6 勾股定理及逆定理的综合应用】 典例精析、应用专练 类型1 利用勾股定理解决古代问题 【例1】．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长． 【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+42＝（10-x）2． 解得：x＝4.2， ∴折断处离地面的高度为4.2尺， 答：AC的长为4.2尺． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理建立关于x方程并解之即可. 【变式1-1】我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺， 由勾股定理：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12，x+1=13， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【变式1-2】． 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为　 　尺． 【答案】 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示，设木柱长为尺，根据题意得： ∵ 则 解得 故答案为： 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【变式1-3】．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． （1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． （2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是：　 　． （3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是　 　． （4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是　 　． （5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于　 　． （6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【答案】（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab； 图③的面积为c2+2 ab=c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， 即a2+b2=c2； （2）S1+S2=S3 （3）47 （4）S1+S2=S3 （5）30 （6）设绳索长为x尺，根据题意得： x2-（x-3）2=82， 解得：x= ， 答：绳索长为 尺． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：【探究二】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=c2，S1=a2，S2=b2， ∴S1+S2=a2+b2=c2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47； 故答案为：47； 【探究三】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3= πc2，S1= πa2，S2= πb2， ∴S1+S2= πa2+ πb2= πc2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用： 阴影部分面积和=S1+S2+ ab-S3= ab， ∵a=5，c=13， ∴ 12， ∴阴影部分面积和= ×5×12=30， 故答案为：30； 【分析】（1）根据图象，用不同的表达式表示出同一图形的面积，列出等式化简即可； （2）根据勾股定理的性质求解即可； （3）根据勾股定理的性质求解即可； （4）根据勾股定理的性质求解即可； （5）根据勾股定理列出方程求解即可。 类型2 利用勾股定理求边长 【例2】．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 【分析】过点M作于点N，设与交于点K，利用全等三角形可得，．进而得到，然后推理得到，即可得到，设，利用勾股定理解题即可． 【变式2-1】．【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； 【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形、都是正方形，∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴； （2）仍然成立； 证明：连接，∵O是矩形的中心， ∴O在上，且， 延长交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵矩形中，， ∴垂直平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴； （3）当点F在边上时，如图，因为，所以， 根据（2）的结论可得：， 设，则， 则，解得，即， ∴（cm）； 当点F在边延长线上时，如图，同理可证：， 设，则， ∵， ∴， 解得：，即， ∴（cm）； 综上，或cm． 【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得到，即可得到，进而得到，再利用勾股定理得到结论即可； （2）连接，可以得到，即可得到，再利用勾股定理得到结论即可； （3）设，分点F在边上，点F在边延长线上两种情况，结合（2）的结论，利用勾股定理列方程解题即可． 【变式2-2】．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：根据题意可知，，，， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ∴绳索的长是， 故答案为：A． 【分析】设，则，再利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可. 【变式2-3】．如图，在矩形 中，点 在 上，，作 于点 ，交 于 ，则 的长是 （　　） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定 【解析】【解答】解：设， ∵四边形是矩形，AD=10，， ∴，，， ∵AE=10， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：B． 【分析】设，先利用矩形的性质与勾股定理求得BE，就可利用，求出EC，再说明，就可用x表示出EF，利用勾股定理，可得到关于x的方程求解，求得CF． 【变式2-4】．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴∠EMN=∠FMN=90°， ∴， ∴ ， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， 即 ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】连接BE、BF、EN，由正方形的性质得AB=BC=CD，∠BAE=∠BCD=∠BCF=∠ABC=90°，由SAS证△ABE≌△CBF，得∠ABE=∠CBF，BE=BF， 从而由角的和差及等量代换推出∠EBF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，然后用SAS证△EMN≌△FMN，可得EN=FN，设CN=x，用含x的式子表示出EN、DE，在Rt△EDN中，利用勾股定理可算出x的值，从而得到CN、BC的长，进而再在Rt△BCN中，利用勾股定理算出BN即可. 类型3 利用勾股定理解决折叠问题 【例3】．已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处． （1）求线段EF长； （2）在平面内找一点G， ①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标； ②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标． 【答案】解：解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°， 由折叠性质得：EF＝DE，AF＝AD＝10， ∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣EF＝6﹣EF， 由勾股定理得：BF＝OF， ∴FC＝OC﹣OF＝10﹣8＝2， 在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+FC2， 即：EF2＝（6﹣EF）2+22， 解得：EF＝； （2）①如图所示： 当AB为平行四边形的对角线时，AG＝BF＝8，， ∴点G的坐标为：（﹣8，6）； 当AF为平行四边形的对角线时，AG'＝BF＝8，， ∴点G'的坐标为：（8，6）； 当BF为平行四边形的对角线时，FG''＝AB＝6，， ∴点G''的坐标为：（8，﹣6）； 综上所述，点G的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）； ②如图，当为菱形的对角线时， ∵四边形AOGF为菱形， ∴OA＝AF＝10， ∴矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝10﹣6＝4， 即OB＝4， 设FG交x轴于H，如图所示： ∵，轴， ∴∠FBO＝∠BOH＝∠OHF＝90°， ∴四边形OBFH是矩形， ∴FH＝OB＝4，OH＝BF＝8， ∴HG＝10﹣4＝6， ∴点G的坐标为：（8，﹣6）． 如图，当为菱形的对角线时， 则 如图，当为菱形的对角线时， 同理可得： 且 解得： 即 综上：平移距离与的坐标分别为：或或． 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）先利用折叠的性质可得EF＝DE，AF＝AD＝10，再利用勾股定理求出BF＝OF，再利用勾股定理可得EF2＝（6﹣EF）2+22，最后求出EF的长即可； （2）①分类讨论：当AB为平行四边形的对角线时；当AF为平行四边形的对角线时；当BF为平行四边形的对角线时；再分别求出点G的坐标即可； ②分类讨论：当为菱形的对角线时；当为菱形的对角线时；当为菱形的对角线时，再分别画出图形并利用菱形的性质求出点G的坐标即可. 【变式3-1】．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　． 【答案】3或6 【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质 【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1）， ∵∠CED'＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝6； （2）当∠ED'A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形， 即∠CD'E＝90°， ∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°， ∴A、D'、C在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴CD'＝10−6＝4， 设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x， 在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2， 即x2＋16＝(8−x)2， 解得x＝3， 即DE＝3； 综上所述：DE的长为3或6； 故答案为：3或6． 【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理求出x值即可． 【变式3-2】．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）解：①由折叠得 ， ②由①知， 过点D作延长线于点H，则∠H=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB=8，AB∥CD， ∴∠B=∠DCH=60°， ∴∠CDH=30°， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K． 易得四边形为平行四边形，四边形KHDG是矩形， ∴设，则， 由（1）知， ， 在中，， 同（1）中方法得， ． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）①由折叠性质得，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠1，则可得∠2=∠DAE，从而由等角对等边可得结论； ②过点D作DH⊥BC延长线于点H，由平行四边形性质得DC=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DCH=60°，则∠CDH=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH，然后利用勾股定理算出EH，最后根据线段和差求解即可； （2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，设，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形，由矩形对边相等得HK=DG=x，由线段和差算出EH=17，根据勾股定理算出GE，由（1）的方法得AG得长，进而即可算出BE的长. （1）解：①由折叠得 ， ②由①知， 过点D作延长线于点H， ， 在中，， 在中，， ， （2）延长交的延长线于点G， 过点G作于点H，过点D作于点K． 根据题意得四边形为平行四边形， ∴设，则， 由（1）知， ， 在中，， 同（1）中方法得， ． 【变式3-3】．在中，． （1）若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； （2）点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【答案】（1）解：如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， （2）解：如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． （1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 类型4 利用勾股定理解决最短路径、最小值问题 【例4】．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路CH比原路CA短多少千米？ 【答案】（1）解：∵在中，，，， ∴， 是以∠BHC为直角的直角三角形， ∴CH⊥AB， ∵点到直线垂线段的长度最短， ∴CH是村庄C到河边的最近路； （2）解：设， 千米， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 千米， ∴CH比CA短千米． 【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△CHB是以∠BHC为直角的直角三角形，再利用垂线段最短的性质可得CH是村庄C到河边的最近路； （2）设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出CH比CA短千米即可． 【变式4-1】． 【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （3）【应用意识】 如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 【答案】（1）解：当a＞0时， ≥4.∴当且仅当时，即a＝2时，取得最小值，最小值为4 （2）解：当a＞0时， ≥9 ∴当且仅当时，即a＝1时，取得最小值，最小值为9. （3）解：设BC为x米，则AC为，AB为 ≥80 ∴当且仅当时，即时，取得最小值，最小值为80. ∴AB的最小值为． 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）利用阅读材料的方法，将式子配方后求出最小值，并求出此时a的值； （2）依照（1）的做法，将式子配方后求出最小值，并求出此时a的值； （3）设BC为x米，用x分别表示出AC，AB，再配方后求出最小值. 【变式4-2】．探究函数的最小值.小聪同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A. BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是，因此，可求得y=CE +DE 的最小值为　 　，已知：则y的最大值是　 　. 【答案】2；​​​​​​​ 【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E， 由轴对称的性质得CE=C'E，AC=AC'=1， ∴CE+DE=C'E+DE=C'D，则CE+DE的最小值为C'D， ∵ AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD，∠B=90°， 又AC=BD=1， ∴四边形ABDC是矩形， ∴CD=AB=4，∠ACD=90°， 在Rt△C'CD中，C'D=，即y=CE +DE 的最小值为； 如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F， ∴四边形ABDF是矩形，∴AF=BD=5，AB=DF=3， 设CB=x，则CD=5+x， ∴，，，当AE、AC在同一直线上时，最大为. 故答案为：； . 【分析】作C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，由轴对称性质得CE=C'E，AC=AC'=1，则CE+DE=C'E+DE=C'D，即CE+DE的最小值为C'D；判断出四边形ABDC是矩形，得CD=AB=4，∠ACD=90°， 在Rt△C'CD中，由勾股定理算出C'D即可得出答案；如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F，判断出四边形ABDF是矩形，得AF=BD=5，AB=DF=3，设CB=x，则CD=5+x，用勾股定理分别表示出CE、AE、AC，当当AE、AC在同一直线上时y=CE-AC=AE最大，从而即可得出答案. 【变式4-3】．如图，已知线段，点P是AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、PB为边在AB的同侧作正方形APCD和PBFE，且两正方形对角线的交点分别为M、N，则MN长度的最小值为　 　. 【答案】5 【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质 【解析】【解答】解：设， ， ， 四边形、是正方形， ，，，， ，，， ， 当时，， 当时，有最小值5， 故答案为：5. 【分析】利用正方形的性质求出MP、NP的长度，再通过勾股定理表示出MN的长，然后运用配方法求得MN最小值. 【变式4-4】．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s． （1）求CD的长； （2）t为何值时，△ACP是等腰三角形？ （3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有，请直接写出最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°． ∵CD为AB边上的高， ∴AC•BC=AB•CD， ∴CD=4.8cm； （2）①当点P在BC上时． ∵∠ACB=90°，若△ACP为等腰三角形，只有AC=PC=6， ∴t==6s； ②当点P在AB上时． ∵△ACP为等腰三角形， ∴分三种情况：当AC=AP时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，解得：t=9， 当AC=CP=6时，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，解得：t=8.4， 当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，解得：t=9.5． 综上所述：t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形； （3）如图作点A关于BC的对称点A'，过A'作A'N⊥AB于N，交BC于M，则A'N就是AM+MN的最小值． ∵CD⊥AB， ∴CD∥A'N． ∵AC=CA'， ∴AD=DN， ∴A'N=2CD=9.6，即AM+MN的最小值为9.6． 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形的综合；三角形-动点问题 【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得AC2+BC2=AB2，则∠ACB=90°，再根据三角形面积即可求出答案. （2）分情况讨论：①当点P在BC上时，根据等腰三角形性质可得t==6s，②当点P在AB上时，结合等腰三角形性质分三种情况：当AC=AP时，当AC=CP=6时，当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）作点A关于BC的对称点A'，过A'作A'N⊥AB于N，交BC于M，'则A'N就是AM+MN的最小值，根据直线平行判定定理可得CD∥A'N，再根据边之间的关系即可求出答案. 【变式4-5】． 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）解：是，理由， 在中，，， ， ， 根据垂线段最短，则CH是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：，， 解得：， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）通过证明 CH2+BH2=BC2 ，可得 CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路； （2） 设AC=x在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 可得方程即可求解，根据勾股定理解答即可. 类型5 利用勾股定理解决实际问题 【例5】．已知中，，cm，cm，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， （1）当秒时，求的面积； （2）当时，； （3）若PQ将周长分为5∶7两部分，求出t的值． 【答案】（1）解：∵，， ∴，∴ （2）解：设， 在中，由勾股定理得，， ∴，∴，∴， ∴点Q在AC上，∴， （3）解：，， 当时，时，，∴（舍去）， 当时，， ∴（舍去）， 当时， 当时，，∴， 当时，，∴， 综上所述：或 【知识点】勾股定理的应用；三角形-动点问题 【解析】【分析】（1）先计算出t=1时，BP，BQ的长度，再计算△BPQ的面积即可. （2）根据AP＝CP，运用勾股定理列方程进行求出AP的长，再根据AP的长计算出运动时间得出CQ的长. （3）Q可能在BC上也可能在AC上，并且被PQ分成的两部分的长度也要分两种情形，要分不同情形进行求解. 【变式5-1】．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？ 【答案】解：设AE=x，则BE=25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2=AD2+AE2=102+x2， 在Rt△BCE中， CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE=CE， 所以：102+x2=152+（25﹣x）2， 解得：x=15km．（6分） 所以，E应建在距A点15km处 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可． 【变式5-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【答案】解：在Rt△ACB中AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】根据题意先求出 x2＝42+（x﹣1）2， 再求解即可。 【变式5-3】．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得： ∴的长为． 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用 【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，，再结合，可得，最后求出x的值即可. 类型6 勾股定理及逆定理的综合应用 【例6】．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为　 　米． 【答案】3 【知识点】勾股定理；勾股定理的应用 【解析】【解答】解： 设大树顶端触地点距大树的距离为x米， 根据题意可知： 解得：x=3或x=-3（舍） 故答案为： 大树顶端触地点距大树的距离为3米. 【分析】本题考查勾股定理的应用问题。 【变式6-1】．如图， 在 Rt 中， ． 动点 在线段 上并从点 出发，沿 方向运动； 动点 在线段 上并同时从点 出发，沿 方向运动． 如果点 的运动速度均为 ， 那么运动多少秒时， 它们相距 【答案】解：设运动 x s时，它们相距5cm. 则CQ=（7-x） cm，CP=x cm. 根据题意，得 解得 答：运动大动3s时或4s，它有相距5cm. 【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-动态几何问题 【解析】【分析】设运动x 秒，则根据题意可用x表示出CP、CQ长，而P、Q距离为PQ，则结合勾股定理可得出CP2+CQ2=PQ2，代入并求解关于x的一元二次方程即可. 【变式6-2】．为迎接六十周年校庆，光明中学准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点是边上的一点，过点作垂直于的小路，点在边上.经测量，米，米，米，比长12米. （1）求的面积； （2）求小路的长. 【答案】（1）解：米，米，米， ∴AB2=AD2+BD2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°， . 答：的面积是； （2）解：由（1）知，， 比长12米，. 由勾股定理知：CD2+AD2=AC2， 即CD2+242=（CD+12）2， 米，米， ， ， （米）， 答：小路的长为米. 【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，根据进行计算即可； （2）由勾股定理得CD2+AD2=AC2，即CD2+242=（CD+12）2，求出CD的长，继而求AC的长，根据可求出DE的长. 【变式6-3】．如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分. 图1 图2 （1）证明：四边形ABCD是菱形； （2）如图1，过四边形ABCD的顶点作，且，线段交于点，交于点，交的延长线于点，求证：； （3）如图2，在四边形中，若，的面积为，点是直线上一动点，连接.点在线段的左侧，为等边三角形，连接，当线段最短时，求的值. 【答案】（1）解： ，， 四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在上截取，过点作交于点，连接、， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ， ， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ 在与中，，，， ， ， 在中，， ， ，即， ； （3）解：在中，设，过点A作于E， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为边在下方作等边，连接， ∴， ， ，而，， ， ， 当于点P时，最短，即最短， 在中，，，在上取点使， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ，解得， 即此时的值 【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质 【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的判定结合菱形的判定即可求解； （2）在上截取，过点作交于点，连接、，先根据等腰直角三角形的判定与性质得到，再根据菱形的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定与性质得到，，进而根据平行公理及其推论结合题意即可得到，根据平行线的性质得到，从而结合题意证明得到，再结合等腰直角三角形的性质进行线段的运算即可求解； （3）设，过点A作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据三角形的面积即可得到，从而得到，以为边在下方作等边，连接，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而即可得到当于点P时，最短，即最短，在中，，，在上取点使，进而即可得到，，设，从而结合勾股定理即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$