数学（上海卷02）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，或，则 . 【答案】 【详解】由题意， 故答案为：． 2．已知i为虚数单位，复数，则 . 【答案】 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 3．若函数的最小正周期是，则的取值可以是 ．（写出一个即可）． 【答案】2或-2（写一个即可） 【详解】由题知，， 即：， 解得：. 故答案为：2或-2（写一个即可）. 4．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 【答案】33 【详解】因为，故中位数是，解得； 因为，故75%分位数是，则； 所以 故答案为：33. 5．已知，则 （结果用数字表示） 【答案】 【详解】由题意得， . 故答案为：. 6．设等差数列中，，前项和为，则 ． 【答案】30 【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 7．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（，） 【答案】 【详解】根据题意一个星期后，记忆内容剩余；二个星期后，记忆内容剩余； 个星期后，记忆内容剩余，为使得所记忆的内容不低于原来的， 则有，为增函数，对上式两边取对数有， ，，又因为，所以， 即，，，， 所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习. 故答案为： 8．已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 【答案】4 【详解】作出示意图如图所示： 当时，与渐近线平行，在轴的投影为2， 不妨取渐近线，令其倾斜角为，则， 所以，所以. 故答案为：4. 9．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为 ． 【答案】9450 【详解】将10名志愿者分成4组，每组至少2人，有两种分组方案： （1）若小组人数分别为2，2，2，4，则有种； （2）若小组人数分别为2，2，3，3，则有种，所以共有种． 故答案为：9450 10．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 11．如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕看所在直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积 ． 【答案】625 【详解】设，， 则，① ，② ②①得，所以，可得， 则三角形旋转得到的几何体的体积. 故答案为：. 12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．若a、b、且，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C．（n为自然数） D． 【答案】C 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，，所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误. 故选：C 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强， 故，，，故，所以. 故选：C. 15．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C. 16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以不小于1992，所以②正确. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的值. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以，又， 所以.……（7分） （2）由正弦定理知，， 所以， 所以， 解得， 所以.……（7分） 18．（14分）如图：平面，四边形为直角梯形，， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； 【详解】（1）在中，， 所以， 所以，所以， 因为平面平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面；.……（7分） （2）因为平面，所以，又， 所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系： 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得，得， 取平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为．.……（7分） 19．（14分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 (1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【详解】（1）由题设，，则， 所以，所以； 当时，代入，得到， 所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次..……（7分） （2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2， ，，， 0 1 2 所以..……（7分） 20．（18分）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 【详解】（1）由函数，可得，所以，. 又由，所以，解得...……（6分） （2）若，可得， 则，则不等式可化为， 即对任意恒成立， 令，则，设函数，可得， 因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增， 所以，故，即实数的取值范围为...……（6分） （3）解法1：由， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当时等号成立. 因此有， ， ， 以上个式子相加得： . 解法2：由， 可得， 当且仅当时等号同时成立. 故， ， ， 以上个式子相加得： ...……（6分） 21．（18分）如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． (1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； (2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 【详解】（1）由得：，，且的离心率为； 恰为的两个焦点，即椭圆的半焦距， 又椭圆的离心率，，， 椭圆的方程为：...……（6分） （2）设，则，即， ，， ， 为定值，定值为...……（6分） （3） 设直线与椭圆交于另一点，由椭圆对称性可知：关于坐标原点对称， 设直线，，，则， 由得：， 则， ，， ， 由（2）知：， ， 解得：，又，...……（6分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，或，则 . 2．已知i为虚数单位，复数，则 . 3．若函数的最小正周期是，则的取值可以是 ．（写出一个即可）． 4．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 5．已知，则 （结果用数字表示） 6．设等差数列中，，前项和为，则 ． 7．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（，） 8．已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 9．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为 ． 10．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 11．如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕看所在直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积 ． 12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．若a、b、且，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C．（n为自然数） D． 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 15．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的值. 18．（14分）如图：平面，四边形为直角梯形，， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； 19．（14分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 (1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 20．（18分）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 21．（18分）如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． (1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； (2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若集合，或，则 . 2．已知i为虚数单位，复数，则 . 3．若函数的最小正周期是，则的取值可以是 ．（写出一个即可）． 4．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 5．已知，则 （结果用数字表示） 6．设等差数列中，，前项和为，则 ． 7．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．（，） 8．已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 9．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10名志愿者分成4组，每组至少2人，则不同的分组方法种数为 ． 10．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 11．如图，已知三角形为直角三角形（为直角），分别连接点与线段的等分点，，…，得到个三角形依次为，，…，，将绕看所在直线旋转一周，记，，…，旋转得到的几何体的体积依次为，，…，，若，则三角形旋转得到的几何体的体积 ． 12．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．若a、b、且，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C．（n为自然数） D． 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 15．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的值. 18．（14分）如图：平面，四边形为直角梯形，， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； 19．（14分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 (1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 20．（18分）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 21．（18分）如图，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． (1)若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； (2)如图，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3. 2或-2（写一个即可） 4.33 5. -56 6. 30 7. 10 8.4 9.9450 10. 3 11. 625 12. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 C C C A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（14分）【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以，又， 所以.……（7分） （2）由正弦定理知，， 所以， 所以， 解得， 所以.……（7分） 18．（14分）【详解】（1）在中，， 所以， 所以，所以， 因为平面平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面；.……（7分） （2）因为平面，所以，又， 所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系： 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得，得， 取平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为．.……（7分） 19．（14分）【详解】（1）由题设，，则， 所以，所以； 当时，代入，得到， 所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次..……（7分） （2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2， ，，， 0 1 2 所以..……（7分） 20．（18分）【详解】（1）由函数，可得，所以，. 又由，所以，解得...……（6分） （2）若，可得， 则，则不等式可化为， 即对任意恒成立， 令，则，设函数，可得， 因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增， 所以，故，即实数的取值范围为...……（6分） （3）解法1：由， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当时等号成立. 因此有， ， ， 以上个式子相加得： . 解法2：由， 可得， 当且仅当时等号同时成立. 故， ， ， 以上个式子相加得： ...……（6分） 21．（18分）【详解】（1）由得：，，且的离心率为； 恰为的两个焦点，即椭圆的半焦距， 又椭圆的离心率，，， 椭圆的方程为：...……（6分） （2）设，则，即， ，， ， 为定值，定值为...……（6分） （3） 设直线与椭圆交于另一点，由椭圆对称性可知：关于坐标原点对称， 设直线，，，则， 由得：， 则， ，， ， 由（2）知：， ， 解得：，又，...……（6分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$