第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义——2025届高三数学一轮复习

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标要求； 1.理解同角三角函数的基本关系式： ，. 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题. 考情分析； 本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查，难度不大，属简单题. 理一理 1. 同角三角函数的基本关系 （1） 平方关系：①  . （2） 商数关系：②  其中,. ［提醒］ 平方关系对任意角都成立，而商数关系中. 2. 三角函数的诱导公式 角 正弦 ③   ④   ⑤   ⑥   ⑦   余弦 ⑧   ⑨   ⑩   ⑪   ⑫   正切 ⑬   ⑭   ⑮   ［点拨］ 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“”中，将 看成锐角，“”的终边所在的象限. 记一记 1.同角三角函数关系式的常用变形 （1）; ; . （2）. （3）； . 2.; . 用一用 1. 已知，且,则 2. 已知，则的值构成的集合是 核心考点⇄师生共研 考点一 同角三角函数基本关系的应用 角度1 “知一求二”问题 例1 [2023·全国乙卷]若,，则 解题技法 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 角度2 “弦切互化”问题 例2 （一题多解）已知，，则（ ） A. B. C. D. 思路一：条件等式平方转化为 , 的齐次分式，弦化切求出 . 思路二：条件等式平方化为 , 的齐次式，降幂，弦化切. 思路三：把条件等式与联立，求出 , 的值，进而求 的值. 思路四：运用对偶思想，引入新元，通过解方程组求 . 解题技法 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 （1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以 的次幂，将分式的分子与分母化为关于 的式子，代入 的值即可求解. （2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用 替换，再将分子与分母同除以 ，化为只含有 的式子，代入 的值即可求解. 角度3 与 之间的关系 例3 （多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A. , B. C. D. 解题技法 “ 与 ”之间关系的应用 与 可通过平方关系联系到一起，即 ,.因此在解题中已知其中一个可求另外两个. 对点训练 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 若,则 考点二 诱导公式的应用 例4 （1） 已知，则（ ） A. B. C. D. （2） 若，则 解题技法 （1）诱导公式的应用思路 ①求值思路：负角化正角，大角化小角，角中含有时，用公式去掉. ②化简思路：统一角、统一名、同角名少为终了. （2）诱导公式的应用技巧 ①常用互余的角： 与 , 与 , 与 等. ②常用互补的角： 与 , 与 ， 与 等. 对点训练 1. （多选）下列式子中化简正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 2. （ ） A. B. C. 1 D. 2 考点三 诱导公式与同角关系式的综合应用 例5 （1） 已知角 为锐角，且，,则（ ） A. B. C. D. （2） 已知，.求的值. 解题技法 （1）利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. （2）注意角的范围对三角函数符号的影响. 对点训练 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，且，则  ， 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第一册 （1）改编）已知角 是第四象限角， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 1 3. [2024·重庆名校联盟联考]若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 0 5. （多选）在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 7. 已知，则 8. 已知，则 9. 已知 ，.求： （1） 的值； （2） 的值. B 综合运用 10. 在中，，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 11. 已知函数，则（ ） A. 2 025 B. C. D. 12. 已知函数，且的图象过定点，且角 的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则  . 13. 已知关于的方程的两根为 和 ，，. （1） 求实数的值； （2） 求的值. C 素养提升 14. 已知，且. （1） 求 的值； （2） 求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标要求； 1.理解同角三角函数的基本关系式： ，. 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题. 考情分析； 本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查，难度不大，属简单题. 理一理 1. 同角三角函数的基本关系 （1） 平方关系：①  . （2） 商数关系：②  其中,. ［提醒］ 平方关系对任意角都成立，而商数关系中. 2. 三角函数的诱导公式 角 正弦 ③   ④   ⑤   ⑥   ⑦   余弦 ⑧   ⑨   ⑩   ⑪   ⑫   正切 ⑬   ⑭   ⑮   ［点拨］ 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“”中，将 看成锐角，“”的终边所在的象限. 记一记 1.同角三角函数关系式的常用变形 （1）; ; . （2）. （3）； . 2.; . 用一用 1. 已知，且,则 [解析]因为，所以 ，即, 又， 所以. 2. 已知，则的值构成的集合是 [解析]当 为偶数时，；当 为奇数时，.所以 的值构成的集合是，. 核心考点⇄师生共研 考点一 同角三角函数基本关系的应用 角度1 “知一求二”问题 例1 [2023·全国乙卷]若,，则 [解析]因为,所以 ，即. 又因为，，所以，， 所以. 解题技法 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 角度2 “弦切互化”问题 例2 （一题多解）已知，，则（ ） A. B. C. D. 思路一：条件等式平方转化为 , 的齐次分式，弦化切求出 . 思路二：条件等式平方化为 , 的齐次式，降幂，弦化切. 思路三：把条件等式与联立，求出 , 的值，进而求 的值. 思路四：运用对偶思想，引入新元，通过解方程组求 . [解析]方法一：因为， 所以， 所以，分子分母同除以 得，解得 或， 代入公式， 求得. 方法二：因为，所以, 所以， 整理得， 所以 ， 所以. 方法三：联立 得. 解得 或 所以 或，代入公式，求得. 方法四：令， 联立 两对偶式平方后相加，得，解得. 当 时，由方程组可解得， 所以； 当 时，由方程组可解得， 所以. 解题技法 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 （1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以 的次幂，将分式的分子与分母化为关于 的式子，代入 的值即可求解. （2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用 替换，再将分子与分母同除以 ，化为只含有 的式子，代入 的值即可求解. 角度3 与 之间的关系 例3 （多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A. , B. C. D. [解析]因为，① 所以， 则， 因为，所以，， 所以，，故 正确； 所以, 又, 所以,② 故 正确； 由①②联立可得，，，故 错误； 所以，故 错误. 解题技法 “ 与 ”之间关系的应用 与 可通过平方关系联系到一起，即 ,.因此在解题中已知其中一个可求另外两个. 对点训练 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 [解析]选.因为，所以.故选. 2. 若,则 [解析]因为,等式两边同时平方得,即,所以,所以. 考点二 诱导公式的应用 例4 （1） 已知，则（ ） A. B. C. D. [解析]因为， 所以 .故选. （2） 若，则 [解析]因为, 所以 ， 又因为, 且， 所以. 解题技法 （1）诱导公式的应用思路 ①求值思路：负角化正角，大角化小角，角中含有时，用公式去掉. ②化简思路：统一角、统一名、同角名少为终了. （2）诱导公式的应用技巧 ①常用互余的角： 与 , 与 , 与 等. ②常用互补的角： 与 , 与 ， 与 等. 对点训练 1. （多选）下列式子中化简正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 [解析]选.由诱导公式易知,正确； ，正确； ，错误； ，因为， 所以，， 所以，所以原式 ，正确. 2. （ ） A. B. C. 1 D. 2 [解析]选.原式 .故选. 考点三 诱导公式与同角关系式的综合应用 例5 （1） 已知角 为锐角，且，,则（ ） A. B. C. D. 【解】选.由已知得 消去 ,解得,所以 ,代入,化简得,因为 为锐角，所以. （2） 已知，.求的值. [答案] 由已知，得, 等式两边同时平方得, 整理得. 因为, 由 得，, 又, 所以,所以, 所以， 所以 . 解题技法 （1）利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. （2）注意角的范围对三角函数符号的影响. 对点训练 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 2 [解析]选.由诱导公式可得，，所以. 因此，. 2. 已知，且，则  ， [解析]. 因为， 所以 . 由 解得 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第一册 （1）改编）已知角 是第四象限角， ，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题得， 所以.故选. 2. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 1 [解析]选，即， 所以. 3. [2024·重庆名校联盟联考]若，则（ ） A. B. C. D. [解析]选，又，所以.故选. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 0 [解析]选.因为 , , 所以.故选. 5. （多选）在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.在 中，有 ， 则，正确； ，正确； ，正确； ,错误. 6. [解析]原式. 7. 已知，则 [解析]原式. 8. 已知，则 [解析]因为，所以，所以 . 9. 已知 ，.求： （1） 的值； 解：令，则，整理得，解得 或， 即 或, 因为 ，所以，故. （2） 的值. [答案]原式. B 综合运用 10. 在中，，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 [解析]选.由 可得，即，又 ，所以，,再由 可得，所以，又 ，所以，所以，所以 为直角三角形.故选. 11. 已知函数，则（ ） A. 2 025 B. C. D. [解析]选.由 得，所以 是以4为周期的周期函数，又，所以.故选. 12. 已知函数，且的图象过定点，且角 的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则  . [解析]由题设知 过定点，故， 则原式 . 13. 已知关于的方程的两根为 和 ，，. （1） 求实数的值； 解：因为 ， 为关于 的方程 的两根， 所以 所以，即，解得，此时， 又，，所以,所以，所以. （2） 求的值. [答案] 因为，，所以 ， 所以， 所以. C 素养提升 14. 已知，且. （1） 求 的值； 解：因为， 所以， 所以， 即, 解得 或, 因为,所以, 所以. （2） 求的值. [答案]原式. 学科网（北京）股份有限公司 $$