9.3 专题特训（四）平行四边形折叠与动点问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

40 　　专题特训（四）　平行四边形折叠与动点问题　▶ “答案与解析”见P14 类型一 平行四边形中的折叠问题 1. 如图,将▱ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点B'处.若∠1=∠2=40°,则∠B 的度 数为 ( ) A. 60° B. 100° C. 110° D. 120° (第1题) (第2题) 2. 如图,在▱ABCD 中,E 是边CD 上一点,将 △ADE 沿AE 折叠至△AD'E 处,AD'与 CE 交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则 ∠FED'的度数为 ( ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 36° 3. 如图,E、F 分别是▱ABCD 的边AD、BC 上 的点,EF=6,∠DEF=60°,将四边形EFCD 沿EF 翻折,得到四边形EFC'D',ED'交BC 于点G,则△GEF 的周长为 ( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 (第3题) (第4题) 4. 如图,在▱ABCD 中,点E 在边AD 上,以 BE 为折痕,将△ABE 翻折,使点A 恰好与 边CD 上的点F 重合.若△FDE 的周长为 16,△FCB 的 周 长 为28,则 CF 的 长 为 . 5. 在▱ABCD 中,∠A=60°,AB=4,E、F 分别 为AD、BC 的中点,沿EF 折叠平行四边形, 使线段CD 落在直线AB 上,点C 的对应点 为C1,点D 的对应点为D1.若BD1=2,则 AD 的长为 . 6. 如图,在▱ABCD 中,点E 在边BC 上,将 △ABE 沿AE 折叠得到△AFE,点F 落在 对角线AC 上.若AB⊥AC,AB=3,AD= 5,则△CEF 的周长为 . (第6题) 答案讲解 7. 如图,在▱ABCD 中,AB=AC,点 E、F 分别在AD、BC 上,EF 与AC 交于点O,沿EF 折叠平行四边形, 使点A、C 重合,点B 落在点G 的位置. (1) 求证:△CED≌△CFG. (2) 若∠BCD=130°,求∠AEF 的度数. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 41 类型二 平行四边形中的动点问题 8. (2024·广安)如图,在▱ABCD 中,AB=4, AD=5,∠ABC=30°,M 为直线BC 上一动 点,则MA+MD 的最小值为 . (第8题) 9. 如图,△ABC 是等边三角形,D、F 分别是线 段BC、AB 上的动点,∠EFB=60°,EF= DC,连接CF、DE. (1) 求证:四边形EFCD 是平行四边形. (2) 连接BE、AD、AE,若BF=EF,AD= 6,求AE 的长. (第9题) 答案讲解 10. 已知在▱ABCD 中,动点P 在AD 边上,并以0.5cm/s的速度从点 A 向点D 运动. (1) 如图①,在运动过程中,若CP 平分 ∠BCD,且满足CD=CP,求∠B 的度数. (2) 如图②,另一动点Q 在边BC 上,以 2cm/s的速度从点C 出发,在点B、C 间往 返运动,P、Q 两点同时出发,当点P 到达 点D 时停止运动(同时点Q 也停止运动). 若AD=6cm,则当运动时间为 时,以P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行 四边形. (3) 如图③,连接BP 并延长,与CD 的延 长线交于点F,CE 平分∠ACF 交BF 于点 E,连接AE、AC.当AE⊥CE,DF=8时, 求AC 的长. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 ADBC是平行四边形,则对角线的中 点坐标为 2-2 2 ,-1+2 2 或 m+n2 , m+1 2 .∴ m+n=0, m+1=1, 解 得 m=0 , n=0. ∴ D(0,0).③ 若四边形ABDC 是 平行四边形,则对角 线 的 中 点 坐 标 为 2+n 2 ,-1+0 2 或 -2+m2 , 2+m+1 2 .∴ 2+n=-2+m, -1=3+m, 解 得 m=-4, n=-8. ∴ D(-8,0).综上所述, 点D的坐标为(6,0)或(0,0)或(-8,0). 不能正确分类讨论导致错误 解答这类以已知两点坐标和 另外两点坐标特征的四个点构成平 行四边形的问题时,需要对已知线段 为边或对角线进行分类讨论,利用平 行四边形的对角线交点也是对角线 的中点和两点的坐标求中点的坐标, 从而求出待求点的坐标.往往会出现 不能灵活确定其中的两条线段为对 角线,而导致漏解的现象. 10. ∵ E 是AC的中点, ∴ AE=CE. ∵ CF∥AB, ∴ ∠DAE=∠FCE. 在△ADE 和△CFE 中, ∠DAE=∠FCE, AE=CE, ∠AED=∠CEF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CFE. ∴ DE=FE. 又∵ AE=CE, ∴ 四边形AFCD 是平行四边形. 专题特训（四）　平行四边形 折叠与动点问题 1. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥CD.∴ ∠ACD= ∠BAC.由折叠的性质,得∠BAC= ∠B'AC,∴ ∠BAC = ∠ACD = ∠B'AC= 12 ∠1=20°.∴ ∠B= 180°-∠2-∠BAC=180°-40°- 20°=120°. 2. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠D=∠B=52°.由折 叠的 性 质,得 ∠D'= ∠D =52°, ∠EAD' = ∠DAE = 20°. ∴ ∠AEF=∠D+∠DAE=52°+ 20° = 72°,∠AED' = 180° - ∠EAD'-∠D'=108°.∴ ∠FED'= ∠AED'-∠AEF=36°. 3. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠DEF= ∠BFE=60°.∵ 将四边形EFCD沿EF 翻折,得到四边形EFC'D',∴ ∠GEF= ∠DEF=60°.∴ ∠GEF=∠GFE= 60°.∴ △GEF 是 等 边 三 角 形. ∵ EF=6,∴ △GEF 的周长=3× 6=18. 4. 6 [解析] ∵ △BEF 是由△BEA 翻折得到的,∴ EA=EF,BF=BA. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ BC=AD=AE+DE=EF+DE, AB=BF=DC=DF+CF.由题意, 得CF+BC+BF=28,DE+EF+ DF=16,∴ CF+DE+EF+DF+ CF = 28.∴ 2CF + 16 = 28. ∴ CF=6. 5. 4或12 [解析] 如图①,当点 D1 在 线 段 AB 上 时,连 接 DD1. ∵ BD1=2,∴ AD1=4-2=2.由折 叠 的 性 质 知,DE = D1E, ∴ ∠EDD1=∠ED1D.∵E 是AD 的中点,∴ AE=DE.∴ AE=D1E. ∴ ∠A = ∠ED1A.∴ ∠AD1D = ∠ED1A+ ∠ED1D = 1 2 (∠A + ∠ED1A+∠ED1D+∠EDD1)= 90°.∵ ∠A=60°,∴ ∠ADD1=30°. ∴ 易得AD=2AD1=2×2=4.如图 ②,当点D1 在线段AB 的延长线上 时,连接DD1.∵ BD1=2,∴ AD1= 4+2=6.同理,可得∠AD1D=90°, ∠ADD1 =30°.∴ 易 得 AD = 2AD1=2×6=12.综上所述,AD 的 长为4或12. (第5题) 6. 6 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ BC=AD=5.∵ AB⊥ AC,∴ ∠BAC =90°.∴ AC = BC2-AB2= 52-32 =4.由折 叠的性质,得AF=AB=3,EF=BE. ∴ △CEF 的周长=FC+EF+EC= AC-AF+BE+EC=AC-AF+ BC=4-3+5=6. 7. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB =CD,∠BAD = ∠BCD, ∠B=∠D. 由折叠的性质,可得AB=CG,∠B= ∠G,∠BAD=∠GCE. ∴ ∠BCD = ∠GCE,CD =CG, ∠D=∠G. ∵ ∠ECD + ∠BCE = ∠BCD, ∠BCE+∠FCG=∠GCE, ∴ ∠ECD=∠FCG. ∴ △CED≌△CFG. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC. ∵ ∠BCD=130°, ∴ ∠B=180°-∠BCD=50°. ∵ AB=AC, ∴ ∠ACB=∠B=50°. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC=∠ACB=50°. ∵ EF 为折痕,点A 与点C重合, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ∴ AC⊥EF. ∴ ∠AOE=90°. ∴ ∠AEF = 180°- ∠DAC - ∠AOE=40°. 8. 41 [解析] 如图,作点A 关于 直线BC 的对称点A',AA'交BC 于 点H,连接A'D 交直线BC 于点M', 连 接 AM'、A'M,则 AH =A'H, AH⊥BC,AM'=A'M',MA=MA'. ∴ MA+MD=MA'+MD≥A'D.当 点M、M'重合时,MA+MD 取得最 小值,最小值为A'D 的长.∵ AB= 4,∠ABC =30°,∴ 易 得 AH = 1 2AB=2.∴ AA'=2AH=4.∵ 四 边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∵ AH ⊥BC,∴ AA'⊥AD. ∵ AD=5,∴ A'D= AA'2+AD2= 42+52= 41.∴ MA+MD 的最 小值为 41. (第8题) 9. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=60°. ∵ ∠EFB=60°, ∴ ∠ABC=∠EFB. ∴ EF∥DC. ∵ EF=DC, ∴ 四边形EFCD 是平行四边形. (2) ∵ BF=EF,∠EFB=60°, ∴ △EFB 是等边三角形. ∴ EB=EF,∠FBE=60°. ∵ DC=EF, ∴ EB=DC. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ACB=60°,AB=AC. ∴ ∠ABE=∠ACD. 在△AEB 和△ADC中, EB=DC, ∠ABE=∠ACD, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌△ADC. ∴ AE=AD=6. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ ∠D=∠B,AD∥BC. ∴ ∠DPC=∠PCB. ∵ CP 平分∠BCD, ∴ ∠PCD=∠PCB. ∴ ∠DPC=∠PCD. ∴ DP=DC. ∵ CD=CP, ∴ CP=CD=PD. ∴ △PDC是等边三角形. ∴ ∠D=60°. ∴ ∠B=60°. (2) 4.8s或8s或9.6s. [解析] ∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD∥BC.∴ PD∥BQ.要使以 P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四 边形,则PD=BQ.设运动时间为ts. 根据题意,可知AP=0.5tcm,AD= BC=6cm.① 当0<t≤3时,PD= (6-0.5t)cm,BQ=(6-2t)cm. ∴ 6-0.5t=6-2t,解得t=0,不合 题意,舍去.② 当3<t≤6时,PD= (6-0.5t)cm,BQ=(2t-6)cm. ∴ 6-0.5t=2t-6,解得t=4.8. ③ 当 6<t≤9 时,PD = (6- 0.5t)cm,BQ=(18-2t)cm.∴ 6- 0.5t=18-2t,解得t=8.④ 当9< t≤12时,PD=(6-0.5t)cm,BQ= (2t-18)cm.∴ 6-0.5t=2t-18,解 得t=9.6.综上所述,当运动时间为 4.8s或8s或9.6s时,以P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四边形. (3) 如图,延长AE,交CF 于点H. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∵ CE 平分∠ACF, ∴ ∠ACE=∠HCE. ∵ AE⊥CE, ∴ ∠AEC=∠HEC=90°. 又∵ CE=CE, ∴ △AEC≌△HEC. ∴ AE=HE,AC=HC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABE=∠HFE. 又∵ ∠AEB=∠HEF, ∴ △ABE≌△HFE. ∴ AB=HF. ∵ AB=CD, ∴ HF=CD. ∵ DF=DH+HF=DH+CD= CH=8, ∴ AC=CH=8. (第10题) 9.4　矩形、菱形、正方形 第1课时 矩形的概念与性质 1. C 2. D 3. (4,3) 4. 设DC=x. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB =DC,AD =BC,∠A = ∠D=90°. ∴ ∠AFE+∠AEF=90°. ∵ EF⊥EC, ∴ ∠FEC=90°. ∴ ∠AEF+∠DEC=90°. ∴ ∠AFE=∠DEC. 在△AFE 和△DEC中, ∠A=∠D, ∠AFE=∠DEC, EF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFE≌△DEC. ∴ AE=DC=x. ∵ DE=2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51