9.3 专题特训（三）平行四边形判定策略-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

38 　　　　　专题特训（三）　平行四边形判定策略　　▶ “答案与解析”见P13 类型一 利用“两组对边分别平行的四边形是 平行四边形”进行判定 1. 小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图 所示的四小块,为了能从商店配到一块与原 来相同的玻璃,他带了打碎的两小块玻璃去 商店,其编号应该是 ( ) (第1题) A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 2. 在四边形ABCD 中,如果∠A+∠C=∠B+ ∠D,那么这个四边形 是平行四边 形(填“一定”“不一定”或“一定不”). 3. 如图,△ABC 是等边三角形,E 为边AC 上 一点,连接BE.将AC 绕点E 旋转,使点C 落在BC 上的点D 处,点A 落在BC 上方的 点F 处,连接AF.求证:四边形ABDF 是平 行四边形. (第3题) 类型二 利用“一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形”进行判定 4. 下列各组条件中,能判定四边形ABCD 为平 行四边形的是 ( ) A. AB∥CD,AD=BC B. ∠A=∠B,∠C=∠D C. AB∥CD,AB=CD D. AB=AD,CB=CD 5. 如图,△ABC 和△ADE 均为等边三角形,点 F、D 分别在AC、BC 上,AF=CD,连接 BF、EF.求证: (1) BF=AD. (2) 四边形BFED 为平行四边形. (第5题) 6. 如图,在△AFC 中,∠FAC=45°,FE⊥AC 于点E,在EF 上取一点B,连接AB、BC,使 得AB=FC,过点A 作AD⊥AF,且BC= AD,连接CD.求证:四边形ABCD 是平行四 边形. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 39 类型三 利用“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”进行判定 7. 在四边形ABCD 中,已知AB=CD,AD= BC,AC、BD 相交于点O.若AC=6,则AO 的长为 . 8. 如图,在▱ABCD 中,分别以AD、BC 为边向 内作等边三角形ADE 和等边三角形BCF, 连接BE、DF.求证:四边形BEDF 是平行四 边形. (第8题) 类型四 利用“对角线互相平分的四边形是平行 四边形”进行判定 9. ★在平面直角坐标系中,已知点A(2,-1)、 B(-2,2)、C(m,m+1),点D 在x 轴上.若 以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边 形,则点D 的坐标为 . 答案讲解 10. 如图,在△ABC 中,D 为AB 上一 点,DF 交AC 于点E,E 为AC 的 中点,CF∥AB,连接DC、FA.求 证:四边形AFCD 是平行四边形. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 (6,4)或(-6,4)或(0,-4). (第13题) 14. 四边形EHFG 是平行四边形. 理由:∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴ BO=DO,AO=CO,AB=CD, AB∥CD. ∴ ∠ABE=∠CDF. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE 和△CDF 中, ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF. ∴ BO-BE=DO-DF,即EO=FO. 同理,可得GO=HO. ∴ 四边形EHFG 是平行四边形. 专题特训（三） 平行四边形判定策略 1. D [解析] ∵ 只有①③两小块玻 璃的角的两边互相平行,且中间部分 相连,角的两边的延长线的交点就是 平行四边形的顶点,∴ 带①③两小块 玻璃就可以确定平行四边形的形状与 大小. 2. 不一定 3. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AC = BC = AB,∠ABC = ∠ACB=60°. 由旋转的性质,得DE=CE,EF=EA, ∴ △EDC是等边三角形. ∴ DE=CD=CE,∠DEC=∠EDC= 60°. ∴ ∠AEF=∠DEC=60°. 又∵ EF=EA, ∴ △AEF 是等边三角形. ∴ ∠EFA=60°. ∴ ∠ABC = ∠EDC,∠EFA = ∠EDC. ∴ AB∥FD,BD∥AF. ∴ 四边形ABDF 是平行四边形. 4. C 5. (1) ∵ △ABC 和△ADE 均为等 边三角形, ∴ AB=CA,∠BAF=∠C=60°. 又∵ AF=CD, ∴ △ABF≌△CAD. ∴ BF=AD. (2) 如图,设AC与DE 相交于点H. 由(1)知,BF=AD. ∵ △ADE 是等边三角形, ∴ AD=DE,∠AED=∠DAE=60°. ∴ BF=DE. ∵ ∠C=∠AED=60°,∠DHC= ∠AHE, ∴ ∠CDH=∠CAE. ∵ △ABF≌△CAD, ∴ ∠ABF=∠CAD. 又∵ ∠CAE+∠CAD=∠CBF+ ∠ABF=60°, ∴ ∠CBF=∠CAE. ∴ ∠CBF=∠CDH. ∴ BF∥DE. 又∵ BF=DE, ∴ 四边形BFED 为平行四边形. (第5题) 6. ∵ FE⊥AC, ∴ ∠FEA=∠FEC=90°. ∵ ∠FAC=45°, ∴ 易得△AEF 是等腰直角三角形. ∴ AE=FE,∠AFE=∠FAE=45°. 在Rt△AEB 和Rt△FEC中, AB=FC, AE=FE, ∴ Rt△AEB≌Rt△FEC. ∴ BE=CE. ∴ ∠CBE= ∠BCE= 12 (180°- ∠BEC)=45°. ∵ AD⊥AF, ∴ ∠FAD=90°. ∴ ∠CAD=90°-45°=45°. ∴ ∠BCE=∠CAD. ∴ BC∥AD. 又∵ BC=AD, ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 7. 3 8. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB,AD=CB,∠DAB= ∠BCD. 又∵ △ADE 和△CBF 都是等边三 角形, ∴ DE=AD=AE,BF=CB=CF, ∠DAE=∠BCF=60°. ∴ DE=BF,CF=AE,∠DCF= ∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB- ∠DAE. ∴ ∠DCF=∠BAE. ∴ △DCF≌△BAE. ∴ DF=BE. 又∵ DE=BF, ∴ 四边形BEDF 是平行四边形. 9. (6,0)或(0,0)或(-8,0) [解析] 设D(n,0).∵ A(2,-1)、 B(-2,2)、C(m,m+1),以A、B、C、 D 为顶点的四边形是平行四边形, ∴ 分三种情况讨论.① 若四边形 ABCD 是平行四边形,则对角线的中 点 坐 标 为 2+m 2 ,-1+m+1 2 或 n-22 ,0+22 . ∴ 2+m=n-2, m=2, 解 得 m=2, n=6. ∴ D(6,0).② 若四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 ADBC是平行四边形,则对角线的中 点坐标为 2-2 2 ,-1+2 2 或 m+n2 , m+1 2 .∴ m+n=0, m+1=1, 解 得 m=0 , n=0. ∴ D(0,0).③ 若四边形ABDC 是 平行四边形,则对角 线 的 中 点 坐 标 为 2+n 2 ,-1+0 2 或 -2+m2 , 2+m+1 2 .∴ 2+n=-2+m, -1=3+m, 解 得 m=-4, n=-8. ∴ D(-8,0).综上所述, 点D的坐标为(6,0)或(0,0)或(-8,0). 不能正确分类讨论导致错误 解答这类以已知两点坐标和 另外两点坐标特征的四个点构成平 行四边形的问题时,需要对已知线段 为边或对角线进行分类讨论,利用平 行四边形的对角线交点也是对角线 的中点和两点的坐标求中点的坐标, 从而求出待求点的坐标.往往会出现 不能灵活确定其中的两条线段为对 角线,而导致漏解的现象. 10. ∵ E 是AC的中点, ∴ AE=CE. ∵ CF∥AB, ∴ ∠DAE=∠FCE. 在△ADE 和△CFE 中, ∠DAE=∠FCE, AE=CE, ∠AED=∠CEF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CFE. ∴ DE=FE. 又∵ AE=CE, ∴ 四边形AFCD 是平行四边形. 专题特训（四）　平行四边形 折叠与动点问题 1. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥CD.∴ ∠ACD= ∠BAC.由折叠的性质,得∠BAC= ∠B'AC,∴ ∠BAC = ∠ACD = ∠B'AC= 12 ∠1=20°.∴ ∠B= 180°-∠2-∠BAC=180°-40°- 20°=120°. 2. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠D=∠B=52°.由折 叠的 性 质,得 ∠D'= ∠D =52°, ∠EAD' = ∠DAE = 20°. ∴ ∠AEF=∠D+∠DAE=52°+ 20° = 72°,∠AED' = 180° - ∠EAD'-∠D'=108°.∴ ∠FED'= ∠AED'-∠AEF=36°. 3. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠DEF= ∠BFE=60°.∵ 将四边形EFCD沿EF 翻折,得到四边形EFC'D',∴ ∠GEF= ∠DEF=60°.∴ ∠GEF=∠GFE= 60°.∴ △GEF 是 等 边 三 角 形. ∵ EF=6,∴ △GEF 的周长=3× 6=18. 4. 6 [解析] ∵ △BEF 是由△BEA 翻折得到的,∴ EA=EF,BF=BA. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ BC=AD=AE+DE=EF+DE, AB=BF=DC=DF+CF.由题意, 得CF+BC+BF=28,DE+EF+ DF=16,∴ CF+DE+EF+DF+ CF = 28.∴ 2CF + 16 = 28. ∴ CF=6. 5. 4或12 [解析] 如图①,当点 D1 在 线 段 AB 上 时,连 接 DD1. ∵ BD1=2,∴ AD1=4-2=2.由折 叠 的 性 质 知,DE = D1E, ∴ ∠EDD1=∠ED1D.∵E 是AD 的中点,∴ AE=DE.∴ AE=D1E. ∴ ∠A = ∠ED1A.∴ ∠AD1D = ∠ED1A+ ∠ED1D = 1 2 (∠A + ∠ED1A+∠ED1D+∠EDD1)= 90°.∵ ∠A=60°,∴ ∠ADD1=30°. ∴ 易得AD=2AD1=2×2=4.如图 ②,当点D1 在线段AB 的延长线上 时,连接DD1.∵ BD1=2,∴ AD1= 4+2=6.同理,可得∠AD1D=90°, ∠ADD1 =30°.∴ 易 得 AD = 2AD1=2×6=12.综上所述,AD 的 长为4或12. (第5题) 6. 6 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ BC=AD=5.∵ AB⊥ AC,∴ ∠BAC =90°.∴ AC = BC2-AB2= 52-32 =4.由折 叠的性质,得AF=AB=3,EF=BE. ∴ △CEF 的周长=FC+EF+EC= AC-AF+BE+EC=AC-AF+ BC=4-3+5=6. 7. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB =CD,∠BAD = ∠BCD, ∠B=∠D. 由折叠的性质,可得AB=CG,∠B= ∠G,∠BAD=∠GCE. ∴ ∠BCD = ∠GCE,CD =CG, ∠D=∠G. ∵ ∠ECD + ∠BCE = ∠BCD, ∠BCE+∠FCG=∠GCE, ∴ ∠ECD=∠FCG. ∴ △CED≌△CFG. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC. ∵ ∠BCD=130°, ∴ ∠B=180°-∠BCD=50°. ∵ AB=AC, ∴ ∠ACB=∠B=50°. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC=∠ACB=50°. ∵ EF 为折痕,点A 与点C重合, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41