9.3 平行四边形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

32 9.3　平行四边形 第1课时 平行四边形及其性质 ▶ “答案与解析”见P9 1. (2024·贵州)如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,则下列结论中,一定正确 的是 ( ) (第1题) A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB D. AC⊥BD 2. (易错题)如图,▱ABCD 的周长为60cm, AC、BD 相交于点O,EO⊥BD 交AD 于点 E,连接BE,则△ABE 的周长为 ( ) (第2题) A. 30cm B. 60cm C. 40cm D. 20cm 3. (2024·广州)如图,在▱ABCD 中,BC=2, 点E 在DA 的延长线上,BE=3.若BA 平分 ∠EBC,则DE 的长为 . (第3题) 4. 如图,在同一平面内,▱ABCD 和▱CDEF 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则 ∠DAE 的度数为 . (第4题) 5. 如图,O 为▱ABCD 的对角线AC 的中点,过 点O 的直线与AD、BC 分别相交于点E、F. 求证:DE=BF. (第5题) 6. 若平行四边形的一边长为8cm,一条对角线 的长为6cm,则另一条对角线的长x的取值 范围是 ( ) A. 2cm<x<14cm B. 5cm<x<11cm C. 10cm<x<22cmD. 4cm<x<28cm 7. 如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿AC 折叠 后,点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE 的周长为 ( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 (第7题) (第8题) 8. (2024·自贡)如图,在▱ABCD 中,∠B= 60°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 出 发,以1cm/s的速度沿A→D 运动,同时点 Q 从点C 出发,以3cm/s的速度沿C→B→ C→…往复运动,当点P 到达端点D 时,点 Q 随之停止运动.在此运动过程中,线段 PQ、CD 的长相等的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 33 9. 在▱ABCD 中,对角线AC、BD 交于点O, AC⊥BC.已知BD=8,BC+OC=5,则 ▱ABCD 的面积为 . 10. 如图,在▱ABCD 中,∠D=100°,∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E,连接BE.若 AE=AB,则∠EBC 的度数为 . (第10题) (第11题) 11. 如图,在▱ABCD 中,BC=2AB,CE⊥AB 于点E,F 为AD 的中点,连接 EF.若 ∠AEF=54°,则∠B 的度数为 . 答案讲解 12. 如图,在▱ABCD 中,E 是边BC 的中点,连接AE 并延长,与DC 的延长线交于点F,连接AC、BF. (1) 求证:CF=CD. (2) 若AD=13,AF=10,AD=2AB,连接 DE,求DE 的长. (第12题) (第13题) 13. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC= 75°,AF⊥BC 于点F,AF 交 BD 于点E.若DE=2AB,则 ∠AED 的度数为 ( ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 答案讲解 14. (学科内综合)如 图,在 ▱ABCD 中,DE⊥BC 于点E,DH⊥AB 于 点 H,AF 平分∠BAD,分别交 DC、DE、DH 于点F、G、M,且DE=AD. (1) 求证:△ADG≌△FDM. (2) 猜想AB 与DG+CE 之间有何数量关 系,并证明你的猜想. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 34 第2课时 由对边的关系判定平行四边形 ▶ “答案与解析”见P10 1. (易错题)根据下列四边形中所标的数据,一 定能判定该四边形为平行四边形的是( ) A. B. C. D. 2. 已知 四 边 形 ABCD,现 给 出 下 列 条 件: ① AB∥CD;② AD∥BC;③ AB=CD; ④ AD=BC.从中任选两个条件,能使四边 形ABCD 为平行四边形的选法有 ( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 3. 如图,BD 是▱ABCD 的对角线,点E、F 在 BD 上,要使四边形AECF 是平行四边形,还 需添加的一个条件可以是 (写 出一个即可). (第3题) (第4题) 4. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD=4cm,BC=9cm.动点P、Q 分别从点 D、B 同时出发,点P 以1cm/s的速度向终 点A 运动,点Q 以2cm/s的速度向终点C 运动.当运动时间为 s时,四边形 CDPQ 是平行四边形. 5. 如图,EF∥AC,B、D 分别是AC 和EF 上的 点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE 是 平行四边形. (第5题) 6. 如图,在▱ABCD 中,点E、F 分别在边BC、 AD 上.有下列条件:① BE=DF;② AE∥ CF;③ AE=CF;④ ∠BAE=∠DCF.其 中,能使四边形AECF 是平行四边形的条 件有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第6题) (第7题) 答案讲解 7. 如图,等边三角形ABC 的边长为 10cm,射线AG∥BC,点E 从点A 出发沿射线AG 以2cm/s的速度 运动,同时点F 从点B 出发沿射线BC 以 3cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当 以A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边 形时,t的值为 ( ) A. 2或3 B. 2或5 C. 5或10 D. 2或10 8. 如图,点E、F 分别在▱ABCD 的边BC、AD 上,AC、EF 交于点O,连接AE、CF.请你添 加一个条件,使四边形AECF 是平行四边 形,你所添加的条件是 (写出一 个即可). (第8题) (第9题) 9. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=4, AC=6,D、E 分别是BC、AD 的中点,AF∥ BC,交CE 的延长线于点F,连接BF,则四 边形AFBD 的面积为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 35 10. (2024·武汉)如图,在▱ABCD 中,点E、F 分别 在 边 BC、AD 上,AF=CE,连 接 AE、CF. (1) 求证:△ABE≌△CDF. (2) 连接EF.请添加一个与线段相关的条 件,使四边形ABEF 是平行四边形,并说明 理由. (第10题) 11. 如图,以△ABC 的三边为边,在BC 的同侧 分 别 作 三 个 等 边 三 角 形,即 △ABD、 △BCE、△ACF,连接DE、EF,则四边形 AFED 是否为平行四边形? 如果是,请给 出证明;如果不是,请说明理由. (第11题) 12. 如图①,在▱ABCD 中,AD>AB,∠ABC 为锐角.要在对角线BD 上找两点N、M,使 四边形ANCM 为平行四边形,给出甲、乙、 丙三种方案. 甲方案:如图②,在BD 上取BN=MD,连 接AN、AM、CN、CM. 乙方案:如图③,作 AN、CM 分别平分 ∠BAD、∠DCB,分别交BD 于点N、M,连 接AM、CN. 丙方案:如图④,过点A 作AN⊥BD 于点 N,过 点 C 作CM ⊥BD 于 点 M,连 接 AM、CN. 其中,正确的方案是 ( ) (第12题) A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 甲、丙 D. 乙、丙 答案讲解 13. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在BC 上,以AD、AE 为腰作等 腰 三 角 形 ADE,且 ∠ADE = ∠ABC,连接CE,过点E 作EM∥BC,交 CA 的延长线于点M,连接BM. (1) 求证:△BAD≌△CAE. (2) 若∠ABC=30°,求∠MEC 的度数. (3) 求证:四边形MBDE 是平行四边形. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 36 第3课时 由对角线的关系判定平行四边形 ▶ “答案与解析”见P12 1. 要使如图所示的四边形ABCD 是平行四边 形,根据图中数据,可以添加的条件是( ) A. OC=5B. OC=3C. CD=3D. CD=9 (第1题) (第2题) 2. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 相交于点O,则添加下列条件中的一个 后,不能判定该四边形为平行四边形的是 ( ) A. AD=BC B. OA=OC C. OD=OB D. AB=DC 3. (2024·济宁)如图,四边形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点O,OA=OC,补充一个条 件: ,使四边形ABCD 是平行 四边形. (第3题) (第4题) 4. 如图,AC、BD 是相交的两条线段,O 分别为 它们的中点.当BD 绕点O 旋转时,连接 AB、BC、CD、DA 得到的四边形ABCD 始终 为 . 5. 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点 O,AO=CO,点E 在BD 上,满足∠EAO= ∠DCO.求证:四边形AECD 是平行四边形. (第5题) 6. 用反证法证明“a>0”时,应先假设结论的反 面成立.下列假设中,正确的是 ( ) A. a<0 B. a=0 C. a≠0 D. a≤0 7. (易错题)如图,在四边形ABCD 中,AB∥ CD,对角线AC、BD 相交于点O.给出下列 条件:① AD∥BC;② AB=CD;③ AD= BC;④ ∠ADC= ∠ABC;⑤ BO =DO; ⑥ ∠DBA=∠CAB.若添加其中一个条件, 可得到四边形ABCD 是平行四边形,则添加 的条件可以是 ( ) A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ (第7题) (第8题) 8. 如图,在▱ABCD 中,E、F 是对角线BD 上 不同的两点,连接AE、CE、AF、CF.下列条 件中,不能得出四边形AECF 一定是平行四 边形的为 ( ) A. BE=DF B. AE=CF C. AF∥CE D. ∠BAE=∠DCF 9. 如图,在△ABC 中,DE∥BC,AE=EC,延长 DE 到点F,使EF=DE,连接AF、FC、CD, 则BD 与CF 的关系是 . (第9题) (第10题) 10. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、BD 相交 于点O,BD=12cm,AC=20cm.现点E 从 点A 出发,沿AC 以1cm/s的速度向点C 运动,同时点 F 从点C 出发,沿CA 以 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 37 2cm/s的速度向点A 运动.两点出发后,在 点 E 与 点 F 相 遇 前,四 边 形 DEBF (填“会”或“不会”)成为平行四边形. 11. 如图,线段AC 与BD 相交于点O,分别过点 B、D 作AC 的垂线,垂足分别为E、F,且 BE=DF,AF=CE,连接 AB、BC、CD、 DA.求证:四边形ABCD 为平行四边形. (第11题) 12. 如图,在△ABC 中,D 是边BC 的中点,F、 E 分别是AD 及其延长线上的点,CF∥BE. (1) 求证:△BDE≌△CDF. (2) 连接BF、CE,试判断四边形BECF 是 何种特殊四边形,并说明理由. (第12题) 答案讲解 13. (学科内综合)如图,在平面直角坐 标系中,有点A(-3,0),B(3,0), C(0,4),找一点D,使得以A、B、 C、D 为顶点的四边形是平行四边形,则点 D 的坐标为 . (第13题) 答案讲解 14. 如图,在▱ABCD 中,AC、BD 相 交于点O,AE⊥BD 于点E,CF⊥ BD 于点F,BG⊥AC 于点G, DH⊥AC 于点 H,连接 EH、HF、FG、 GE.四边形EHFG 是平行四边形吗? 请 判断并说明理由. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 12. (-2,2) [解析] 由题意,可得 P1(2,0)、P2(-2,2)、P3(0,-2)、 P4(2,2)、P5(-2,0)、P6(0,0)、 P7(2,0)、….∴ 点P 的坐标每六个 为一次循环.∵ 2024÷6=337……2, ∴ 点P2024的坐标为(-2,2). 13. (1) ∵ △ABM 与△ACM 关于直 线AF 成轴对称, ∴ △ABM≌△ACM. ∴ AB=AC. ∵ △ABE 与△DCE 关于点E 成中 心对称, ∴ △ABE≌△DCE. ∴ AB=DC. ∴ AC=DC. (2) ∠F=∠MCD. 理由:∵ △ACM≌△ABM, ∴ ∠CAM = ∠BAM,∠CMA = ∠BMA=∠PMF. ∴ ∠BAC=2∠CAD. ∵ ∠BAC=2∠MPC, ∴ ∠CAD=∠MPC. ∵ AC=DC, ∴ ∠CAD=∠CDA. ∴ ∠MPC=∠CDA. ∵ ∠F=∠MPC-∠PMF,∠MCD= ∠CDA-∠CMA, ∴ ∠F=∠MCD. 9.3　平行四边形 第1课时 平行四边形及其性质 1. B 2. A 3. 5 4. 25° 5. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC. ∵ O 为对角线AC的中点, ∴ AO=CO. 在△AOE 和△COF 中, ∵ ∠OEA=∠OFC,∠EAO=∠FCO, AO=CO, ∴ △AOE≌△COF. ∴ AE=CF. ∴ AD-AE=BC-CF. ∴ DE=BF. 6. C [解析] 如图,四边形ABCD 是 平行四边形,AD=8cm,AC=6cm, AC、BD 交于点O,则 OA=OC= 3cm,OB=OD.在△AOD 中,由三角 形的三边关系,得AD-OA<OD< AD+OA,即5cm<OD<11cm. ∴ 10cm<x<22cm. (第6题) 7. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠D=∠B=60°,CD= AB=3.由折叠的性质,可知AE= AD,CD=CE=3.又∵ 点D 恰好落 在DC的延长线上的点E 处,即D、 C、E 三点共线,∴ 易得△ADE 是等 边三角形.又∵ DE=CD+CE=6, ∴ △ADE 的周长为6×3=18. 8. B [解析] 由题意,得AB=CD= 6 cm,AD =BC=12 cm,∠B = ∠D=60°,点 P 从点A 到点D 需 12s,点Q 从点C到点B(或从点B 到 点C)需4s,设点P、Q 的运动时间为 ts.当0≤t≤4,且点P 在点Q 左侧 时,如图①,过点Q 作QH⊥AD 于点 H,过点C 作CG⊥AD 于点G.由题 意,知AP=tcm,CQ=3tcm=GH. ∵ PD∥CQ,PQ=CD,PD ≠CQ, ∴ 四 边 形 CQPD 是 等 腰 梯 形. ∴ ∠QPH =∠D =60°.∵ PQ= CD=6cm,∴ 易得PH=12PQ= 3cm,DG=12CD=3cm.∵ AP+ PH+GH+DG=AD=12cm,∴ t+ 3+3t+3=12,解得t=1.5.如图②, 当0≤t≤4,且四边形CQPD 是平行 四边形时,PD=CQ=3tcm,∴ t+ 3t=12,解得t=3.当4<t≤8时,如 图③,若四边形CQPD 是平行四边 形,此时BQ=(3t-12)cm,AP= tcm,PD =CQ.∵ AD = BC, ∴ BQ=AP.∴ 3t-12=t,解得t= 6.当4<t≤8,且四边形CQPD 是以 CD、PQ 为腰的等腰梯形时,易得t+ 3+(2×12-3t)+3=12,解得t=9, 不符合题意,舍去.当8<t≤12时,如 图④,只可能在四边形CQPD 是平行 四边形时,PQ=CD,此时CQ=(3t- 24)cm,PD=(12-t)cm,∴ 3t- 24=12-t,解得t=9.综上所述,当t 的值为1.5或3或6或9时,PQ= CD,即线段PQ、CD 的长相等的次数 是4. (第8题) 9. 9 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四 边 形,BD=8,∴ OA=OC, OB=OD=12BD=4.∵ AC⊥BC, ∴ ∠ACB=90°.在Rt△OBC 中,由 勾股定理,得 BC2+OC2=OB2= 42=16①.∵ BC+OC=5,∴ (BC+ OC)2=52,即 BC2+2BC·OC+ OC2=25②.由②-①,得2BC· OC=9.∴ BC·AC=9.∴ S▱ABCD= BC·AC=9. 10. 30° [解析] ∵ 四边形ABCD 是 平行 四 边 形,∴ ∠ABC= ∠D = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 100°,AB∥CD.∴ ∠DAB=180°- ∠D =80°.∵ AE 平 分 ∠DAB, ∴ ∠BAE = 12 ∠DAB = 40°. ∵ AE=AB,∴ ∠ABE=12 (180°- ∠BAE)=70°.∴ ∠EBC=∠ABC- ∠ABE=100°-70°=30°. 11. 72° [解析] 如图,过点 F 作 FG∥AB,交BC 于点G,连接EG. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC.∵ FG∥AB, ∴ 四边形 ABGF 是平行四边形. ∴ FG=AB,AF=BG.∵ F 为AD 的中点,∴ 易知 G 为BC 的中点. ∵ CE⊥AB,∴ BG=GE=12BC. ∴ ∠B = ∠BEG.∵ BC=2AB, ∴ 易知EG=AB=FG.∴ ∠FEG= ∠EFG.∵ AE∥FG,∴ ∠EFG= ∠AEF =54°.∴ ∠FEG =54°. ∴ ∠AEG = ∠AEF + ∠FEG = 108°.∴ ∠B = ∠BEG =180°- 108°=72°. (第11题) 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∵ F 为DC的延长线上的一点, ∴ AB∥DF. ∴ ∠BAE=∠CFE,∠EBA=∠ECF. ∵ E 是边BC的中点, ∴ BE=CE. 在△BAE 和△CFE 中, ∠BAE=∠CFE, ∠EBA=∠ECF, BE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAE≌△CFE. ∴ BA=CF. ∴ CF=CD. (2) 由(1),得CF=CD,△BAE≌ △CFE, ∴ DF=2CD,EA=EF. ∵ AB=CD, ∴ DF=2AB. ∵ AD=2AB, ∴ AD=DF. ∵ EA=EF, ∴ DE⊥AF,即∠DEA=90°. ∵ AF=10, ∴ EA=EF=5. 在Rt△ADE 中,AD=13, ∴ 由 勾 股 定 理,得 DE = AD2-EA2=12. 13. B [解析] 如图,取DE 的中点 O,连接AO.∵ 四边形ABCD 是平行 四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠DAB= 180°-∠ABC=105°.∵ AF⊥BC, ∴ AF ⊥AD.∴ ∠DAE =90°. ∴ OA=12DE=OD=OE.∵ DE= 2AB,∴ OA =AB.∴ ∠AOB = ∠ABO,∠ADO=∠DAO,∠AED= ∠EAO.∵ ∠AOB = ∠ADO + ∠DAO =2∠ADO,∴ ∠ABO = ∠AOB=2∠ADO.又∵ ∠ABO+ ∠ADO+∠DAB=180°,∴ ∠ADO= 25°.∴ ∠DAO=25°.∴ ∠EAO=65°. ∴ ∠AED=∠EAO=65°. (第13题) 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC. ∴ ∠BAF=∠DFA. ∵ AF 平分∠BAD, ∴ ∠DAF=∠BAF. ∴ ∠DAF=∠DFA. ∴ AD=FD. ∵ DE⊥BC,DH⊥AB,AB∥CD, AD∥BC, ∴ DE⊥AD,DH⊥CD. ∴ ∠ADG=∠FDM=90°. 在△ADG 和△FDM 中, ∠DAG=∠DFM, AD=FD, ∠ADG=∠FDM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△FDM. (2) AB=DG+CE. 如图,延长GD 至点N,使DN=CE, 连接AN. ∵ DE⊥BC,AD∥BC, ∴ ∠ADN=∠DEB=∠DEC=90°. 在△ADN 和△DEC中, AD=DE, ∠ADN=∠DEC, DN=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADN≌△DEC. ∴ ∠NAD=∠CDE,AN=DC. ∵ ∠NAG=∠NAD+∠DAG, ∠NGA=∠CDE+∠DFA, ∴ ∠NAG=∠NGA. ∴ AN=GN=DG+DN=DG+ CE=DC. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD. ∴ AB=DG+CE. (第14题) 第2课时 由对边的关系 判定平行四边形 1. C 2. B 3. 答案不唯一,如 BE=DF 4. 3 5. ∵ EF∥AC, ∴ ∠EDC+∠C=180°. 又∵ ∠EDC=∠CBE, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ ∠CBE+∠C=180°. ∴ EB∥DC. 又∵ DE∥BC, ∴ 四边形BCDE 是平行四边形. 6. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC.又 ∵ BE=DF,∴ AF=EC.又∵ AF∥ EC,∴ 四边形AECF 是平行四边形. ∴ ①正确.∵ AF∥EC,AE∥CF, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∴ ②正确.由AE=CF 不能得出四 边形AECF 是平行四边形,∴ ③错 误.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ ∠B=∠D.∵ ∠BAE=∠DCF, ∴ ∠AEB=∠CFD.∵ AD∥BC, ∴ ∠AEB=∠EAD.∴ ∠CFD= ∠EAD.∴ AE∥CF.∵ AF∥CE, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∴ ④正确.综上所述,能使四边形 AECF 是平行四边形的条件有3个. 7. D [解析] ∵ △ABC为等边三角 形,且边长为10cm,∴ AB=BC= CA=10cm.由题意,得AE=2tcm, BF=3tcm.∵ 以A、C、E、F 为顶点 的四边形是平行四边形,∴ 分两种情 况讨论.① 如图①,当点F 在点C 的 左侧时,CF=BC-BF=(10-3t)cm. ∵ AG∥BC,即AE∥CF,∴ 当AE= CF 时,四边形AECF 为平行四边形. ∴ 令2t=10-3t,解得t=2.② 如图 ②,当点F 在点C 的右侧时,CF= BF-BC=(3t-10)cm.同理,可得当 AE=CF 时,四边形AEFC 为平行四 边形.∴ 令2t=3t-10,解得t=10. 综上所述,当t的值为2或10时,以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四 边形. (第7题) 8. 答案不唯一,如AF=CE 9. 12 [解析] ∵ E 是AD 的中点, ∴ AE = DE.∵ AF ∥ BC, ∴ ∠AFE= ∠DCE.在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, AE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△DEC.∴ AF=DC. ∵ D 是BC 的中点,∴ BD=DC. ∴ AF=BD.又∵ AF∥BD,∴ 四边 形 AFBD 是 平 行 四 边 形. ∴ S四边形AFBD=2S△ABD.又∵ BD= DC, ∴ S△ABC = 2S△ABD. ∴ S四边形AFBD=S△ABC.∵ ∠BAC= 90°,AB=4,AC=6,∴ S△ABC = 1 2AB ·AC = 12 ×4×6=12. ∴ S四边形AFBD=12. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. ∵ AF=CE, ∴ AD-AF=BC-CE,即DF=BE. 在△ABE 和△CDF 中, ∵ AB=CD,∠B=∠D,BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF. (2) 答案不唯一,如添加BE=CE. 理由:∵ AF=CE,BE=CE, ∴ AF=BE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AF∥BE. ∴ 四边形ABEF 是平行四边形. 11. 四边形AFED 为平行四边形. ∵ △ABD、△BCE 为等边三角形, ∴ BE =BC,BD =BA =DA, ∠DBA=∠EBC=60°. ∴ ∠DBA - ∠EBA = ∠EBC - ∠EBA,即∠DBE=∠ABC. 又∵ BD=BA,BE=BC, ∴ △BED≌△BCA. ∴ DE=AC. 又∵ △ACF 为等边三角形, ∴ AC=AF. ∴ DE=AF. 同理,可证△CBA≌△CEF. ∴ BA=EF. 又∵ BA=DA, ∴ DA=EF. ∴ 四边形AFED 为平行四边形. 12. A [解析] 甲方案:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, AB =CD.∴ ∠ABM = ∠CDN. ∵ BN=MD,∴ BN+MN=MD+ MN,即 BM =DN.在 △ABM 和 △CDN 中, AB=CD, ∠ABM=∠CDN, BM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△CDN.∴ AM=CN, ∠AMB= ∠CND.∴ AM ∥CN. ∴ 四边形ANCM 是平行四边形.故 甲方 案 正 确.乙 方 案:∵ 四 边 形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB, AD = CB,∠BAD = ∠DCB. ∴ ∠ADN=∠CBM.∵ AN、CM 分 别 平 分 ∠BAD、 ∠DCB, ∴ ∠DAN = 12∠BAD ,∠BCM = 1 2∠DCB.∴ ∠DAN=∠BCM.在 △DAN 和 △BCM 中, ∠DAN=∠BCM, AD=CB, ∠ADN=∠CBM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAN ≌ △BCM.∴ AN =CM,∠AND = ∠CMB.∴ AN∥CM.∴ 四 边 形 ANCM 是平行四边形.故乙方案正 确.丙方案:∵ 四边形ABCD 是平行 四边 形,∴ AB∥CD,AB =CD. ∴ ∠ABN=∠CDM.∵ AN⊥BD, CM⊥BD,∴ AN∥CM,∠ANB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∠CMD=90°.在△ABN 和△CDM 中, ∠ANB=∠CMD, ∠ABN=∠CDM, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABN≌ △CDM.∴ AN =CM.∴ 四 边 形 ANCM 是 平 行 四 边 形.故 丙 方 案 正确. 13. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∴ ∠BAC=180°-2∠ABC. ∵ 等 腰 三 角 形 ADE 的 腰 为 AD、AE, ∴ AD=AE. ∴ ∠ADE=∠AED. ∴ ∠DAE=180°-2∠ADE. ∵ ∠ABC=∠ADE, ∴ ∠BAC=∠DAE. ∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, ∵ AB =AC,∠BAD = ∠CAE, AD=AE, ∴ △BAD≌△CAE. (2) ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=30°. ∵ △BAD≌△CAE, ∴ ∠ABD=∠ACE=30°. ∴ ∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°. ∵ EM∥BC, ∴ ∠MEC+∠ECB=180°. ∴ ∠MEC=180°-60°=120°. (3) ∵ △BAD≌△CAE, ∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABD=∠ACB. ∴ ∠ACB=∠ACE. ∵ EM∥BC, ∴ ∠EMC=∠ACB. ∴ ∠EMC=∠ACE. ∴ EM=CE. ∴ EM=BD. 又∵ EM∥BD, ∴ 四边形MBDE 是平行四边形. 第3课时 由对角线的关系 判定平行四边形 1. B 2. D 3. 答案不唯一,如 OB=OD 4. 平行四边形 5. 在△AOE 和△COD 中, ∵ ∠EAO = ∠DCO,AO =CO, ∠EOA=∠DOC, ∴ △AOE≌△COD. ∴ OE=OD. ∵ AO=CO, ∴ 四边形AECD 是平行四边形. 6. D 7. B [解析] ① ∵ AB∥CD,AD∥ BC,∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 故①正确.② ∵ AB∥CD,AB=CD, ∴ 四边形ABCD 是平行四边形.故 ②正确.③ 由AB∥CD,AD=BC 无 法得出四边形ABCD 是平行四边形, 故 ③ 不 正 确.④ ∵ AB ∥CD, ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°. ∵ ∠ADC= ∠ABC,∴ ∠ADC+ ∠BCD=180°.∴ AD∥BC.∴ 四边 形ABCD 是平行四边形.故④正确. ⑤ ∵ AB∥CD,∴ ∠ABO=∠CDO. 在△AOB 和△COD 中,∵ ∠ABO= ∠CDO,BO=DO,∠AOB=∠COD, ∴ △AOB≌△COD.∴ AO=CO.又 ∵ BO=DO,∴ 四边形ABCD 是平 行四边形.故⑤正确.⑥ ∵ ∠DBA= ∠CAB,∴ OA=OB.∵ AB∥CD, ∴ ∠DBA = ∠CDB,∠CAB = ∠ACD. ∵ ∠DBA = ∠CAB, ∴ ∠CDB=∠ACD.∴ OC=OD.由 此不能得出四边形ABCD 是平行四 边形.故⑥不正确.综上所述,符合题 意的是①②④⑤. 8. B 9. BD=CF,BD∥CF [解析] ∵ AE=EC,EF=DE,∴ 四 边形ADCF 是平行四边形.∴ AD∥ CF.∵ DE∥BC,∴ 四边形DBCF 是 平行四边形.∴ BD=CF,BD∥CF. 10. 不会 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OA=OC,OB= OD.∵ 点E 从点A 出发,沿AC 以 1cm/s的速度向点C 运动,同时点F 从点C出发,沿CA 以2cm/s的速度 向点A 运动,∴ 2AE=CF.∴ 易知 OE≠OF.∴ 在点E 与点F 相遇前, 四边形DEBF 不会成为平行四边形. 11. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠BEO=∠DFO=90°. 在△BEO 和△DFO 中, ∠EOB=∠FOD, ∠BEO=∠DFO, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEO≌△DFO. ∴ EO=FO,BO=DO. 又∵ AF=CE, ∴ AF-FO=CE-EO,即AO=CO. 又∵ BO=DO, ∴ 四边形ABCD 为平行四边形. 12. (1) ∵ CF∥BE, ∴ ∠EBD=∠FCD. ∵ D 是边BC的中点, ∴ BD=CD. 又∵ ∠EDB=∠FDC, ∴ △BDE≌△CDF. (2) 四边形BECF 是平行四边形. 理由:∵ △BDE≌△CDF, ∴ DE=DF. 又∵ BD=CD, ∴ 四边形BECF 是平行四边形. 13. (6,4)或(-6,4)或(0,-4) [解析] ∵ A(-3,0)、B(3,0)、C(0, 4),∴ OA=OB=3,OC=4.∴ AB= OA+OB=6.如图,分三种情况: ① 当AB∥CD,AC∥BD 时,点D 的 坐标为(6,4);② 当AB∥CD',AD'∥ BC时,点D'的坐标为(-6,4);③ 当 AD″∥BC,AC∥BD″时,点D″的坐标 为(0,-4).综上所述,点D 的坐标为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 (6,4)或(-6,4)或(0,-4). (第13题) 14. 四边形EHFG 是平行四边形. 理由:∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴ BO=DO,AO=CO,AB=CD, AB∥CD. ∴ ∠ABE=∠CDF. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE 和△CDF 中, ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF. ∴ BO-BE=DO-DF,即EO=FO. 同理,可得GO=HO. ∴ 四边形EHFG 是平行四边形. 专题特训（三） 平行四边形判定策略 1. D [解析] ∵ 只有①③两小块玻 璃的角的两边互相平行,且中间部分 相连,角的两边的延长线的交点就是 平行四边形的顶点,∴ 带①③两小块 玻璃就可以确定平行四边形的形状与 大小. 2. 不一定 3. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AC = BC = AB,∠ABC = ∠ACB=60°. 由旋转的性质,得DE=CE,EF=EA, ∴ △EDC是等边三角形. ∴ DE=CD=CE,∠DEC=∠EDC= 60°. ∴ ∠AEF=∠DEC=60°. 又∵ EF=EA, ∴ △AEF 是等边三角形. ∴ ∠EFA=60°. ∴ ∠ABC = ∠EDC,∠EFA = ∠EDC. ∴ AB∥FD,BD∥AF. ∴ 四边形ABDF 是平行四边形. 4. C 5. (1) ∵ △ABC 和△ADE 均为等 边三角形, ∴ AB=CA,∠BAF=∠C=60°. 又∵ AF=CD, ∴ △ABF≌△CAD. ∴ BF=AD. (2) 如图,设AC与DE 相交于点H. 由(1)知,BF=AD. ∵ △ADE 是等边三角形, ∴ AD=DE,∠AED=∠DAE=60°. ∴ BF=DE. ∵ ∠C=∠AED=60°,∠DHC= ∠AHE, ∴ ∠CDH=∠CAE. ∵ △ABF≌△CAD, ∴ ∠ABF=∠CAD. 又∵ ∠CAE+∠CAD=∠CBF+ ∠ABF=60°, ∴ ∠CBF=∠CAE. ∴ ∠CBF=∠CDH. ∴ BF∥DE. 又∵ BF=DE, ∴ 四边形BFED 为平行四边形. (第5题) 6. ∵ FE⊥AC, ∴ ∠FEA=∠FEC=90°. ∵ ∠FAC=45°, ∴ 易得△AEF 是等腰直角三角形. ∴ AE=FE,∠AFE=∠FAE=45°. 在Rt△AEB 和Rt△FEC中, AB=FC, AE=FE, ∴ Rt△AEB≌Rt△FEC. ∴ BE=CE. ∴ ∠CBE= ∠BCE= 12 (180°- ∠BEC)=45°. ∵ AD⊥AF, ∴ ∠FAD=90°. ∴ ∠CAD=90°-45°=45°. ∴ ∠BCE=∠CAD. ∴ BC∥AD. 又∵ BC=AD, ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 7. 3 8. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB,AD=CB,∠DAB= ∠BCD. 又∵ △ADE 和△CBF 都是等边三 角形, ∴ DE=AD=AE,BF=CB=CF, ∠DAE=∠BCF=60°. ∴ DE=BF,CF=AE,∠DCF= ∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB- ∠DAE. ∴ ∠DCF=∠BAE. ∴ △DCF≌△BAE. ∴ DF=BE. 又∵ DE=BF, ∴ 四边形BEDF 是平行四边形. 9. (6,0)或(0,0)或(-8,0) [解析] 设D(n,0).∵ A(2,-1)、 B(-2,2)、C(m,m+1),以A、B、C、 D 为顶点的四边形是平行四边形, ∴ 分三种情况讨论.① 若四边形 ABCD 是平行四边形,则对角线的中 点 坐 标 为 2+m 2 ,-1+m+1 2 或 n-22 ,0+22 . ∴ 2+m=n-2, m=2, 解 得 m=2, n=6. ∴ D(6,0).② 若四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31