9.2 中心对称与中心对称图形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

30 9.2　中心对称与中心对称图形 ▶ “答案与解析”见P8 1. (2024·淮安)我国古典建筑中的镂空砖雕图 案十分精美.下列砖雕图案中,不是中心对称 图形的为 ( ) A. B. C. D. 2. 有下列命题:① 关于某点成中心对称的两个 图形一定不全等;② 关于某点成中心对称的 两个图形是全等图形;③ 两个全等的图形一 定关于某点成中心对称.其中,正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. (易错题)如图所示为由五个形状、大小都相 同的正方形组成的图形.如果去掉其中一个 正方形,使得剩下的图形是一个中心对称图 形,那么不同的去法有 种. (第3题) (第4题) 4. 如图,AB=3,AC=2,∠D=90°,△DEC 与 △ABC关于点C 成中心对称,则AE 的长是 . 5. 如图,△AGB 与△CGD 关于点G 成中心对 称,点E、F 分别在GA、GC 上,且AF=CE, 连接BF、DE.求证:BF=DE. (第5题) 6. (2024·哈尔滨)剪纸是我国最古老的民间艺 术之一.下列剪纸图案中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的为 ( ) A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中,有点A(2,7)、B(-5, 0)、C(0,-1).若△A'B'C'与△ABC 关于点 P(5,6)成中心对称,则点A'的坐标为( ) A. (-2,-7) B. (7,2) C. (8,8) D. (8,5) 答案讲解 8. 如图,在平面直角坐标系中,点P、N 的坐标分别为(1,1)、(2,0),△MNP 和△M1N1P1 的顶点都在格点上. 已知△MNP与△M1N1P1 关于某一点成中 心对称,则对称中心的坐标为 . (第8题) 9. ★如图,在平面直角坐标系中,点A、B、D 的 坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,1),点C 在第 四象限内,∠ACB=90°,AC=BC.若△ABC 与△A'B'C'关于点D 成中心对称,则点C'的 坐标为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 31 10. 如图,△ABO 与△CDO 关于点O 成中心对 称,点E、F 在线段AC 上,且AF=CE,连 接DF、BE.求证:DF=BE,DF∥BE. (第10题) 11. 如图,方格纸上有A、B、C 三个点,要求作 一个四边形使这三个点在这个四边形的边 (包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶 点上. (1) 如图①,要求作出的四边形是中心对称 图形,但不是轴对称图形. (2) 如图②,要求作出的四边形是轴对称图 形,但不是中心对称图形. (3) 如图③,要求作出的四边形既是轴对称 图形,又是中心对称图形. (第11题) 12. (新情境)在平面直角坐标系中,点A、B、C 的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(-1,0).一个 电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃 到点P1,使得点P1 与点O 关于点A 成中 心对称;第二次跳跃到点P2,使得点P2 与 点P1关于点B 成中心对称;第三次跳跃到 点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心 对称;第四次跳跃到点P4,使得点P4 与点 P3关于点A 成中心对称;第五次跳跃到点 P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对 称…… 照 此 规 律,点 P2024 的 坐 标 为 . 答案讲解 13. 如图,△ABM 与△ACM 关于直 线 AF 成 轴 对 称,△ABE 与 △DCE 关于点E 成中心对称,点 E、D、M 都在线段AF 上,BM 的延长线交 CF 于点P. (1) 求证:AC=DC. (2) 若∠BAC=2∠MPC,请判断∠F 与 ∠MCD 之间的数量关系,并说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 ∴ ∠BDC=∠A. ∴ CA=CD. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°. ∴ ∠1=∠2. ∴ CD=CE. ∴ CA=CE. ∴ C是AE 的中点. (2) EF=2AC. 如图②,在射线AM 上取点H,连接 BH、DH,使得BH=BA,取EF 的 中点G,连接DG. ∵ BA=BH, ∴ ∠BAH=∠BHA=α. ∴ ∠ABH=180°-2α=∠CBD. ∴ ∠ABC=∠HBD. 又∵ BC=BD, ∴ △ABC≌△HBD. ∴ AC=DH,∠A=∠BHD=α. ∴ ∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠3=90°. ∵ DF∥AN, ∴ ∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°. ∵ G 是EF 的中点, ∴ GF=GD,EF=2GD. ∴ ∠GFD=∠GDF=α. ∴ ∠HGD=2α. ∴ ∠HGD=∠FHD. ∴ DG=DH. ∵ AC=DH, ∴ DG=AC. ∴ EF=2AC. (第11题) 9.2　中心对称 与中心对称图形 1. A 2. B 3. 2 4. 5 5. ∵ △AGB 与△CGD 关于点G 成 中心对称, ∴ △AGB≌△CGD. ∴ AG=CG,BG=DG. ∵ AF=CE, ∴ AF-EF=CE-EF,即AE=CF. ∵ AG=CG, ∴ AG-AE=CG-CF,即EG=FG. 在△BGF 和△DGE 中, BG=DG, ∠BGF=∠DGE, FG=EG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGF≌△DGE. ∴ BF=DE. 6. D 7. D [解析] 设点A'的坐标为(m, n).由题意,得点 A(2,7)、A'(m, n)关于点P(5,6)对称,∴ 5=2+m2 , 6=7+n2 .∴ m=8,n=5.∴ 点A'的 坐标为(8,5). 8. (2,1) 9. (-2,3) [解析] 如图,过点C 作 CH⊥AB 于点H.设点C'的坐标为 (m,n).∵ 点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(3,0),∴ OA=1,OB=3. ∴ AB=2.∵ ∠ACB=90°,AC= BC,CH⊥AB,∴ AH=HB=CH= 1 2AB=1.∴ OH=OA+AH=2. ∴ 点C的坐标为(2,-1).由题意,得 点C、C'关于点D 对称,点D 的坐标 为 (0,1),∴ m+2 2 =0 , n-1 2 =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 m=-2, n=3. ∴ 点C'的坐标为(-2,3). (第9题) 运用中心对称的性质构建 方程(组)来确定对应点的坐标 探求图形关于已知点成中心 对称的对应点的坐标问题时,常常 运用中心对称的性质确定这对对 称点关于该已知点对称,进而建立 关于点的坐标的方程或方程组,求 得方程或方程组的解,即可确定待 求点的坐标,使问题得以解决. 10. ∵ △ABO 与△CDO 关于点O 成 中心对称, ∴ BO=DO,AO=CO,点A、O、C 共 线,点B、O、D 共线. ∵ AF=CE, ∴ AO-AF=CO-CE,即FO=EO. 在△FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD=∠EOB, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOD≌△EOB. ∴ DF=BE,∠DFO=∠BEO. ∴ DF∥BE. 11. (1) 答案不唯一,如图①所示. (2) 答案不唯一,如图②所示. (3) 答案不唯一,如图③所示. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 12. (-2,2) [解析] 由题意,可得 P1(2,0)、P2(-2,2)、P3(0,-2)、 P4(2,2)、P5(-2,0)、P6(0,0)、 P7(2,0)、….∴ 点P 的坐标每六个 为一次循环.∵ 2024÷6=337……2, ∴ 点P2024的坐标为(-2,2). 13. (1) ∵ △ABM 与△ACM 关于直 线AF 成轴对称, ∴ △ABM≌△ACM. ∴ AB=AC. ∵ △ABE 与△DCE 关于点E 成中 心对称, ∴ △ABE≌△DCE. ∴ AB=DC. ∴ AC=DC. (2) ∠F=∠MCD. 理由:∵ △ACM≌△ABM, ∴ ∠CAM = ∠BAM,∠CMA = ∠BMA=∠PMF. ∴ ∠BAC=2∠CAD. ∵ ∠BAC=2∠MPC, ∴ ∠CAD=∠MPC. ∵ AC=DC, ∴ ∠CAD=∠CDA. ∴ ∠MPC=∠CDA. ∵ ∠F=∠MPC-∠PMF,∠MCD= ∠CDA-∠CMA, ∴ ∠F=∠MCD. 9.3　平行四边形 第1课时 平行四边形及其性质 1. B 2. A 3. 5 4. 25° 5. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC. ∵ O 为对角线AC的中点, ∴ AO=CO. 在△AOE 和△COF 中, ∵ ∠OEA=∠OFC,∠EAO=∠FCO, AO=CO, ∴ △AOE≌△COF. ∴ AE=CF. ∴ AD-AE=BC-CF. ∴ DE=BF. 6. C [解析] 如图,四边形ABCD 是 平行四边形,AD=8cm,AC=6cm, AC、BD 交于点O,则 OA=OC= 3cm,OB=OD.在△AOD 中,由三角 形的三边关系,得AD-OA<OD< AD+OA,即5cm<OD<11cm. ∴ 10cm<x<22cm. (第6题) 7. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠D=∠B=60°,CD= AB=3.由折叠的性质,可知AE= AD,CD=CE=3.又∵ 点D 恰好落 在DC的延长线上的点E 处,即D、 C、E 三点共线,∴ 易得△ADE 是等 边三角形.又∵ DE=CD+CE=6, ∴ △ADE 的周长为6×3=18. 8. B [解析] 由题意,得AB=CD= 6 cm,AD =BC=12 cm,∠B = ∠D=60°,点 P 从点A 到点D 需 12s,点Q 从点C到点B(或从点B 到 点C)需4s,设点P、Q 的运动时间为 ts.当0≤t≤4,且点P 在点Q 左侧 时,如图①,过点Q 作QH⊥AD 于点 H,过点C 作CG⊥AD 于点G.由题 意,知AP=tcm,CQ=3tcm=GH. ∵ PD∥CQ,PQ=CD,PD ≠CQ, ∴ 四 边 形 CQPD 是 等 腰 梯 形. ∴ ∠QPH =∠D =60°.∵ PQ= CD=6cm,∴ 易得PH=12PQ= 3cm,DG=12CD=3cm.∵ AP+ PH+GH+DG=AD=12cm,∴ t+ 3+3t+3=12,解得t=1.5.如图②, 当0≤t≤4,且四边形CQPD 是平行 四边形时,PD=CQ=3tcm,∴ t+ 3t=12,解得t=3.当4<t≤8时,如 图③,若四边形CQPD 是平行四边 形,此时BQ=(3t-12)cm,AP= tcm,PD =CQ.∵ AD = BC, ∴ BQ=AP.∴ 3t-12=t,解得t= 6.当4<t≤8,且四边形CQPD 是以 CD、PQ 为腰的等腰梯形时,易得t+ 3+(2×12-3t)+3=12,解得t=9, 不符合题意,舍去.当8<t≤12时,如 图④,只可能在四边形CQPD 是平行 四边形时,PQ=CD,此时CQ=(3t- 24)cm,PD=(12-t)cm,∴ 3t- 24=12-t,解得t=9.综上所述,当t 的值为1.5或3或6或9时,PQ= CD,即线段PQ、CD 的长相等的次数 是4. (第8题) 9. 9 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四 边 形,BD=8,∴ OA=OC, OB=OD=12BD=4.∵ AC⊥BC, ∴ ∠ACB=90°.在Rt△OBC 中,由 勾股定理,得 BC2+OC2=OB2= 42=16①.∵ BC+OC=5,∴ (BC+ OC)2=52,即 BC2+2BC·OC+ OC2=25②.由②-①,得2BC· OC=9.∴ BC·AC=9.∴ S▱ABCD= BC·AC=9. 10. 30° [解析] ∵ 四边形ABCD 是 平行 四 边 形,∴ ∠ABC= ∠D = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9