18.2 第1课时 矩形的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

∴ DG=12PQ=5. (第6题) 7. 如图,分别延长CE,CD,交AB 于 点G,H. ∵ ∠ACB=90°,AB=13,BC=5, ∴ 在Rt△ABC中,AC= AB2-BC2= 132-52=12. ∵ AD 平分∠BAC,∠ADC=90°, ∴ AC=AH=12,CD=HD. 同理,可得BC=BG=5,CE=GE. 又∵ AH+BG-AB=GH, ∴ GH=12+5-13=4. ∵ CE=GE,CD=HD, ∴ DE=12GH= 1 2×4=2. (第7题) 8. C [解析] 如图,取AC 的中点 N,连接 MN,BN.∴ AN=CN= 1 2AC=2.∵ ∠BAN=90°,AB=3, ∴ BN= AB2+AN2= 32+22= 13.∵ M 为AP 的中点,N 为AC 的 中 点,∴ MN = 12 PC =1. ∵ BM≥BN-MN,∴ BM≥ 13- 1.∴ BM 长的最小值为 13-1. (第8题) 9. 如 图,取 AB 的 中 点 D,连 接 MD,ND. ∵ AE=1,CA=CB,CE=CF, ∴ 易得BF=AE=1. ∵ M,N 分别为AF,BE 的中点, ∴ DM 为△ABF 的中位线,DN 为 △ABE 的中位线. ∴ DM = 12BF= 1 2 ,DM∥BF, DN=12AE= 1 2 ,DN∥AE. ∵ AE⊥BF, ∴ DM⊥DN. ∴ △DMN 为等腰直角三角形. ∴ 易得MN= DM2+DN2= 22. (第9题) 18.2　特殊的平行四边形 第1课时 矩形的性质 1. D 2. 25 3. (1) ∵ DF 是AC的垂直平分线, ∴ AD=DC,∠CDE=90°. 在Rt△ABC中,AD=DC, ∴ BD=12AC. ∴ CD=BD. ∴ ∠C=∠DBC. ∵ ∠CED+∠C=90°, ∴ ∠CED+∠DBC=90°. ∵ 四边形BFGE 是矩形, ∴ OE=OB. ∴ ∠OEB=∠OBE. ∵ ∠CED=∠OEB, ∴ ∠OBE=∠CED. ∴ ∠OBE+∠DBC=90°. ∴ BD⊥BG. (2) 如图,连接AE. ∵ DE 是AC的垂直平分线, ∴ AE=EC. 在Rt△ABE 中,∵ AB=BE=1, ∴ AE= AB2+BE2=2. ∴ EC=2. ∴ BC=BE+EC=1+2. ∵ DF⊥AC,AB⊥BC, ∴ ∠CDE=∠ABC=∠EBF=90°. ∴ ∠ACB=90°-∠CED=90°- ∠FEB=∠EFB. ∵ AB=EB=1, ∴ △ABC≌△EBF. ∴ BC=BF=1+2. 在Rt△EBF中,EF= BE2+BF2= 12+(1+2)2= 4+22. (第3题) 4. C [解析]∵ 四边形ABCD 为矩 形,∴ ∠ABC= ∠BAD =90°.在 Rt△BCE 中,∵ F 为 斜 边 CE 的 中点,∴ BF=12CE=5.∴ BG= BF=5.在 Rt△ABG 中,AB=4, BG=5,由 勾 股 定 理,得 AG = BG2-AB2=3. 5. D [解析]由题意,得OE=BF= 4.∴ E(4,0).∵ 四边形OABC 为矩 形,A(9,0),C(0,3),∴ 易得B(9, 3),F(5,3).在Rt△AOC 中,由勾股 定 理,得 AC = OC2+OA2 = 32+92=3 10.又∵ 易得EF= (5-4)2+32 = 10,∴ AC · EF=3 10× 10=30. 6. 9 [解析] 取BC 的中点O,连接 OE,OF.∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD =6,AD =BC=8, ∠BCD=90°.∵ F 是CD 的中点,O 是BC 的中点,∴ CF=3,OC=4, ∴ OF= CF2+OC2 =5.∵ O 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 Rt△BCE 的 斜 边 BC 的 中 点, ∴ OE=OC=4.∵ OE+OF≥EF, ∴ 当O,E,F 三点共线时,EF 的长 取得最大值,为OE+OF=4+5=9. 7. 2-1 [解析] 如图,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到 △AD'E',取AE'的中点M,AE 的中 点P,连接BM,BP,MP.∴ 易得MB 为△AD'E'的 中 位 线.∴ BM = 1 2D'E'= 1 2DE ,AM = 12AE'= 1 2AE.∵ 易得P 是Rt△ABE 的斜 边AE 的中点,∴ BP=12AE.∴ 在 Rt△AMP 中,MP= AM2+AP2= 1 2AE 2 + 12AE 2 = 22AE. ∵ BM +BP≥MP,∴ 1 2DE+ 1 2AE≥ 2 2AE.∴ DE≥(2-1)AE, 即DE AE≥ 2-1.∴ DE AE 的最小值为 2-1. (第7题) 8. (1) ∵ CD,BE 分别是边AB,AC 上的高,M 是BC的中点, ∴ DM=12BC ,ME=12BC. ∴ DM=ME. 又∵ N 为DE 的中点, ∴ MN⊥DE. (2) ∠DME=180°-2∠A. 在△ABC 中,∠ABC + ∠ACB = 180°-∠A. ∵ 易得 DM=ME=BM=MC= 1 2BC , ∴ ∠MDB=∠MBD,∠MEC=∠MCE. ∴ ∠BMD + ∠CME = (180°- 2∠ABC)+ (180°-2∠ACB)= 360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°- 2(180°-∠A)=2∠A. ∴ ∠DME =180°- (∠BMD + ∠CME)=180°-2∠A. (3) (1)中的结论成立,(2)中的结论 不成立. 理 由:在 △ABC 中,∠ABC + ∠ACB=180°-∠BAC. 易得DM=ME=BM=MC=12BC , ∴ ∠MDB=∠MBD,∠MEC=∠MCE. ∴ ∠BME+∠CMD=2∠ACB+ 2∠ABC=2(∠ACB+ ∠ABC)= 2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC. ∴ ∠DME =180°- (∠BME + ∠CMD ) = 180° - (360° - 2∠BAC)=2∠BAC-180°. 直角三角形斜边上的中线的 运用技巧 如果题目中出现了一边的中 点,那么往往需要用到中线.若同 时有直角,则可能需要用到“直角 三角形斜边上的中线等于斜边的 一半”这一定理.在直角三角形中, 遇到斜边上的中点,常作斜边上的 中线,把问题转化为等腰三角形问 题,再用等腰三角形的性质解决. 9. (1) 2. (2) 6. [解析]∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ ∠BAD = ∠ABC=90°. ∵ AE 平 分∠BAD,∴ ∠BAE= 1 2∠BAD=45°.∴ 易得△ABE 是等 腰直 角 三 角 形.∴ AB=BE=6. ∴ CE =BC -BE =8-6=2. ∴ △ACE 的面积=12CE ·AB= 1 2×2×6=6. (3) ① 90°-2α. [解析]∵ EO⊥ OC,∠BCA=α,∴ ∠OEC=90°-α. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 易得 OB=OC.∴ ∠OBC=∠BCA=α. ∴ ∠BOE=∠OEC-∠OBC=90°- α-α=90°-2α. ② ∵ 四边形ABCD 是矩形,AB=6, BC=8, ∴ AD=BC=8,CD=AB=6,OA= OC,∠ABC=90°. ∵ OE⊥AC, ∴ OE 垂直平分AC. ∴ AE=CE. 设BE=x,则AE=CE=8-x. 在Rt△ABE 中,AB2+BE2=AE2, 即62+x2=(8-x)2,解得x=74. ∴ BE 的长为74. 第2课时 矩形的判定 1. B 2. 答案不唯一,如AC⊥BD 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD,AO=CO. ∴ ∠OAM=∠OCN,∠AMO= ∠CNO. ∴ △OAM≌△OCN. ∴ AM=CN. 又∵ AB∥CD, ∴ 四边形AMCN 是平行四边形. ∵ CM⊥AB, ∴ ∠AMC=90°. ∴ 四边形AMCN 为矩形. (2) ∵ AC⊥BC, ∴ ∠ACB=90°. ∵ ∠ABC=30°, ∴ AC=12AB= 1 2×8=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 46 18.2　特殊的平行四边形 第1课时 矩形的性质 ▶ “答案与解析”见P24 1. 如图,四边形ABCD 是矩形,直线EF 分别 交AD,BC,BD 于点E,F,O,下列条件中, 不能证明△BOF≌△DOE 的是 ( ) A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点 B. EO=FO C. AE=CF D. EF⊥BD (第1题) (第2题) 2. (2023·台州)如图,在矩形ABCD 中,AB= 4,AD=6.在边AD 上取一点E,使BE= BC,过点C 作CF⊥BE,垂足为F,则BF 的 长为 . 3. (2024·福州期末)如图,四边形BFGE 是矩 形,EF,BG 相 交 于 点 O,在 △ABC 中, ∠ABC=90°,AC 的垂直平分线与矩形的对 角线EF 所在的直线重合,连接BD. (1) 求证:BD⊥BG. (2) 当AB=BE=1时,求EF 的长. (第3题) 4. (2023·兰州)如图,在矩形ABCD 中,E 为 BA 延长线上的一点,F 为CE 的中点,以点 B 为圆心、BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则 AG的长为 ( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 (第4题) (第5题) 5. (2023·苏州)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(9,0),点C 的坐标为(0,3),以 OA,OC 为邻边作矩形OABC.动点E,F 分 别从点O,B 同时出发,以每秒1个单位长度 的速度沿OA,BC 向终点A,C 移动.当移动 时间为4秒时,AC·EF 的值为 ( ) A. 10 B. 910 C. 15 D. 30 6. (2024·晋中平遥二模)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,以BC 为斜边在矩形的 外部作直角三角形BEC,F 是CD 的中点,则 EF 长的最大值为 . (第6题) (第7题) 答案讲解 7. (2024· 无锡二模)如图,在矩形 ABCD 中,BC=2AB,点E 在BC 的延长线上运动,连接AE,DE,则 DE AE 的最小值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 47 8. ★如图①,在锐角三角形ABC 中,CD,BE 分 别是边AB,AC 上的高,M,N 分别是线段 BC,DE 的中点,连接DM,ME,MN. (1) 求证:MN⊥DE. (2) 猜想∠A 与∠DME 之间的数量关系,并 证明你的猜想. (3) 如图②,当∠BAC 变为钝角时,上述(1) (2)中的结论是否都成立? 若成立,请直接回 答,无须证明;若不成立,请说明理由. (第8题) 9. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,AC 与BD 交于点O,E 为BC 上一点. (1) △BOC 与 △DOC 的 周 长 之 差 为 . (2) 连接AE,若AE 平分∠BAD,则△ACE 的面积为 . (3) 连接EO,当EO⊥OC 时. ① 如果∠BCA=α,那么∠BOE 的度数为 (用含α的式子表示). ② 求BE 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形