易错点10 变力做功计算 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点10 变力做功计算 一、易错点分析 1、对公式的适用条件理解不清 易错点：混淆恒力做功公式W = Fscosθ和变力做功的计算方法，直接用恒力做功公式去计算变力做功。 2、不能正确选择计算方法 易错点：对于不同类型的变力做功问题，不能根据具体情况选择合适的计算方法。常见的变力做功计算方法有多种，如微元法、图像法、平均力法、动能定理法等。 3、微元法应用不当 易错点：在使用微元法计算变力做功时，不能正确选取微元，或者对微元做功的分析不准确。 4、图像法理解错误 易错点：不能正确理解F - s图像中面积的物理意义，或者在绘制图像时出现错误。在F - s图像中，图线与坐标轴围成的面积表示力做的功。如果图像绘制不准确，或者对面积的计算错误，就会导致变力做功的计算结果错误。 5、忽略变力做功的过程分析 易错点：对物体的运动过程分析不全面，没有考虑到变力做功在不同阶段的特点。有些变力做功问题中，物体的运动过程可能比较复杂，变力的大小和方向在不同阶段会发生变化。 二、知识掌握 方法 举例说法 1.应用动 能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有： WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ) 2.微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 3.等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F· 4.平均 力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1) 5.图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 6.功率法 汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt 题型一：利用动能定理 [例题1] （2025•青白江区模拟）如图所示，长为L的细线一端固定在O点，另一端连着质量为m的钢球（细线刚好拉直），将钢球从与O点等高处静止释放，钢球在竖直平面沿圆周运动至O点正下方过程中，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．钢球速率增加得越来越快 B．细线上拉力最大为2mg C．当小球下落至细线与水平方向夹角为45°时，重力功率最大 D．重力最大功率为 [例题2] （2024秋•西城区校级期中）将一质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，运动过程中受到的空气阻力与速度的大小成正比，已知小球上升的最大高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．上升过程中合力做的功为 B．下降过程中合力做功为mgh C．上升过程中克服空气阻力做功为 D．下落过程中克服空气阻力做功为 [例题3] （2024秋•郫都区校级期中）如图所示，长为L＝2m的长木板水平放置，在木板的中点处放置一质量为m＝1kg的小物块，现缓慢地抬高木板的一端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为θ＝30°时，小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v＝2m/s，重力加速度g＝10m/s2，则在整个过程中（　　） A．木板对小物块做的功为5J B．摩擦力对小物块做的功为5J C．支持力对小物块做的功为0 D．小物块克服摩擦力做的功为3J 题型二：微元法 [例题4] （2023春•武汉期末）2019年国庆小长假，雪晴同学外出旅游，到一家农家乐餐厅就餐时发现，店内竟有真驴在拉磨，如图所示。假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为（　　） A．0 B．500J C．500πJ D．1000πJ 题型三：等效转换法 [例题5] （2023春•思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球的重力势能增加了mglcosθ B．拉力F所做的功为Flsinθ C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ） D．轻绳的拉力所做的功为mgl 题型四：平均值法 [例题6] （2024春•重庆期末）如图所示，水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一可视为质点的物块，该物块置于光滑水平面上。弹簧无弹力时，其右端位于O点。现对该物块施力使弹簧右端压缩到P点，然后将该物块由静止释放。已知Q点为PO中点，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，该物块向右运动过程中，在PQ段，弹簧对该物块做功W1，在QO段，弹簧对该物块做功W2。则为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：图像法 [例题7] （2024秋•思明区校级月考）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，规定初速度的方向为正方向。求： （1）在第1s内和第2s内力F做对滑块做的功W1、W2； （2）前2s内力F做的总功WF； （3）除F以外滑块所受其他力做的功W其他。 题型六：功率法 [例题8] （2025•泉州三模）如图，航模试验时小船A在水面上失去动力，某同学在岸上通过电动机用跨过光滑定滑轮的轻绳把A沿水平直线拖向岸边，A的水平甲板上有一货箱B，A和B始终保持相对静止。已知A和B的质量均为m，电动机的输出功率恒为P，A经过c处时速度大小为v0，经过d处时B受到甲板的静摩擦力大小为f，A受水面的阻力忽略不计，求小船A （1）在d处的加速度大小a； （2）在d处的速度大小v； （3）从c运动到d所用的时间t。 [练习1] （2025•文登区一模）春秋战国时期，《墨经》记载了利用斜面来运送货物的方法。如图所示，用平行于斜面的推力将货物从地面匀速推到货车上。若货物与斜面间的动摩擦因数恒定，下列说法正确的是（　　） A．斜面越短，推力对货物做的功越多 B．斜面越长，推力对货物做的功越多 C．斜面越短，推力越大 D．斜面越长，推力越大 [练习2] （2024•鼓楼区校级模拟）质量为0.2kg的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10m/s2，则物体从x＝0运动到x＝3m的过程中，合外力做功为（　　） A．9J B．8J C．7J D．6J [练习3] （2024春•安徽期中）如图所示，某同学将一排球竖直向上垫起，一段时间后，排球又回到抛出点；整个过程中，排球所受空气阻力大小与速率成正比，下列选项正确的是（　　） A．上升过程与下降过程合外力对排球的冲量大小相等 B．上升过程与下降过程空气阻力对排球做的功大小相等 C．排球的加速度先减小后增大 D．排球的加速度一直减小 [练习4] （2024•南海区校级开学）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做逆时针匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．水珠做离心运动是由于合外力大于所需向心力 C．P、Q两位置，杯子的角速度相同 D．从Q到P，杯子所受合外力做功不为零 [练习5] （2023春•郴州期末）某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼（高度为20m），小车和细沙总质量为10kg。由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距离的变化关系如图所示。小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为（　　） A．2160J B．1800J C．2400J D．180J [练习6] （2023春•渝中区校级月考）在研究物理问题的过程中，我们会用到一些重要的科学思维方法，如理想模型、极限思想、数形结合思想、微元法和数学物理方法等。经典案例如下：为研究匀变速直线运动的位移，我们建立了速度随时间变化的v﹣t图像，并将匀变速直线运动的过程分割成几段，每段过程近似看作匀速直线运动，在v﹣t图像中每段匀速直线运动的位移可以用一个矩形面积来表示，矩形面积的总和就近似等于匀变速直线运动的位移；若过程分割得足够多，这些矩形的总面积就等于图线与横轴所围的面积，因此我们可以用v﹣t图像中图线与横轴所围面积表示位移，如图所示。一辆洒水车装满水后的总质量为M，正常工作时每秒钟向外洒水的质量为m，洒水车在平直路面上受到的阻力等于其总重的k倍。在以下运动情况中，洒水车发动机的功率均未达到额定功率。 （1）若洒水车始终以速度v做匀速直线运动，某时刻从满载状态开始正常工作，求洒水车从此时刻起向前运动s的距离（水未洒完）时的牵引力； （2）接（1），若满载时水的质量为m0，求洒水车从满载状态到洒完水的过程中，克服阻力所做的功； （3）若洒水车由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，启动时从满载状态开始正常工作，整个过程水始终未洒完，求洒水车发动机的最大功率。 [练习7] （2024•济宁模拟）遥控爬墙小车通过排出车身内部部分空气，和外界大气形成气压差，由于气压差使车身内外产生的压力差恒为F0＝25N，方向垂直于接触面，使小车可吸附在墙壁、天花板上。如图所示，某次小车从室内墙壁上的A点由静止出发，沿着竖直方向经B处一小段圆弧运动到水平天花板上的C点，然后从C点开始做匀速圆周运动。已知AB沿竖直方向且足够长，运动过程中小车受到的阻力f大小与车和墙壁间、天花板间的弹力FN之间关系为f＝0.8FN，方向总与速度方向相反。小车质量m＝0.5kg，小车可视为质点，忽略空气阻力，取g＝10m/s2。 （1）若小车在AB段上的功率为P＝75W，求小车在AB段上最大速度的大小vm； （2）若小车在天花板上以v＝3m/s的速率做匀速圆周运动，牵引力大小为F＝20N，取π＝3，求小车运动一周牵引力做的功。 [练习8] （2024秋•济宁期末）如图所示，框架AOB中的杆OB竖直，光滑杆OA与水平面间的夹角α＝60°。轻质弹簧上端用铰链与固定点B相连，下端与穿在OA杆上质量为m的小球相连，整个装置处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角β＝30°，已知OB两点间的距离为L，重力加速度为g。 （1）求弹簧的弹力大小； （2）若框架以OB为轴开始转动，使小球缓慢运动到与B点等高的A点，在A点做匀速圆周运动，求整个过程杆对小球做的功W。 [练习9] （2024秋•西城区期末）某星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为2R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。如图1所示，以星系中心为坐标原点O，沿某一半径方向为x轴正方向，在x＝R处有一质量为m的探测器，向着星系边缘运动。已知万有引力常量为G。 （1）已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，推导探测器在星系内受到的引力大小F随x变化的规律。 （2）求探测器从x＝R处沿x轴运动到球体边缘的过程中引力做的功W。 （3）若探测器在x＝R处的速度方向与x轴的夹角为45°，如图2所示。探测器仅在引力作用下运动到距离星系中心最远时，恰好到达球体的边缘。已知探测器在运动过程中，它与星系中心的连线在相等时间内扫过的面积相等，且引力做功与路径无关。忽略探测器与恒星及星际物质的碰撞，求探测器在x＝R处速度的大小v0。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点10 变力做功计算 一、易错点分析 1、对公式的适用条件理解不清 易错点：混淆恒力做功公式W = Fscosθ和变力做功的计算方法，直接用恒力做功公式去计算变力做功。 2、不能正确选择计算方法 易错点：对于不同类型的变力做功问题，不能根据具体情况选择合适的计算方法。常见的变力做功计算方法有多种，如微元法、图像法、平均力法、动能定理法等。 3、微元法应用不当 易错点：在使用微元法计算变力做功时，不能正确选取微元，或者对微元做功的分析不准确。 4、图像法理解错误 易错点：不能正确理解F - s图像中面积的物理意义，或者在绘制图像时出现错误。在F - s图像中，图线与坐标轴围成的面积表示力做的功。如果图像绘制不准确，或者对面积的计算错误，就会导致变力做功的计算结果错误。 5、忽略变力做功的过程分析 易错点：对物体的运动过程分析不全面，没有考虑到变力做功在不同阶段的特点。有些变力做功问题中，物体的运动过程可能比较复杂，变力的大小和方向在不同阶段会发生变化。 二、知识掌握 方法 举例说法 1.应用动 能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有： WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ) 2.微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 3.等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F· 4.平均 力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1) 5.图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 6.功率法 汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt 题型一：利用动能定理 [例题1] （2025•青白江区模拟）如图所示，长为L的细线一端固定在O点，另一端连着质量为m的钢球（细线刚好拉直），将钢球从与O点等高处静止释放，钢球在竖直平面沿圆周运动至O点正下方过程中，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．钢球速率增加得越来越快 B．细线上拉力最大为2mg C．当小球下落至细线与水平方向夹角为45°时，重力功率最大 D．重力最大功率为 【解答】解：A、下落过程中，重力在切线方向的分力越来越小，切向加速度减小，则速率增加得越来越慢，故A错误； B、根据动能定理可得，mgL0，解得：v 在最低点根据牛顿第二定律可得：F﹣mg＝m 解得细线上拉力最大为：F＝3mg，故B错误； CD、设小球下落至细线与水平方向夹角为θ时，重力功率最大，根据动能定理可得：mgLsinθ0 速度在竖直方向的分量为：vy＝v′cosθ 重力的功率为：P＝mgvy＝mg•cosθ＝mg 由于P4＝m4g4×4g2L2sin2θcos4θ＝2m4g6L2×2sin2θcos2θcos2θ 由于2sin2θ+cos2θ+cos2θ＝2（定值），则当2sin2θ＝cos2θ时积最大，解得：tanθ，θ≠45° 则sinθ，cosθ 解得重力最大功率为：P，故D正确。 故选：D。 [例题2] （2024秋•西城区校级期中）将一质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，运动过程中受到的空气阻力与速度的大小成正比，已知小球上升的最大高度为h，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．上升过程中合力做的功为 B．下降过程中合力做功为mgh C．上升过程中克服空气阻力做功为 D．下落过程中克服空气阻力做功为 【解答】解：A.根据动能定理，上升过程中合外力做的功为，故A错误； B.下落过程中合力做功为W合＝mgh﹣Wf′＜mgh，故B错误； C.上升过程中，根据动能定理，则克服空气阻力做功为，故C正确； D.下落过程中由于空中阻力作用，则落地的速度小于v0，则克服空气阻力做功小于，故D错误。 故选：C。 [例题3] （2024秋•郫都区校级期中）如图所示，长为L＝2m的长木板水平放置，在木板的中点处放置一质量为m＝1kg的小物块，现缓慢地抬高木板的一端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为θ＝30°时，小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v＝2m/s，重力加速度g＝10m/s2，则在整个过程中（　　） A．木板对小物块做的功为5J B．摩擦力对小物块做的功为5J C．支持力对小物块做的功为0 D．小物块克服摩擦力做的功为3J 【解答】解：A.对整个过程，只有木板对小物块做功，根据动能定理得：，则木板对小物块做功为2J，故A错误； BCD.木板缓慢转动的过程，沿静摩擦的方向没有位移，故此过程中摩擦力对物块做功为0； 设该过程设支持力对物块所做的功为W1， 根据动能定理得：﹣mgsinθ+W1＝0，可得在缓慢转动的过程中，木板的支持力对小物块做功：W1＝mgsinθ＝1×10×1×0.5J＝5J，因为下滑过程物块的支持力与速度方向垂直，不做功，所以整个过程支持力对小物块做功为5J。 下滑过程，设此过程中摩擦力对物块做功为Wf， 根据动能定理得：mgsinθ+Wf0，可得：Wfmgsinθ＝2J﹣5J＝﹣3J，因为木板缓慢转动的过程，摩擦力对物块做功为0，所以整个过程中摩擦力对小物块做功为﹣3J，则整个过程中小物块克服摩擦力做功为3J，故BC错误，D正确。 故选：D。 题型二：微元法 [例题4] （2023春•武汉期末）2019年国庆小长假，雪晴同学外出旅游，到一家农家乐餐厅就餐时发现，店内竟有真驴在拉磨，如图所示。假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为（　　） A．0 B．500J C．500πJ D．1000πJ 【解答】解：由于F的方向与作用点的速度方向保持一致，因此F做功不为零。把圆周划分成很多小段研究，如图所示： 当各小段的弧长Δsi足够小（Δsi→0）时，在Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故驴拉磨转动一周所做的功为： WF＝F•Δs1+F•Δs2+F•Δs3+⋯ 整理得：WF＝F•2πR 代入数据得：WF＝1000πJ 故ABC错误，D正确。 故选：D。 题型三：等效转换法 [例题5] （2023春•思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球的重力势能增加了mglcosθ B．拉力F所做的功为Flsinθ C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ） D．轻绳的拉力所做的功为mgl 【解答】解：A、小球上升的高度为h＝l（1﹣cosθ），重力对小球做的功WG＝﹣mgl（1﹣cosθ），所以小球的重力势能增加mgl（1﹣cosθ），故A错误； BCD、小球从平衡位置P点缓慢地移动到Q点的过程中，轻绳的拉力所做的功为0，根据动能定理可得：WF﹣WG＝0，解得拉力F所做的功：WF＝mgl（1﹣cosθ），故C正确，BD错误。 故选：C。 题型四：平均值法 [例题6] （2024春•重庆期末）如图所示，水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一可视为质点的物块，该物块置于光滑水平面上。弹簧无弹力时，其右端位于O点。现对该物块施力使弹簧右端压缩到P点，然后将该物块由静止释放。已知Q点为PO中点，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，该物块向右运动过程中，在PQ段，弹簧对该物块做功W1，在QO段，弹簧对该物块做功W2。则为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：设弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量为x时，弹力大小F＝kx，设PQ＝QO＝x0，则在PQ段，弹簧对该物块所做的功 • 在QO段，弹簧对该物块所做的功 联立解得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 题型五：图像法 [例题7] （2024秋•思明区校级月考）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，规定初速度的方向为正方向。求： （1）在第1s内和第2s内力F做对滑块做的功W1、W2； （2）前2s内力F做的总功WF； （3）除F以外滑块所受其他力做的功W其他。 【解答】解：（1）在v﹣t图像中，图线与时间轴围成的面积等于物体的位移，因此第1s，第2s内滑块的位移分别为s11×1m＝0.5m，s2（﹣1）×（2﹣1）m＝﹣0.5m，根据W＝Fscosα，可得W1＝F1s1＝1×0.5J＝0.5J，W2＝F2s2＝3×（﹣0.5）J＝﹣1.5J （2）前2s内力F的总功WF＝W1+W2＝0.5J+（﹣1.5）J＝﹣1J （3）根据动能定理，可得W其他＝1J 题型六：功率法 [例题8] （2025•泉州三模）如图，航模试验时小船A在水面上失去动力，某同学在岸上通过电动机用跨过光滑定滑轮的轻绳把A沿水平直线拖向岸边，A的水平甲板上有一货箱B，A和B始终保持相对静止。已知A和B的质量均为m，电动机的输出功率恒为P，A经过c处时速度大小为v0，经过d处时B受到甲板的静摩擦力大小为f，A受水面的阻力忽略不计，求小船A （1）在d处的加速度大小a； （2）在d处的速度大小v； （3）从c运动到d所用的时间t。 【解答】解：（1）在d处A、B 的加速度大小相等 f＝ma 解得A的加速度大小为 a （2）设船在 d 处时电动机拉动轻绳的速度为v1，轻绳拉力大小为 F，轻绳与水平夹角为θ，则 P＝Fv1 v1 ＝vcosθ 对 A、B 整体由牛顿第二定律有 Fcosθ＝2ma 解得v （3）设物体A从c运动到d所用的时间t，对A、B整体由动能定理得 Pt（m+m）v2（m+m） 解得t [练习1] （2025•文登区一模）春秋战国时期，《墨经》记载了利用斜面来运送货物的方法。如图所示，用平行于斜面的推力将货物从地面匀速推到货车上。若货物与斜面间的动摩擦因数恒定，下列说法正确的是（　　） A．斜面越短，推力对货物做的功越多 B．斜面越长，推力对货物做的功越多 C．斜面越短，推力越大 D．斜面越长，推力越大 【解答】解：CD、对货物进行受力分析，如图所示 根据受力平衡可得， 垂直斜面方向N＝mgcosθ， 沿斜面方向F＝f+mgsinθ， 摩擦力为f＝μN 解得 令其中 ， 则有 可知，当有 α+θ＝90° 推力F有最大值 可知，斜面倾角θ在0°到90°之间变化的过程中，推力F先增大后减小， 由于斜面顶端的高度一定，可知，斜面在由足够长逐渐变短的过程，推力F先增大后减小， 反之，斜面在由足够短逐渐变长的过程，推力F也是先增大后减小，故CD错误； AB、斜面顶端高度一定，令高度为h，推力做的功 W＝（mgsinθ+μmgcosθ）mgh 根据上述表达式可知，当斜面越长，斜面倾角越小，推力对货物做的功越多，故A错误，B正确。 故选：B。 [练习2] （2024•鼓楼区校级模拟）质量为0.2kg的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10m/s2，则物体从x＝0运动到x＝3m的过程中，合外力做功为（　　） A．9J B．8J C．7J D．6J 【解答】解：力F是线性变化，可以用平均力求功。则所有力对物体做的功为 ，代入数据解得W＝6J，故ABC错误，D正确。 故选：D。 [练习3] （2024春•安徽期中）如图所示，某同学将一排球竖直向上垫起，一段时间后，排球又回到抛出点；整个过程中，排球所受空气阻力大小与速率成正比，下列选项正确的是（　　） A．上升过程与下降过程合外力对排球的冲量大小相等 B．上升过程与下降过程空气阻力对排球做的功大小相等 C．排球的加速度先减小后增大 D．排球的加速度一直减小 【解答】解：A.根据动量定理，合外力对排球的冲量等于排球动量的改变量，从大小上看，上升过程中，I合1＝mv，下降过程中I合2＝mv'，由于整个过程中空气阻力做负功，故v′＜v，则|I合1|＞|I合2|，故A错误； B.因为空气阻力大小与速率成正比，且阻力一直做负功，所以排球运动在相应的位置第二次速率都比第一次小，故上升过程的平均阻力一定大于下落过程的平均阻力，而上升和下落过程位移的大小相等，则上升过程和下落过程空气阻力对排球做的功不会相等，故B错误； CD.对排球进行受力分析，在上升过程中的重力和阻力方向相同，速度逐渐减小，则阻力逐渐减小，根据牛顿第二定律有mg+f＝ma上可知，加速度逐渐减小；下降过程中重力和阻力方向相反，根据牛顿第二定律可知，排球做加速运动，速度会逐渐增大，所受的空气阻力也逐渐增大，根据牛顿第二定律有mg﹣f＝ma下可知，加速度逐渐减小，故C错误，D正确。 故选：D。 [练习4] （2024•南海区校级开学）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做逆时针匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．P位置的小水珠速度方向沿a方向 B．水珠做离心运动是由于合外力大于所需向心力 C．P、Q两位置，杯子的角速度相同 D．从Q到P，杯子所受合外力做功不为零 【解答】解：A、根据图乙中水珠做离心运动的方向，可知杯子旋转方向为逆时针方向，则P位置的小水珠速度方向应沿b方向，故A错误； B、水珠做离心运动是由于合外力小于所需向心力，故B错误； C、杯子做逆时针匀速圆周运动，则P、Q两位置，杯子的角速度相同，故C正确； D、从Q到P，杯子所受合力始终指向圆心，与其速度夹角为90°，合外力做功为零，故D错误。 故选：C。 [练习5] （2023春•郴州期末）某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼（高度为20m），小车和细沙总质量为10kg。由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距离的变化关系如图所示。小车可以看成质点，已知小车加速度为2m/s2，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为（　　） A．2160J B．1800J C．2400J D．180J 【解答】解：由图可知，小车和细沙的总质量随上升距离均匀减小，结合题图可知 m＝10﹣0.1h 根据牛顿第二定律得 F﹣mg＝ma 可得：F＝120﹣1.2h 故拉力与位移满足线性关系，因此可用平均力法求解变力做功。 当h＝0时，F1＝120N；当h＝20m时F2＝96N； 则在提车的整个过程中，拉力对小车做的功为 Whh，解得：W＝2160J，故A正确，BCD错误。 故选：A。 [练习6] （2023春•渝中区校级月考）在研究物理问题的过程中，我们会用到一些重要的科学思维方法，如理想模型、极限思想、数形结合思想、微元法和数学物理方法等。经典案例如下：为研究匀变速直线运动的位移，我们建立了速度随时间变化的v﹣t图像，并将匀变速直线运动的过程分割成几段，每段过程近似看作匀速直线运动，在v﹣t图像中每段匀速直线运动的位移可以用一个矩形面积来表示，矩形面积的总和就近似等于匀变速直线运动的位移；若过程分割得足够多，这些矩形的总面积就等于图线与横轴所围的面积，因此我们可以用v﹣t图像中图线与横轴所围面积表示位移，如图所示。一辆洒水车装满水后的总质量为M，正常工作时每秒钟向外洒水的质量为m，洒水车在平直路面上受到的阻力等于其总重的k倍。在以下运动情况中，洒水车发动机的功率均未达到额定功率。 （1）若洒水车始终以速度v做匀速直线运动，某时刻从满载状态开始正常工作，求洒水车从此时刻起向前运动s的距离（水未洒完）时的牵引力； （2）接（1），若满载时水的质量为m0，求洒水车从满载状态到洒完水的过程中，克服阻力所做的功； （3）若洒水车由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，启动时从满载状态开始正常工作，整个过程水始终未洒完，求洒水车发动机的最大功率。 【解答】解：（1）阻力与时间的关系为 f＝k（M﹣m）g 前进s的距离用时 洒水车始终匀速运动，设牵引力为F，受力平衡 F＝f 代入阻力公式可得 F （2）根据上式，绘制阻力f与前进距离s的图像如图所示 满载时洒水车所受阻力为 f1＝kMg 空载时洒水车阻力为 f2＝k（M﹣m0）g 整个过程用时 故整个过程前进的距离为 由材料可知，f与s的图像中图线与横轴所围面积可表示克服阻力做功，则有 W （3）设发动机的功率为P，经一段时间t后的速度为v，则根据匀变速直线运动的规律 v＝at 发动机牵引力 根据牛顿运动定律 F﹣f＝（M﹣m）a 阻力与时间的关系为 f＝k（M﹣m）g 代入上述公式可得 P＝a（a+kg）（Mt﹣mt2） 得 P＝am（a+kg） 则可知当时功率有最大值，最大值 Pmax。 [练习7] （2024•济宁模拟）遥控爬墙小车通过排出车身内部部分空气，和外界大气形成气压差，由于气压差使车身内外产生的压力差恒为F0＝25N，方向垂直于接触面，使小车可吸附在墙壁、天花板上。如图所示，某次小车从室内墙壁上的A点由静止出发，沿着竖直方向经B处一小段圆弧运动到水平天花板上的C点，然后从C点开始做匀速圆周运动。已知AB沿竖直方向且足够长，运动过程中小车受到的阻力f大小与车和墙壁间、天花板间的弹力FN之间关系为f＝0.8FN，方向总与速度方向相反。小车质量m＝0.5kg，小车可视为质点，忽略空气阻力，取g＝10m/s2。 （1）若小车在AB段上的功率为P＝75W，求小车在AB段上最大速度的大小vm； （2）若小车在天花板上以v＝3m/s的速率做匀速圆周运动，牵引力大小为F＝20N，取π＝3，求小车运动一周牵引力做的功。 【解答】解：（1）小车在AB段所受的弹力FN1＝F0 小车在AB段所受的阻力f1＝0.8FN1 小车在AB段上达到最大速度时P＝（mg+f1）vm 解得vm＝3m/s （2）小车在水平天花板上运动时FN2+mg＝F0 小车在水平天花板上所受的阻力f2＝0.8FN2 对小车做圆周运动时由牛顿第二定律得 解得 小车运动一周过程中牵引力做的功W＝2πrf2 解得W＝36J 答：（1）小车在AB段上最大速度的大小为3m/s； （2）小车运动一周牵引力做的功为36J。 [练习8] （2024秋•济宁期末）如图所示，框架AOB中的杆OB竖直，光滑杆OA与水平面间的夹角α＝60°。轻质弹簧上端用铰链与固定点B相连，下端与穿在OA杆上质量为m的小球相连，整个装置处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角β＝30°，已知OB两点间的距离为L，重力加速度为g。 （1）求弹簧的弹力大小； （2）若框架以OB为轴开始转动，使小球缓慢运动到与B点等高的A点，在A点做匀速圆周运动，求整个过程杆对小球做的功W。 【解答】解：（1）小球静止时，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件有 Fcos[（90°﹣α）+β]＝mgsinα 解得弹簧的弹力大小为 （2）小球在A点时弹簧的长度与静止时相同，则弹簧的弹力大小 设小球在A点做圆周运动的半径为r，速度大小为vA，所受杆的弹力大小为FN，分析小球受力，如图所示，竖直方向由平衡条件有 FNcosα＝mg 水平方向由牛顿第二定律有 由几何关系有 小球运动到A点的过程中，根据动能定理有 解得整个过程杆对小球做的功为 W＝1.5mgL 答：（1）弹簧的弹力大小为mg； （2）整个过程杆对小球做的功为1.5mgL。 [练习9] （2024秋•西城区期末）某星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为2R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。如图1所示，以星系中心为坐标原点O，沿某一半径方向为x轴正方向，在x＝R处有一质量为m的探测器，向着星系边缘运动。已知万有引力常量为G。 （1）已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，推导探测器在星系内受到的引力大小F随x变化的规律。 （2）求探测器从x＝R处沿x轴运动到球体边缘的过程中引力做的功W。 （3）若探测器在x＝R处的速度方向与x轴的夹角为45°，如图2所示。探测器仅在引力作用下运动到距离星系中心最远时，恰好到达球体的边缘。已知探测器在运动过程中，它与星系中心的连线在相等时间内扫过的面积相等，且引力做功与路径无关。忽略探测器与恒星及星际物质的碰撞，求探测器在x＝R处速度的大小v0。 【解答】解：（1）星系内以x为半径的球体质量，质量为m的探测器在x处受到万有引力的大小，解得； （2）由上问可知F∞x，则探测器运动至球体边缘的过程中平均力，得万有引力做功； （3）探测器离星系中心最远时，远离中心方向的速度为0，则探测器的速度方向垂直于它与中心的连线，设此时探测器速度大小为v1，探测器运动至球体边缘的过程中，探测器与星系中心的连线在相等时间扫过相等面积有v0Rsin45°＝v1•2R，根据动能定理有，得 学科网（北京）股份有限公司 $$