易错点09 双星、多星模型 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点09 双星、多星模型 一、易错点分析 1、受力分析不准确 易错点：不能正确分析星体的受力情况，遗漏或错误判断万有引力的方向和作用效果。双星模型中，两颗星彼此之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，它们的受力方向指向对方，且绕着连线上的某一点做匀速圆周运动。多星模型则更为复杂，例如三星模型中，可能存在两种情况，一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，相互之间的万有引力合力提供向心力；另一种是两颗星围绕中间一颗星做圆周运动，这两颗星各自受到另外两颗星的万有引力合力提供向心力。 2、转动中心与轨道半径混淆 易错点：不清楚双星、多星系统中星体的转动中心位置，误将星体间的距离当作轨道半径。 3、周期与角速度关系错误 易错点：没有正确理解双星、多星系统中各星体的周期和角速度的关系，在计算中出现错误。 4、忽略系统的对称性和稳定性 易错点：在分析多星模型时，没有充分考虑系统的对称性和稳定性，导致对模型的理解出现偏差。 5、数学运算复杂导致出错 易错点：由于双星、多星模型的计算涉及到多个方程联立求解，数学运算较为复杂，容易出现计算错误。在解决双星、多星问题时，通常需要根据星体的受力情况列出多个方程，然后联立求解。例如，在双星系统中，要分别对两颗星根据万有引力提供向心力列出方程，再结合它们的角速度相等、轨道半径关系等条件进行求解。 二、双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 三、三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 四、四星模型 (1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。 ×2×cos 45°＋＝ma， 其中r＝ L。 四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。 ×2×cos 30°＋＝ma。 其中L＝2rcos 30°。 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 5.解题要诀： (1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 6．多星模型的解题步骤 (1)明确各星体的几何位置，画出示意图； (2)明确各星体的转动方式，找出各星体做圆周运动的共同的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径； (3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源； (4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点，列式解题 题型一、双星系统及其计算 [例题1] （2025•市中区校级一模）如图所示为双星模型的简化图，两天体P、Q绕其球心O1、O2连线上O点做匀速圆周运动。已知O1O2＝L1，O1O﹣OO2＝L2＞0，假设两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q做匀速圆周运动的半径之比为 B．P、Q的线速度之和与线速度之差的比值为 C．P、Q的质量之和与质量之差的比值为 D．若P、Q各有一颗公转周期为T的环绕卫星，则P的卫星公转半径更大 [例题2] （2025•南阳模拟）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线。已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m、另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A．A的质量为m B．该双星系统的运动周期为T C．A、B相距的距离为 D．在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：3 [例题3] （多选）（2025•济宁一模）“食双星”的两颗恒星亮度不同，在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于两颗恒星的彼此遮挡，会造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星做圆周运动的半径分别为r1和r2，下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星 B．“食双星”做匀速圆周运动的周期为2（t2﹣t1） C．较亮的恒星与较暗的恒星的向心加速度大小相等 D．较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为 题型二、多星系统及其计算 [例题4] （2024•广西模拟）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星体做圆周运动的线速度为 B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍 D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变 [例题5] （2023秋•青原区校级期末）宇宙中存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所中示，三颗恒星位于同一直线上，两颗环绕星甲、丙绕中央星乙在同一半径的圆轨道上运行，假设甲、丙的质量均为m，圆周运动的轨道半径均为R，向心加速度的大小均为a，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲对丙的引力大小为 B．甲的速度大小为aR C．乙的质量为 D．丙对乙的引力大小为 [例题6] （2024•天心区校级模拟）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB＝CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． [练习1] （多选）（2025•乌鲁木齐模拟）2022年科学家观测到，天鹅座的两颗恒星组成的双星系统，围绕它们连线上的某一点逐渐旋近并最终合并。该双星系统在相互旋近的过程中，下列两颗恒星的物理量均增大的是（　　） A．周期 B．线速度 C．加速度 D．引力势能 [练习2] （多选）（2024秋•天心区校级期末）如图所示，北冕座T的双星系统由一颗白矮星和一颗红巨星组成。其中，白矮星的质量约为太阳的1.4倍，然而其体积却仅仅比地球稍大，红巨星的质量约为太阳的1.1倍，其半径是太阳的75倍，白矮星与红巨星之间的距离约为地球与太阳间距离的，不考虑星球的自转，则（　　） A．该红巨星表面的重力加速度大小约为太阳表面的 B．该红巨星表面的重力加速度大小约为太阳表面的 C．北冕座T双星系统运行的周期大于1年 D．北冕座T双星系统运行的周期小于1年 [练习3] （2024•葫芦岛二模）宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，围绕着共同的圆心运动。它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材。已知某双星之间的距离为L，相互绕行周期为T，引力常量为G。由此可以估算出（　　） A．双星的质量之和 B．双星的质量之积 C．双星的速率之比 D．双星的加速度之比 [练习4] （2024•辽宁模拟）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． [练习5] （2024•辽宁模拟）宇宙中有一类快速旋转的白矮星会有规律地不断向外发出射电脉冲，天文学家称之为白矮星脉冲星，发出的射电脉冲从无线电波到X射线的范围都有。目前天文学家已在银河系中累计发现了两个白矮星脉冲星，分别命名为ARScorpii和J1912﹣4410。相关研究人员表示，白矮星脉冲星并不是一个单一的天体，而是双星系统，均由一颗M型矮星和一颗快速旋转的白矮星组成。J1912﹣4410系统的周期是4.03小时，ARScorpii系统的周期是3.56小时。由以上信息可知（　　） A．白矮星脉冲星发射的射电脉冲本质是电磁波 B．白矮星脉冲星发射的射电脉冲本质是高速电子流 C．由J1912﹣4410系统的周期和ARScorpii的相近推测，它们的质量相差不多 D．白矮星不断“吸食”周围的天体，若“吸食”后的双星间距离不变，则这种“吸食”将不会影响其轨道周期 [练习6] （2024•东阳市三模）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。如图，a星与b星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O（未画）点转动，a星质量是b星的81倍，假设人类发射了两个探测器L1、L2刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a星和b星的共同引力作用下绕O点做匀速圆周运动，并保持与a星、b星相对位置不变，探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，探测器L2在a星、b星连线的延长线上。则（　　） A．a星和b星的第一宇宙速度之比为9：1 B．a星球心和b星球心到O点的距离之比为81：1 C．探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大 D．探测器L1绕O点运行的周期比探测器L2大 [练习7] （多选）（2024•福建一模）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同，现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（　　） A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 [练习8] （多选）（2024•九龙坡区校级模拟）宇宙中存在远离其他星球的三星系统，如图所示，三颗星体A、B、C始终处于一条直线上，A、C两颗星围绕中间星体B做稳定的圆周运动，AB之间和BC之间间距均为l；已知星体B的质量为2m，星体A的质量为m。万有引力常量为G，则下列判断中正确的是（　　） A．星体C的质量为m B．星体A、C运行的加速度a C．星体A、C运行的周期T＝2πl D．星体A、C运行的角速度ω [练习9] （多选）（2024秋•未央区校级月考）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m≪M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（　　） A．c在一个周期内的路程为2πr B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c的线速度大小为a的倍 D．c的角速度大小为 [练习10] （2023秋•海淀区校级月考）如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为m的行星都绕边长为L1的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为T1；乙图中三颗质量均为m的行星都绕静止于边长为L2的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为T2，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，L2＝2L1，则两个系统的周期之比（　　） A．T1：T2＝1：1 B． C． D． [练习11] （多选）（2023秋•莱西市月考）以下三个天体运动模型中，星球转动半径均为R，质量及运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两个模型的运动周期之比为 B．乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比 C．甲的角速度大小大于丙的角速度大小 D．乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比 [练习12] （多选）（2023春•天心区校级月考）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三颗星球的线速度大小均为 B．A、B、C三颗星球的加速度大小均为 C．星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为 D．若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点09 双星、多星模型 一、易错点分析 1、受力分析不准确 易错点：不能正确分析星体的受力情况，遗漏或错误判断万有引力的方向和作用效果。双星模型中，两颗星彼此之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，它们的受力方向指向对方，且绕着连线上的某一点做匀速圆周运动。多星模型则更为复杂，例如三星模型中，可能存在两种情况，一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，相互之间的万有引力合力提供向心力；另一种是两颗星围绕中间一颗星做圆周运动，这两颗星各自受到另外两颗星的万有引力合力提供向心力。 2、转动中心与轨道半径混淆 易错点：不清楚双星、多星系统中星体的转动中心位置，误将星体间的距离当作轨道半径。 3、周期与角速度关系错误 易错点：没有正确理解双星、多星系统中各星体的周期和角速度的关系，在计算中出现错误。 4、忽略系统的对称性和稳定性 易错点：在分析多星模型时，没有充分考虑系统的对称性和稳定性，导致对模型的理解出现偏差。 5、数学运算复杂导致出错 易错点：由于双星、多星模型的计算涉及到多个方程联立求解，数学运算较为复杂，容易出现计算错误。在解决双星、多星问题时，通常需要根据星体的受力情况列出多个方程，然后联立求解。例如，在双星系统中，要分别对两颗星根据万有引力提供向心力列出方程，再结合它们的角速度相等、轨道半径关系等条件进行求解。 二、双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 三、三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 四、四星模型 (1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。 ×2×cos 45°＋＝ma， 其中r＝ L。 四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。 ×2×cos 30°＋＝ma。 其中L＝2rcos 30°。 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 5.解题要诀： (1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 6．多星模型的解题步骤 (1)明确各星体的几何位置，画出示意图； (2)明确各星体的转动方式，找出各星体做圆周运动的共同的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径； (3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源； (4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点，列式解题 题型一、双星系统及其计算 [例题1] （2025•市中区校级一模）如图所示为双星模型的简化图，两天体P、Q绕其球心O1、O2连线上O点做匀速圆周运动。已知O1O2＝L1，O1O﹣OO2＝L2＞0，假设两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。则下列说法正确的是（　　） A．P、Q做匀速圆周运动的半径之比为 B．P、Q的线速度之和与线速度之差的比值为 C．P、Q的质量之和与质量之差的比值为 D．若P、Q各有一颗公转周期为T的环绕卫星，则P的卫星公转半径更大 【解答】解：A、设两星球的轨道半径分别为rP、rQ，由题意可知rP+rQ＝L1，rP﹣rQ＝L2，解得：、，可得P、Q做匀速圆周运动的半径之比为：，故A错误； B、星球P、Q环绕连线上的点做匀速圆周运动，则星球P、Q的角速度相等。P、Q的线速度分别为vP＝ωrP、vQ＝ωrQ。 P、Q的线速度之和为Δv1＝vP+vQ＝ω（rP+rQ）＝ωL1 P、Q的线速度之差为Δv2＝vP﹣vQ＝ω（rP﹣rQ）＝ωL2 可得P、Q的线速度之和与线速度之差的比值为，故B正确； C、根据由万有引力提供向心力，对星体P有：，解得： 同理对Q有：，解得： P、Q质量之和为 P、Q质量之差为 可得P、Q的质量之和与质量之差的比值为，故C错误； D、设环绕中心天体公转周期为T的卫星的公转半径为r，中心天体的质量为M，卫星的质量为m，由万有引力提供向心力得： ，解得：r 由C选项的解答可知星球Q的质量大于星球P的质量，故Q的卫星公转半径更大，故D错误。 故选：B。 [例题2] （2025•南阳模拟）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线。已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m、另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A．A的质量为m B．该双星系统的运动周期为T C．A、B相距的距离为 D．在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：3 【解答】解：A、双星系统的周期相同，相互之间引力等大，因此质量大的恒星半径较小，A的质量为3m，故A错误； BD、观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，而单位时间内恒星与O点连线扫过的面积，则相等时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：9，故BD错误； C、由万有引力提供向心力有，且r1+r2＝r，解得A、B相距的距离为，故C正确。 故选：C。 [例题3] （多选）（2025•济宁一模）“食双星”的两颗恒星亮度不同，在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于两颗恒星的彼此遮挡，会造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星做圆周运动的半径分别为r1和r2，下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星 B．“食双星”做匀速圆周运动的周期为2（t2﹣t1） C．较亮的恒星与较暗的恒星的向心加速度大小相等 D．较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为 【解答】解：AB.由题意可知，t1时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星； t2时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星，即t1﹣t2时间里，转了半圈，故周期T＝2（t2﹣t1） 两颗恒星绕连线上某点做匀速圆周运动，周期相等，故AB正确； C.由an可知，两颗恒星的半径不同，故两恒星的向心加速度大小不相等，故C错误； D.设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为m1和m2，均由彼此间的万有引力提供向心力 故两颗恒星的向心力大小相等，即 则m1：m2＝r2：r1，故D正确； 故选：ABD。 题型二、多星系统及其计算 [例题4] （2024•广西模拟）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星体做圆周运动的线速度为 B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍 D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变 【解答】解：A、任意两星间的万有引力：F1，每颗星所示的万有引力合力：F＝2F1cos30°，根据几何关系得，每颗星做圆周运动的半径：r，根据牛顿第二定律有：mrω2，解得角速度：，故A错误； B、根据ma得，每颗星做圆周运动的加速度大小：a，与三星的质量有关，故B错误； C、每颗星的周期：T2π，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，可知周期变为原来的2倍，故C错误； D、每颗星的线速度：v＝rω，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，可知线速度大小不变，故D正确。 故选：D。 [例题5] （2023秋•青原区校级期末）宇宙中存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所中示，三颗恒星位于同一直线上，两颗环绕星甲、丙绕中央星乙在同一半径的圆轨道上运行，假设甲、丙的质量均为m，圆周运动的轨道半径均为R，向心加速度的大小均为a，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲对丙的引力大小为 B．甲的速度大小为aR C．乙的质量为 D．丙对乙的引力大小为 【解答】解：A．甲对丙的引力大小 故A错误； B．由 可得甲的速度大小为 故B错误； C．对甲有 综合解得乙的质量为 故C正确； D．设乙对丙的引力大小F2，对丙有F1+F2＝ma 综合解得 由牛顿第三定律可知，丙对乙的引力大小 故D错误。 故选：C。 [例题6] （2024•天心区校级模拟）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB＝CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于第一种四星系统，图甲中每颗星体受力情况如下图所示。 设AB＝CD＝a，由几何关系可知，图甲中正方形的对角线的长度为a 由万有引力定律可得：F1，F2 每颗星体所受合力大小为：F合1＝2F1cos45°+F2 由合力提供向心力有：F合1 联立解得： 对于第二种四星系统，图乙中三角形顶点上的星体受力情况如下图所示。 由几何关系可知，图乙中三角形的边长：r2，三角形的顶点与中心的距离为：r3 由万有引力定律可得：F3，F4 每颗星所受合力大小为：F合2＝2F3cos30°+F4 由合力提供向心力有：F合2 联立解得： 可得第一、二种四星系统周期的比值为：，故B正确，ACD错误。 故选：B。 [练习1] （多选）（2025•乌鲁木齐模拟）2022年科学家观测到，天鹅座的两颗恒星组成的双星系统，围绕它们连线上的某一点逐渐旋近并最终合并。该双星系统在相互旋近的过程中，下列两颗恒星的物理量均增大的是（　　） A．周期 B．线速度 C．加速度 D．引力势能 【解答】解：设双星质量分别为M，m；轨道半径分别为R，r；角速度为ω，周期为T； ACD、根据万有引力做向心力可得mrω2＝MRω2＝ma 所以ω2 由R+r变小可知角速度ω逐渐增大，则周期T逐渐变小； 线速度v1＝rω，v2＝Rω 解得v1，v2 由R+r变小可知：线速度逐渐增大； 加速度a1，a2 由R+r变小可知加速度逐渐增大； 故A错误，BC正确； D、双星的引力势能Ep，由于双星系统在旋近，故R+r变小，那么，引力势能Ep变小，故D错误； 故选：BC。 [练习2] （多选）（2024秋•天心区校级期末）如图所示，北冕座T的双星系统由一颗白矮星和一颗红巨星组成。其中，白矮星的质量约为太阳的1.4倍，然而其体积却仅仅比地球稍大，红巨星的质量约为太阳的1.1倍，其半径是太阳的75倍，白矮星与红巨星之间的距离约为地球与太阳间距离的，不考虑星球的自转，则（　　） A．该红巨星表面的重力加速度大小约为太阳表面的 B．该红巨星表面的重力加速度大小约为太阳表面的 C．北冕座T双星系统运行的周期大于1年 D．北冕座T双星系统运行的周期小于1年 【解答】解：AB、在星球表面上，物体所受重力大小等于星球对物体的万有引力大小，有mg 可得 则，故A错误，B正确； CD、对北冕座T双星系统，根据万有引力提供向心力，有 ，其中r1+r2＝L 解得北冕座T双星系统的周期为 T1＝2π 对地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力，有 GM地r 解得地球公转周期为T2＝2π 可得T1＝T21年＜1年，故C错误，D正确。 故选：BD。 [练习3] （2024•葫芦岛二模）宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，围绕着共同的圆心运动。它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材。已知某双星之间的距离为L，相互绕行周期为T，引力常量为G。由此可以估算出（　　） A．双星的质量之和 B．双星的质量之积 C．双星的速率之比 D．双星的加速度之比 【解答】解：AB、双星的角速度相等，设为ω。由万有引力提供向心力可得 Gm1ω2r1 Gm2ω2r2 又L＝r1+r2 联立可得 Gω2L 所以m1+m2 又由 可得 m1+m2 可知，双星的质量之和可以估算，质量之积无法求解，故A正确，B错误； C、由线速度与角速度的关系 v＝ωr 可得v1+v2＝ωr1+ωr2＝ωLL 可知双星的速率之和可以估算，速率之比无法求解，故C错误； D、由加速度与角速度的关系 a＝rω2 可得 由于双星的半径之比未知，故双星的加速度之比无法求解，故D错误。 故选：A。 [练习4] （2024•辽宁模拟）在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的A、B两个恒星间距离为L，A、B两个恒星的质量之比为2：1，如果若干年后双星间距离减小为kL（k小于1），A、B恒星的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设A和B的质量分别为2m和m，根据万有引力提供向心力有： 距离改变后，2mrA′，rA'+rB'＝kL 解得 ，，因此恒星A的加速度 ，故ACD错误，B正确； 故选：B。 [练习5] （2024•辽宁模拟）宇宙中有一类快速旋转的白矮星会有规律地不断向外发出射电脉冲，天文学家称之为白矮星脉冲星，发出的射电脉冲从无线电波到X射线的范围都有。目前天文学家已在银河系中累计发现了两个白矮星脉冲星，分别命名为ARScorpii和J1912﹣4410。相关研究人员表示，白矮星脉冲星并不是一个单一的天体，而是双星系统，均由一颗M型矮星和一颗快速旋转的白矮星组成。J1912﹣4410系统的周期是4.03小时，ARScorpii系统的周期是3.56小时。由以上信息可知（　　） A．白矮星脉冲星发射的射电脉冲本质是电磁波 B．白矮星脉冲星发射的射电脉冲本质是高速电子流 C．由J1912﹣4410系统的周期和ARScorpii的相近推测，它们的质量相差不多 D．白矮星不断“吸食”周围的天体，若“吸食”后的双星间距离不变，则这种“吸食”将不会影响其轨道周期 【解答】解：AB.由于射电脉冲从无线电波到X射线的范围，均为电磁波，故A正确，B错误； C.根据万有引力提供向心力有，，r1+r2＝L 可得，由此可知，虽然J1912﹣4410系统的周期和ARScorpi的相近，但不能确定它们的质量关系，故C错误； D.白矮星不断“吸食”周围的天体，若“吸食”后的双星间距离不变，但总质量增大，周期减小，故D错误。 故选：A。 [练习6] （2024•东阳市三模）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。如图，a星与b星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O（未画）点转动，a星质量是b星的81倍，假设人类发射了两个探测器L1、L2刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a星和b星的共同引力作用下绕O点做匀速圆周运动，并保持与a星、b星相对位置不变，探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，探测器L2在a星、b星连线的延长线上。则（　　） A．a星和b星的第一宇宙速度之比为9：1 B．a星球心和b星球心到O点的距离之比为81：1 C．探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大 D．探测器L1绕O点运行的周期比探测器L2大 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力得 Gm 可得第一宇宙速度为 由于a星和b星的半径关系未知，所以无法比较第一宇宙速度，故A错误； B、设a星球心和b星球心到O点的距离分别为r1，r2，a星和b星的角速度相等，根据相互间的万有引力提供向心力可知，两星的向心力大小相等，则有 m1r1ω2＝m2r2ω2 解得a星球心和b星球心到O点的距离之比为r1：r2＝1：81，故B错误； C、探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，并保持与a星、b星相对位置不变，可知探测器L1绕O点运行和b星围绕O点转动的角速度相同，根据a＝rω2，探测器L1绕O点的距离较大，则探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大，故C正确； D、根据题意，探测器L1、L2这两个点与b星相对位置不变，所以探测器L1绕O点运行的周期与探测器L2的相同，故D错误。 故选：C。 [练习7] （多选）（2024•福建一模）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同，现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（　　） A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 【解答】解：AB.由题意可知，直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力的合力提供向心力， 根据万有引力定律、矢量合成法则、牛顿第二定律可得：， 解得：， 直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为：， 联立可得：， 故A错误，B正确； CD.根据几何关系可得，三角形三星系统中星体做圆周运动的轨道半径为：， 解得：， 由题意可知，三角形三星系统中星体受另外两个星体的万有引力作用，万有引力的合力做向心力， 根据万有引力定律、矢量合成法则、牛顿第二定律可得：， 联立可得，三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为：， 三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为：a＝ω2R， 联立可得：， 故C正确，D错误； 故选：BC。 [练习8] （多选）（2024•九龙坡区校级模拟）宇宙中存在远离其他星球的三星系统，如图所示，三颗星体A、B、C始终处于一条直线上，A、C两颗星围绕中间星体B做稳定的圆周运动，AB之间和BC之间间距均为l；已知星体B的质量为2m，星体A的质量为m。万有引力常量为G，则下列判断中正确的是（　　） A．星体C的质量为m B．星体A、C运行的加速度a C．星体A、C运行的周期T＝2πl D．星体A、C运行的角速度ω 【解答】解：A．由B星处于平衡状态，可知，解得：mC＝m，故A正确； B．以A星球为研究对象，则有，解得： 同理可得：，故B错误； C．由题意可知，A、C为同轴转动，故周期相同，所以由万有引力提供向心力得：，解得：T，故C错误； D．由角速度与周期关系得：，故D正确。 故选：AD。 [练习9] （多选）（2024秋•未央区校级月考）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m≪M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（　　） A．c在一个周期内的路程为2πr B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c的线速度大小为a的倍 D．c的角速度大小为 【解答】解：D.由于m≪M，因此c天体对ab、天体的万有引力可以忽略不计； a、b天体之间的万有引力Fab 设角速度为ω，对天体a，万有引力提供向心力Fab＝Mrω2 联立解得ω 因此c的角速度大小为，故D正确； C.设c到O点的距离为R，则ac之间的距离rac a、c之间的万有引力Fac 天体c做匀速圆周运动的向心力Fc＝2Fac 根据向心力公式Fc＝mRω2 联立上述分析，解得Rr 根据线速度与角速度的关系，c的线速度vc＝Rω a、b的线速度va＝vb＝rω 因此 故C正确； B.根据向心加速度公式a＝rω2 c、b的向心加速度之比 因此c的向心加速度大小为b的倍，故B错误； A.c在一个周期内的路程为sc＝2πR＝2πr，故A错误。 故选：CD。 [练习10] （2023秋•海淀区校级月考）如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为m的行星都绕边长为L1的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为T1；乙图中三颗质量均为m的行星都绕静止于边长为L2的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为T2，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，L2＝2L1，则两个系统的周期之比（　　） A．T1：T2＝1：1 B． C． D． 【解答】解：设甲图中的某一行星受到其它两颗行星的万有引力大小分别为F1、F2，如下图所示 由万有引力定律可得：F1＝F2 行星的轨道半径为：r1 由牛顿第二定律得：2F1cos30°＝m 解得：T1 设乙图中的某一行星受到其它三颗星的万有引力大小分别为F3、F4、F5，如上图所示 行星的轨道半径为：r2 由万有引力定律可得：F3＝F4，F5 由牛顿第二定律得：2F3cos30°+F5＝m 解得：T2 已知：L2＝2L1，可得：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 [练习11] （多选）（2023秋•莱西市月考）以下三个天体运动模型中，星球转动半径均为R，质量及运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两个模型的运动周期之比为 B．乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比 C．甲的角速度大小大于丙的角速度大小 D．乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比 【解答】解：A．根据万有引力定律，甲模型有mR 乙模型有mR 故甲、乙两个模型的运动周期之比为 故A错误； B．根据万有引力定律，乙模型有 可得 根据力的合成与分解及几何关系，根据万有引力定律，丙模型有 可得 乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比为 Ek乙：Ek丙 解得Ek乙：Ek丙 故B错误； C．根据万有引力定律，甲模型有 解得 根据线速度与角速度的关系，丙模型有 由于M≫m，所以甲的角速度大小大于丙的角速度大小，故C正确； D．根据加速度与线速度的关系，乙模型的加速为 丙模型的加速为 乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比为 故D正确。 故选：CD。 [练习12] （多选）（2023春•天心区校级月考）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C三颗星球的线速度大小均为 B．A、B、C三颗星球的加速度大小均为 C．星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为 D．若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大 【解答】解：AB、对三绕一模式，等边三角形边长为L，三颗绕行星轨道半径均为r，由几何关系得三角形的边长为L＝2cos30°r，即rL，对顶点的星体受力分析，根据矢量合成的方法可得：F＝2cos30°+3Gmma ① 解得v，a，故A正确，B错误。 C、设它们的密度为ρ，A半径为R，则：m A表面的重力加速度：g 联立可得： 同理可得O处的星： 所以它们表面的重力加速度的比值为．故C错误； D、由①可得：T 若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球的质量都是2m；若仍按原轨道运动，则对A：cos30° ② 可得：T 则A、B、C三颗星球运动的周期将变大。故D正确 故选：AD。 学科网（北京）股份有限公司 $$