易错点04 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点04 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型 一、易错点分析 1、运动时间的计算 容易错误地使用竖直方向自由落体运动公式来计算运动时间，而忽略了斜面的倾角对运动的影响。在斜面上平抛物体时，物体的运动时间不仅与竖直高度有关，还与斜面的倾角有关。应根据斜面的几何关系，找到物体在竖直方向和水平方向的位移与斜面倾角的关系，再结合平抛运动的基本公式来求解运动时间。 2、速度方向与斜面的关系 不能正确理解和运用速度方向与斜面之间的几何关系。当物体落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角和斜面倾角有一定的关系。 3、位移关系的处理 对物体在斜面上的位移分解容易出现错误，不能准确找到水平位移、竖直位移与斜面长度等物理量之间的关系。要明确物体的位移是相对于斜面顶端还是斜面底端，以及位移在水平和竖直方向的分量与斜面长度、高度等的关系。 二、斜面上的平抛 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。 1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。 (2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。 (3)运动的时间与初速度成正比。 (4)位移与初速度的二次方成正比。 (5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 2．常见的模型 模型 方法 分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角 基本 规律 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tanθ＝ 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tanθ＝ 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移： s＝ 方向：tanθ＝ 运动 时间 由tanθ＝＝得t＝ 由tanθ＝＝得t＝ 由tanθ＝＝得t＝ 三、类平抛运动模型 （1）模型特点： 物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。 （2）.类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g； 做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 （3）求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。　　　 （4）求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。 (2)确定是研究速度，还是研究位移。 (3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。 题型一：分解速度 [例题1] （2025•端州区一模）如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则（　　） A．小球在空中飞行时间为 B．小球落到斜面上时的速度大小为 C．小球的位移方向垂直于AC D．CD与DA的比值为 【解答】解：A、设小球水平方向的速度为v0，将D点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过角度关系求解得竖直方向的末速度为vy，设该过程用时为t，则t，故A错误； B、根据运动的合成与分解可得小球落到斜面上时的速度大小为，故B错误； C、小球的速度方向垂直于AC，则位移方向一定不垂直于AC，故C错误； D、则DA间水平距离为v0t， 故DA； CD间竖直距离为CD，得 ．故D正确； 故选：D。 [例题2] （2024秋•烟台期末）如图所示，将一倾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，在斜面底端O点的正上方h＝3.6m高度处水平发射一颗小弹丸，弹丸打在斜面上P点位置，已知O、P两点间的距离l＝3m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则弹丸初速度v0的大小为（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s 【解答】解：小球做平抛运动，有x＝v0t h' 根据勾股定理有OP2＝（h﹣h'）2+x2 解得v0＝4m/s 故A正确，BCD错误； 故选：A。 [例题3] （2024秋•黄浦区校级期末）如图，在某次飞行演习中，以v0水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间t后炸弹垂直击中倾角为θ的山坡。则时间t为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：模拟弹落地时速度如图所示 竖直分速度vygt 解得模拟弹的运动时间t，故D正确，ABC错误。 故选：D。 题型二：分解位移 [例题4] （2024秋•香坊区校级期末）如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，不计阻力。已知AB：BC＝1：3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球水平抛出的初速度之比为 B．两次小球在空中的时间之比为1：2 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1：2 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为2：1 【解答】解：AB、小球做平抛运动，设位移为s，如图所示 水平方向：scosα＝v0t 竖直方向：ssinα 解得：v0，t 由于AB：BC＝1：3，则sAC＝4sAB， 则两次小球的初速度之比 两次小球在空中的运动时间之比，故A错误，B正确； CD、设小球击中斜面时速度方向与斜面间的夹角为θ， 由图示可知：tan（α+θ），则1，解得：θ1＝θ2，故CD错误。 故选：B。 [例题5] （2024秋•五华区校级期末）如图所示，将一小球从倾角θ＝30°的斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，落在斜面上的B点，C为小球运动过程中与斜面相距最远的点，CD垂直AB．小球可视为质点，空气阻力不计，则（　　） A．小球在C点的速度大小是2v0 B．小球在从A到C点所用时间小于从C到B点所用时间 C．小球在B点的速度与水平方向的夹角正切值大小是在C点的速度与水平方向夹角正切值大小的2倍 D．A、D两点间距离等于D、B两点间距离 【解答】解：将小球在A点的速度和加速度分别进行分解，在C点的速度进行分析，如图所示。 根据几何关系可得v1＝v0sinθ，v2＝v0cosθ，沿斜面向下的加速度大小为gsinθ。 A、根据几何关系可得小球在C点的速度大小是v，故A错误； B、小球从A到C垂直于斜面方向的速度减为零，则从A到C的时间为：t1，小球从C点返回斜面的时间也为，小球在从A到C点所用时间等于从C到B点所用时间，故B错误； C、在C点速度方向与水平方向的夹角αC＝30°，在B点速度方向与水平方向的夹角αB满足：tanαB＝2tan30°，故C正确； D、小球沿斜面方向做初速度为v2＝v0cosθ、加速度为gsinθ的匀加速直线运动，而从A到D、从D到B的时间相等，故A、D两点间距离小于D、B两点间距离，故D错误。 故选：C。 [例题6] （2024秋•济南期末）如图所示，倾角为37°的足够长斜面固定在水平地面上，O点位于斜面上P点正上方h＝2.5m处，可视为质点的小球在竖直平面内从O点以大小为v＝2m/s的速度向各个方向抛出时，均能落在斜面上。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球从抛出到落在斜面上的最短时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 【解答】解：为使小球落在斜面上的时间最短，小球应该沿着与斜面垂直的方向向下抛出，在这种情况下，小球落在斜面上的位移最短，时间也就最短。 由几何关系可得此时下落高度H＝hcos37°，H＝vt，解得ts，故BCD错误，A正确。 故选：A。 题型三：分解速度与分解位移相结合 [例题7] （2024•广西模拟）跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员脚穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图甲所示，某运动员（可视为质点）从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员运动过程中在坡面上的投影到A点的距离与时间的关系如图乙所示，斜坡与水平方向的夹角为30°。运动员运动到C点时离坡面的距离最大，CD垂直于坡面AB。不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在A点的初速度为10m/s B．斜坡上A、B两点到D点的距离相等 C．运动员在空中C点时的速度为 D．运动员在空中到坡面的最大距离为 【解答】解：运动员做平抛运动，可分解为垂直斜坡方向上的类竖直上抛运动和沿斜坡方向的匀加速直线运动 A、重力加速度沿斜面向下的分加速度a1＝gsin30°＝10m/s2＝5m/s2， 垂直于斜面方向的分加速度大小a2＝gcos30°＝10 运动员沿坡面方向做匀加速直线运动，平行于斜面方向的位移s＝v0tcos30° 由图乙所示图像可知，t＝1s时s＝17.5m，代入数据解得：v0＝10m/s，故A错误； B、从A到B的过程，则，代入数据解得：t总＝2s， 运动员从斜坡上A点到C点与从C点运动到B点，在垂直斜坡方向上的运动距离相等， 且在C点垂直斜坡方向的速度为0，则利用运动对称性可知运动员由A到C和由C到B运动的时间相等，均为1s， 又沿斜坡方向运动员做匀加速运动，由运动学公式可知斜坡上A到D的距离小于B到D的距离，故B错误； C、运动员到达C点时垂直于斜面方向的分速度为零，到达C点的速度等于平行于斜面方向的速度， vC＝v0cos30°+a1t＝10m/s+5×1m/s＝20m/s，故C错误； D、运动员垂直于斜面方向的分速度为零时距离斜面的距离最大，运动员在空中到斜面的最大距离hmm，故D正确。 故选：D。 [例题8] （2024•宝鸡模拟）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　） A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3 B．三个小球落在斜面上时速度方向相同 C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3 D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交 【解答】解：A．小球做平抛运动，竖直方向有 根据几何关系有 AD：BD：CD＝9：4：1 三个小球做平抛运动的时间之比为 tA：tB：tC＝3：2：1 故A错误； B．小球在水平方向做匀速直线运动，则 x＝v0t 三个小球均落在斜面上的D点，根据位移间的关系有 设三个小球速度偏转角为α，则 可知三个小球速度偏转角相同，三个小球落在斜面上时速度方向相同，故B正确； C．三个小球均落在斜面上的D点，根据竖直位移与水平位移的关系有 三个小球的初速度大小之比为 vA：vB：vC＝3：2：1 故C错误； D．三个小球做平抛运动，三个小球的运动轨迹为抛物线，且交于D点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。 故选：B。 [例题9] （2024•泰州一模）如图所示，阳光垂直照射到斜面上，在斜面顶端把一小球水平抛出，小球刚好落在木板底端。B点是运动过程中距离斜面的最远处，A点是小球在阳光照射下小球经过B点的投影点。不计空气阻力，则（　　） A．小球在斜面上的投影做匀速运动 B．OA与AC长度之比为1：3 C．若D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等 D．减小小球平抛的速度，小球可能垂直落到斜面上 【解答】解：AB、小球沿斜面方向做初速度为v0cosθ，加速度为gsinθ的匀加速直线运动，则小球在斜面上的投影做匀加速直线运动； 小球垂直斜面方向做初速度为v0sinθ，加速度为gcosθ的匀减速直线运动，B点是运动过程中距离斜面的最远处， 小球垂直斜面方向的分速度刚好为0， 根据对称性可知，O到B与B到C的时间相等， 均为 则有 可得 则有 故AB错误； C、xOB为OB的水平位移； xOB＝v0t xOC为OC的水平位移； xOC＝v0•2t＝2xOB xOD为OD的水平位移； xOC＝2xOD 可知D点是OC的中点，则OD与DC长度相等，故C正确； D、若小球垂直落到斜面上，则小球水平方向的分速度与小球从斜面顶端抛出的初速度方向相反， 小球在水平方向做匀速运动，小球的水平速度方向不可能反向，所以减小小球平抛的速度，小球不可能垂直落到斜面上，故D错误。 故选：C。 题型四：类平抛运动 [例题10] （2024秋•锡山区校级月考）如图，一倾角为θ＝30°的光滑斜面上绘有方格（图中未画出），每个正方形小方格的边长为d。从斜面上A点以某一初速度沿AB水平抛出一小球，频闪照相记录下小球在不同时刻的部分位置如图2所示，已知频闪的时间间隔为Δt。下列说法正确的是（　　） A．小球抛出的初速度大小为 B．当地的重力加速度大小为 C．小球从A点开始运动到CD边所用的时间为4.8Δt D．小球运动到图2中E时的速度大小为 【解答】解：A．由方格纸各点的横向位置可知，小球的初速度为 故A错误； B．沿斜面方向的运动有 Δy＝4d＝aΔt2＝gsinθ×Δt2 解得 故B正确； C．A点到CD边沿斜面方向的距离 解得 故C错误； D．E点沿斜面垂直CD方向的速度 但E点还有沿AB方向速度，故D错误。 故选：B。 [例题11] （2025•朝阳区校级开学）如图所示，一小球在光滑斜面A处以水平速度v0＝0.6m/s射出，最后从B处离开斜面，已知斜面倾角为θ＝37°，高为h＝0.45m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略空气阻力，求： （1）小球从A处到B处所用的时间； （2）小球从A处到B处在沿初速度方向的位移大小。 【解答】解：（1）.根据牛顿第二定律可知加速度，沿加速度方向位移为，，得。 （2）.沿初速度方向位移。 答：（1）小球从A处到B处所用的时间t＝0.5s。 （2）小球从A处到B处在沿初速度方向的位移x＝0.3m。 [例题12] （2025•辽宁模拟）如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面abcd为正方形。一小球从斜面的顶点a处以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向抛出，小球恰好从bc边的中点飞出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的边长以及小球运动到水平地面时的速度大小。 【解答】解：依题意，小球在斜面上做类平抛运动，沿ab方向做匀速直线运动，有 L＝v0t 沿ad方向做匀加速直线运动，其加速度大小为 a＝gsin30° 则沿ad方向有 解得L＝1.8m 小球从a运动到底面cdef所在的水平面，由动能定理可知 解得 m/s 答：斜面abcd的边长为1.8m；小球运动到水平地面时的速度大小为m/s [练习1] （2024•鞍山二模）如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列说法正确的是（　　） A．AB：BC＝1：1 B．AB：BC＝1：2 C．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 D．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 【解答】解：AB、设小球的初速度为v，斜面的倾角为θ，竖直方向上有 水平方向上有 x＝vt 根据几何关系 联立可得 说明小球的飞行时间与初速度成正比，所以 yAB：yBC＝1：3 即 AB：BC＝1：3 故AB错误； CD、小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，根据 可得，小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的。 故C正确，D错误。 故选：C。 [练习2] （2024秋•长春校级期末）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（　　） A．两次小球运动时间之比t1：t2：1 B．两次小球运动时间之比t1：t2＝1：2 C．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1： D．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：2 【解答】解：A、根据h得，t，两小球下落的高度之比为1：2，则两次小球运动的时间之比为，故A、B错误。 C、根据知，两小球水平位移之比为1：2，时间之比为，则初速度之比为1：，故C正确，D错误。 故选：C。 [练习3] （2023秋•临泉县校级期末）如图所示，小球从斜面AB底端A点正上方O点以某一速度正对倾角为θ＝30°的斜面水平抛出，小球落到斜面上时速度方向与斜面垂直，不计空气阻力，小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：小球落到斜面上时速度方向与斜面垂直， 则速度方向与水平方向夹角的正切值 竖直位移与水平位移的比值 故B正确，ACD错误。 故选：B。 [练习4] （2024秋•浙江月考）如图甲所示为运动员高台滑雪的情景，过程可简化为图乙所示。若阳光垂直照射到斜面上，运动员在倾斜滑道顶端A处以水平初速度飞出，刚好落在斜面底端C处。B点是运动过程中距离斜面的最远处，D点是运动员在阳光照射下经过B点的投影点。不计空气阻力，运动员可视为质点，则下列说法错误的是（　　） A．运动员在斜面上的投影做匀加速直线运动 B．AD与DC长度之比为1：3 C．若E点在B点的正下方，则AE＝EC D．若运动员水平初速度减小，落到斜面时的速度与斜面的夹角仍不变 【解答】解：AB、将小球的运动分解为沿斜面和垂直斜面两个分运动，可知小球沿斜面方向做初速度为v0cosθ，加速度为gsinθ的匀加速直线运动，则小球在斜面上的投影做匀加速直线运动。 小球垂直斜面方向做初速度为v0sinθ，加速度为gcosθ的匀减速直线运动，B点是运动过程中距离斜面的最远处，则此时小球垂直斜面方向的分速度刚好为0，根据对称性可知，A到B与B到C的时间相等，均为，则有： 可得：， 则有：，故A正确，B错误； C、将小球的运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动。 小球从A到B的过程中有：xAB＝v0t 小球从A到C的过程中有：xAC＝v0•2t＝2xAB 若E点到B点的正下方，则有：AC＝2AE，可知E点是AC的中点，则AE＝EC，故C正确； D、小球落到斜面上时，速度与水平方向夹角的正切值则知速度方向与水平方向夹角不变，所以两个角度之差，即α不变，与初速度无关。故D正确。 本题选择错误的，故选：B。 [练习5] （2023秋•阳江期末）跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实跳台滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P处以初速度v0水平飞出，经过一段时间t后落到斜坡上的A点处，A、P之间距离为L。改变初速度v的大小，L和t都随之改变。已知重力加速度为g。关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从倾角为θ的斜坡顶端P处以初速度v0水平飞出，物体做平抛运动，根据平抛运动的规律，有 Lcosθ＝v0t 两式联立解得 ，故ACD错误，B正确。 故选：B。 [练习6] （2023秋•建湖县期末）如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（　　） A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 【解答】解：过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。 故选：A。 [练习7] （2024秋•岳麓区校级月考）如图，有一个质量为m的小球放在一个倾角为θ（0°＜θ＜90°），长度为L的斜面上，斜面与水平面在O点平滑连接，O点右侧水平面上有一竖直挡板。现将小球从斜面上一确定位置A以初速度v水平抛出，第一次碰撞点距离抛出点距离为l，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．若落在斜面上，则落点小球的速度大小为 B．若落在斜面上，小球的初速度增加到2v，则l增加到2l C．若小球的初速度从零逐渐增大，则小球从抛出到第一碰撞点的历时先增大后不变再减小 D．若O点不动，仍从A点水平抛出，仅增大斜面的倾角，则l先增大后减小 【解答】A．小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，若落在斜面上，根据平抛运动规律可知， 根据速度的分解与合成法，可知落点小球的速度大小为，故A错误； B．根据平抛运动规律可知，小球的初速度增加到2v，则运动时间也增大，碰撞点距离抛出点距离大于2l，故B错误； C．若小球的初速度从零逐渐增大，则小球先落在斜面上，再落到水平面上，最后与墙壁碰撞，若落在斜面上，根据平抛运动规律可知，随着速度增大，时间逐渐增大；若落在水平面上，根据，可知时间不变；若碰到墙壁上，则高度减小，时间减小，故C正确； D．根据平抛运动规律可知，当θ增大，cosθ减小，t也增大，则l逐渐增大，故D错误； 故选：C。 [练习8] （2023秋•金凤区校级期末）如图所示，从倾角为30°的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力则a、b两球（　　） A．在空中飞行的时间之比为1：2 B．下落的高度之比为1：3 C．水平位移之比为1：2 D．落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1：2 【解答】解：ABC、两个小球在空中做平抛运动，落在斜面上时，有tan30°，则得平抛运动的时间t，由于平抛运动的初速度之比为1：2，则平抛运动的时间之比为1：2。根据x＝v0t得，初速度之比为1：2，则水平位移之比为1：4，根据hgt2知，下降的高度之比为1：4，故A正确，BC错误； D、设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为α，有tanα2tan30°，可知两球落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1：1，故D错误。 故选：A。 [练习9] （2023秋•西湖区校级期末）如图1，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有（　　） A．v B．v C．v0＞v D．v 【解答】解：小球从A点正上方抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在B点，若改变初速度，落在C点，可知水平位移变为原来的，若运动时间不变，由x＝v0t知初速度变为原来的，但由于小球运动时间变长，则初速度小于v0，即vv0，故A正确，B、C、D错误。 故选：A。 [练习10] （2024春•镇海区校级期末）如图，小球从加速滑道的不同位置由静止滑下，到达A点后会以不同的速度水平飞出，分别落在滑道的M、B和N点。已知滑道AB和BC倾斜角均为45°，并且M为AB的中点，M、N两点在同一水平面。不计空气阻力，重力加速度为10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．三次在空中飞行时间之比为1：2：3 B．三次的水平初速度大小之比为 C．落在M点的速度偏转角比落在B点的速度偏转角大 D．落在N点的时候速度方向恰好垂直斜坡BC 【解答】解：A、小球在竖直方向上做自由落体运动， 轨迹1、3的高度相等，在空中飞行的时间相等；轨迹1、2的高度之比为1：2，由 所以时间之比为，综合可得 故A错误； B、小球在水平方向上做匀速直线运动， 由几何关系，轨迹1、2、3的水平位移之比为 x1：x2：x3＝1：2：3 由 x＝v0t 水平初速度之比为 故B正确。 C、因为落在斜坡AB上的位移偏转角相同，速度偏转角也相同，故C错误； D、轨迹1的速度偏转角 轨迹3的速度偏转角 已知 所以 不与斜坡BC垂直，故D错误。 故选：B。 [练习11] （2024春•越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（　　） A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0 【解答】解：小球沿竖直方向的位移：x＝v0t 沿竖直方向的位移：y 根据 联立可得 当速度加倍时，运动时间加倍，则当小球在空中的运动时间为2t时，则第二次水平抛出的速度大小为2v0。 故A正确，BCD错误。 故选：A。 [练习12] （2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（　　） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 【解答】解：如图甲所示，小球从斜面上P点水平又落回到斜面上，其速度方向与斜面间的夹角为α， 则 而tanθ 即有tan（θ+α）＝2tanθ 可见小球落在斜面上时速度方向都相同，与初速度大小无关。 如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，可得 tan（θA+αA'）＝2tanθA＝tan（θ+αA）、tan（θB+α'B）＝2tanθB＝tan（θ+αB） 因为θA＞θB 则tan（θ+αA）＞tan（θ+αB） 可得αA＞αB，故A正确，BCD错误。 故选：A。 [练习13] （2023秋•五华区校级期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知OB间距离是OA间距离的3倍，小球落到A点时速度与水平方向夹角为α，其正切为，小球落到B点时速度与水平方向夹角为β，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：B.已知，在竖直方向上有，所以，故B正确； A.因为 ，在水平方向有x＝vt，结合，得到，故A错误； C.因为，vy＝gt，所以，因为A点速度满足tanα，B点速度满足tanβ，其中vy2＝gt2gt1，所以tanβ，所以α＝β，故C错误； D.因为平抛运动位移的夹角与速度夹角之间存在2倍关系，所以，故D错误。 故选：B。 [练习14] （2023秋•石景山区期末）如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，一小球从斜面顶端向右水平抛出，初速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球落到斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为2θ B．小球做平抛运动的时间为 C．小球落到斜面上时，速度大小为vtanθ D．小球做平抛运动的水平位移大小为 【解答】解：B.小球做平抛运动，水平方向有 x＝vt 竖直方向有 y 小球落到斜面上有 tanθ 可得小球做平抛运动的时间为 t 故B正确； A.小球落到斜面上时速度的偏转角为α，则 tanα2tanθ 可得 α≠2θ 故A错误； C.小球落到斜面上时，速度大小为 v1 解得v1v 故C错误； D.小球做平抛运动的水平位移大小为 x＝vt 解得x 故D错误。 故选：B。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点04 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型 一、易错点分析 1、运动时间的计算 容易错误地使用竖直方向自由落体运动公式来计算运动时间，而忽略了斜面的倾角对运动的影响。在斜面上平抛物体时，物体的运动时间不仅与竖直高度有关，还与斜面的倾角有关。应根据斜面的几何关系，找到物体在竖直方向和水平方向的位移与斜面倾角的关系，再结合平抛运动的基本公式来求解运动时间。 2、速度方向与斜面的关系 不能正确理解和运用速度方向与斜面之间的几何关系。当物体落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角和斜面倾角有一定的关系。 3、位移关系的处理 对物体在斜面上的位移分解容易出现错误，不能准确找到水平位移、竖直位移与斜面长度等物理量之间的关系。要明确物体的位移是相对于斜面顶端还是斜面底端，以及位移在水平和竖直方向的分量与斜面长度、高度等的关系。 二、斜面上的平抛 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。 1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。 (2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。 (3)运动的时间与初速度成正比。 (4)位移与初速度的二次方成正比。 (5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。 2．常见的模型 模型 方法 分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角 基本 规律 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tanθ＝ 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tanθ＝ 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移： s＝ 方向：tanθ＝ 运动 时间 由tanθ＝＝得t＝ 由tanθ＝＝得t＝ 由tanθ＝＝得t＝ 三、类平抛运动模型 （1）模型特点： 物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。 （2）.类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g； 做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 （3）求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。　　　 （4）求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。 (2)确定是研究速度，还是研究位移。 (3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。 题型一：分解速度 [例题1] （2025•端州区一模）如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则（　　） A．小球在空中飞行时间为 B．小球落到斜面上时的速度大小为 C．小球的位移方向垂直于AC D．CD与DA的比值为 [例题2] （2024秋•烟台期末）如图所示，将一倾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，在斜面底端O点的正上方h＝3.6m高度处水平发射一颗小弹丸，弹丸打在斜面上P点位置，已知O、P两点间的距离l＝3m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则弹丸初速度v0的大小为（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．12m/s [例题3] （2024秋•黄浦区校级期末）如图，在某次飞行演习中，以v0水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间t后炸弹垂直击中倾角为θ的山坡。则时间t为（　　） A． B． C． D． 题型二：分解位移 [例题4] （2024秋•香坊区校级期末）如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，不计阻力。已知AB：BC＝1：3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球水平抛出的初速度之比为 B．两次小球在空中的时间之比为1：2 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1：2 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为2：1 [例题5] （2024秋•五华区校级期末）如图所示，将一小球从倾角θ＝30°的斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，落在斜面上的B点，C为小球运动过程中与斜面相距最远的点，CD垂直AB．小球可视为质点，空气阻力不计，则（　　） A．小球在C点的速度大小是2v0 B．小球在从A到C点所用时间小于从C到B点所用时间 C．小球在B点的速度与水平方向的夹角正切值大小是在C点的速度与水平方向夹角正切值大小的2倍 D．A、D两点间距离等于D、B两点间距离 [例题6] （2024秋•济南期末）如图所示，倾角为37°的足够长斜面固定在水平地面上，O点位于斜面上P点正上方h＝2.5m处，可视为质点的小球在竖直平面内从O点以大小为v＝2m/s的速度向各个方向抛出时，均能落在斜面上。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球从抛出到落在斜面上的最短时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 题型三：分解速度与分解位移相结合 [例题7] （2024•广西模拟）跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员脚穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图甲所示，某运动员（可视为质点）从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员运动过程中在坡面上的投影到A点的距离与时间的关系如图乙所示，斜坡与水平方向的夹角为30°。运动员运动到C点时离坡面的距离最大，CD垂直于坡面AB。不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在A点的初速度为10m/s B．斜坡上A、B两点到D点的距离相等 C．运动员在空中C点时的速度为 D．运动员在空中到坡面的最大距离为 [例题8] （2024•宝鸡模拟）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　） A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3 B．三个小球落在斜面上时速度方向相同 C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3 D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交 [例题9] （2024•泰州一模）如图所示，阳光垂直照射到斜面上，在斜面顶端把一小球水平抛出，小球刚好落在木板底端。B点是运动过程中距离斜面的最远处，A点是小球在阳光照射下小球经过B点的投影点。不计空气阻力，则（　　） A．小球在斜面上的投影做匀速运动 B．OA与AC长度之比为1：3 C．若D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等 D．减小小球平抛的速度，小球可能垂直落到斜面上 题型四：类平抛运动 [例题10] （2024秋•锡山区校级月考）如图，一倾角为θ＝30°的光滑斜面上绘有方格（图中未画出），每个正方形小方格的边长为d。从斜面上A点以某一初速度沿AB水平抛出一小球，频闪照相记录下小球在不同时刻的部分位置如图2所示，已知频闪的时间间隔为Δt。下列说法正确的是（　　） A．小球抛出的初速度大小为 B．当地的重力加速度大小为 C．小球从A点开始运动到CD边所用的时间为4.8Δt D．小球运动到图2中E时的速度大小为 [例题11] （2025•朝阳区校级开学）如图所示，一小球在光滑斜面A处以水平速度v0＝0.6m/s射出，最后从B处离开斜面，已知斜面倾角为θ＝37°，高为h＝0.45m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略空气阻力，求： （1）小球从A处到B处所用的时间； （2）小球从A处到B处在沿初速度方向的位移大小。 [例题12] （2025•辽宁模拟）如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面abcd为正方形。一小球从斜面的顶点a处以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向抛出，小球恰好从bc边的中点飞出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的边长以及小球运动到水平地面时的速度大小。 [练习1] （2024•鞍山二模）如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列说法正确的是（　　） A．AB：BC＝1：1 B．AB：BC＝1：2 C．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 D．小球做平抛运动落在B点的时间是落在C点时间的 [练习2] （2024秋•长春校级期末）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（　　） A．两次小球运动时间之比t1：t2：1 B．两次小球运动时间之比t1：t2＝1：2 C．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1： D．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：2 [练习3] （2023秋•临泉县校级期末）如图所示，小球从斜面AB底端A点正上方O点以某一速度正对倾角为θ＝30°的斜面水平抛出，小球落到斜面上时速度方向与斜面垂直，不计空气阻力，小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（　　） A． B． C． D． [练习4] （2024秋•浙江月考）如图甲所示为运动员高台滑雪的情景，过程可简化为图乙所示。若阳光垂直照射到斜面上，运动员在倾斜滑道顶端A处以水平初速度飞出，刚好落在斜面底端C处。B点是运动过程中距离斜面的最远处，D点是运动员在阳光照射下经过B点的投影点。不计空气阻力，运动员可视为质点，则下列说法错误的是（　　） A．运动员在斜面上的投影做匀加速直线运动 B．AD与DC长度之比为1：3 C．若E点在B点的正下方，则AE＝EC D．若运动员水平初速度减小，落到斜面时的速度与斜面的夹角仍不变 [练习5] （2023秋•阳江期末）跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实跳台滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P处以初速度v0水平飞出，经过一段时间t后落到斜坡上的A点处，A、P之间距离为L。改变初速度v的大小，L和t都随之改变。已知重力加速度为g。关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． [练习6] （2023秋•建湖县期末）如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（　　） A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 [练习7] （2024秋•岳麓区校级月考）如图，有一个质量为m的小球放在一个倾角为θ（0°＜θ＜90°），长度为L的斜面上，斜面与水平面在O点平滑连接，O点右侧水平面上有一竖直挡板。现将小球从斜面上一确定位置A以初速度v水平抛出，第一次碰撞点距离抛出点距离为l，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．若落在斜面上，则落点小球的速度大小为 B．若落在斜面上，小球的初速度增加到2v，则l增加到2l C．若小球的初速度从零逐渐增大，则小球从抛出到第一碰撞点的历时先增大后不变再减小 D．若O点不动，仍从A点水平抛出，仅增大斜面的倾角，则l先增大后减小 [练习8] （2023秋•金凤区校级期末）如图所示，从倾角为30°的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力则a、b两球（　　） A．在空中飞行的时间之比为1：2 B．下落的高度之比为1：3 C．水平位移之比为1：2 D．落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1：2 [练习9] （2023秋•西湖区校级期末）如图1，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有（　　） A．v B．v C．v0＞v D．v [练习10] （2024春•镇海区校级期末）如图，小球从加速滑道的不同位置由静止滑下，到达A点后会以不同的速度水平飞出，分别落在滑道的M、B和N点。已知滑道AB和BC倾斜角均为45°，并且M为AB的中点，M、N两点在同一水平面。不计空气阻力，重力加速度为10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．三次在空中飞行时间之比为1：2：3 B．三次的水平初速度大小之比为 C．落在M点的速度偏转角比落在B点的速度偏转角大 D．落在N点的时候速度方向恰好垂直斜坡BC [练习11] （2024春•越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（　　） A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0 [练习12] （2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（　　） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 [练习13] （2023秋•五华区校级期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知OB间距离是OA间距离的3倍，小球落到A点时速度与水平方向夹角为α，其正切为，小球落到B点时速度与水平方向夹角为β，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． [练习14] （2023秋•石景山区期末）如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，一小球从斜面顶端向右水平抛出，初速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球落到斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为2θ B．小球做平抛运动的时间为 C．小球落到斜面上时，速度大小为vtanθ D．小球做平抛运动的水平位移大小为 学科网（北京）股份有限公司 $$