易错点03 多体平抛运动模型 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点03 多体平抛运动模型 一、易错点分析 1、对平抛运动本质把握不准：平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。学生可能会忽略这一本质，在分析多体平抛运动时，不能正确将每个物体的运动分解为这两个方向的分运动。例如，在多个物体从不同高度、以不同初速度平抛的问题中，错误地认为物体的运动轨迹只与初速度有关，而忽视了高度对运动时间和竖直方向位移的影响。 2、多体运动的独立性与同时性理解不到位：多个物体同时做平抛运动时，每个物体的平抛运动都相互独立，互不影响，但它们具有同时性，即运动时间由竖直方向的高度决定。学生容易混淆这两个特性，比如在计算多个物体的落地时间时，没有根据各自的高度分别计算，而是错误地认为它们会同时落地，或者在分析物体之间的相对位置关系时，没有考虑到运动的独立性，认为一个物体的运动状态会影响其他物体。 二、平抛运动基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． (1)位移关系 (2)速度关系 （3）飞行时间 由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． （4）水平射程 x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度 v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关． （6）速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． （7）两个重要推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导： →xB＝ ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导： →tan θ＝2tan α 三、多体平抛模型 （1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型 （2）模型运动规律 ①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 ②若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 ③若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 ④两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 题型一：同位置不同速平抛 [例题1] （2025•芙蓉区开学）如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点。已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为（　　） A． B．tanθ C． D．tan2θ [例题2] （2025•镇江校级一模）a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则（　　） A．va＝vb B．va＜vb C．ta＞tb D．ta＜tb [例题3] （2024秋•重庆期末）如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时调整发球机出球口距地面的高度，然后向竖直墙面发射网球。如图乙所示，先后两次从同一位置水平发射网球A、B，网球A、B分别碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为45°和60°，若不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A球的发射速度小于B球的发射速度 B．A球的速度变化率小于B球的速度变化率 C．A球在空中的飞行时间大于B球在空中的飞行时间 D．A、B两球位移之比： 题型二：不同高不同速平抛 [例题4] （2024秋•西湖区校级期末）如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一图弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1：v2＝2：3，两球同时落到圆弧面上。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B．甲球做平抛运动的时间为 C．甲球做平抛运动的初速度大小为 D．若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 [例题5] （2025•九江一模）如图所示，甲、乙两同学模拟古代投壶比赛，他们自P、Q两点分别以v1、v2的速度水平抛出球，P比Q位置更高，两小球均射到壶口O点，且在O点时速度方向相同，忽略空气阻力，则（　　） A．两小球飞行时间相等 B．两小球到达O点的速度相等 C．两小球抛出的初速度相等 D．P、Q与O在同一直线上 [例题6] （2025•宝丰县一模）如图所示，可视为质点的两个小球A、B从坐标为（0，2y0）、（0，y0）的两点分别以速度vA和vB水平抛出，两个小球都能垂直打在倾角为45°的斜面上，由此可得vA：vB等于（　　） A．：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 [练习1] （2024秋•岳麓区校级期末）将a、b两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为P，空气阻力不计，则（　　） A．b球比a球先落地 B．a球的水平位移一定大于b球 C．a、b两球可能会在P点相遇 D．a、b两球落地时速度大小一定相同 [练习2] （2025•贵港校级模拟）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 [练习3] （2024•武鸣区校级模拟）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 [练习4] （2023秋•哈尔滨期末）如图所示，从同一位置O点先后水平抛出甲、乙两小球，分别落在水平地面的A、B两点，乙球在B点与地面发生弹性碰撞，反弹后恰好也落在A点，忽略一切阻力。则（　　） A．两球质量一定相等 B．两球落在A点的速度大小一定相等 C．从O点到A点两球运动的时间一定相等 D．甲、乙两球水平抛出的初速度大小之比为3：1 [练习5] （2024春•济南期末）如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va、vb沿水平方向抛出，若不计空气阻力，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，下列关系正确的是（　　） A．ta＝tb B．ta＞tb C．va＝vb D．va＞vb [练习6] （多选）（2024秋•江津区月考）将a、b两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为P，空气阻力不计，则（　　） A．b球比a球先落地 B．a球的水平位移一定大于b球 C．a、b两球可能会在P点相遇 D．a、b两球落地时速度大小可能相同 [练习7] （多选）（2024•浑南区校级开学）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为3：4 B．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若v1大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则v2应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则v1应变为原来的倍 [练习8] （2023•龙亭区校级开学）如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板MN落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞N（N≥1）次后，刚好越过高为h的挡板MN（h可调节）也落在Q点。假设球2每次与地面的碰撞都是弹性碰撞，两球的空气阻力均可忽略，则（　　） A．h与H之比可能为1：2 B．h与H之比可能为11：36 C．球1与球2速度之比可能为6：1 D．球1与球2速度之比可能为16：1 [练习9] （2023春•青龙县期末）两点分别以速度v1、v2水平抛出两个相同的小球，可视为质点，它们在水平地面上方的P点相遇．假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响，则下列说法正确的是（　　） A．两个小球从a、b两点同时抛出 B．两小球抛出的初速度v1＝v2 C．从a点抛出的小球着地时水平射程较大 D．从a点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大 [练习10] （2023春•濮阳期末）在地面上方，沿水平方向先后抛出两个小球，抛出点在同一竖直线上，两球相遇于空中的P点，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，最终两小球落在水平地面上。关于两个小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球B比A先抛出 B．小球A的初速度小于小球B的初速度 C．小球A的初速度大于小球B的初速度 D．两小球落地时的速度大小相等 [练习11] （2023春•成都月考）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为4：3 B．若仅增大v1，两球不可能相碰 C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点03 多体平抛运动模型 一、易错点分析 1、对平抛运动本质把握不准：平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。学生可能会忽略这一本质，在分析多体平抛运动时，不能正确将每个物体的运动分解为这两个方向的分运动。例如，在多个物体从不同高度、以不同初速度平抛的问题中，错误地认为物体的运动轨迹只与初速度有关，而忽视了高度对运动时间和竖直方向位移的影响。 2、多体运动的独立性与同时性理解不到位：多个物体同时做平抛运动时，每个物体的平抛运动都相互独立，互不影响，但它们具有同时性，即运动时间由竖直方向的高度决定。学生容易混淆这两个特性，比如在计算多个物体的落地时间时，没有根据各自的高度分别计算，而是错误地认为它们会同时落地，或者在分析物体之间的相对位置关系时，没有考虑到运动的独立性，认为一个物体的运动状态会影响其他物体。 二、平抛运动基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． (1)位移关系 (2)速度关系 （3）飞行时间 由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． （4）水平射程 x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度 v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关． （6）速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． （7）两个重要推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导： →xB＝ ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导： →tan θ＝2tan α 三、多体平抛模型 （1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型 （2）模型运动规律 ①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。 ②若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。 ③若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 ④两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 题型一：同位置不同速平抛 [例题1] （2025•芙蓉区开学）如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点。已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为（　　） A． B．tanθ C． D．tan2θ 【解答】解：小球做平抛运动 对于小球1：竖直方向：Rcosθg，水平方向：Rsinθ＝v1t1，解得：v1＝Rsinθ 对于小球2：竖直方向：Rsinθg，水平方向：Rcosθ＝v2t2，解得：v2＝Rcosθ 解得，两小球的初速度之比，故C正确，ABD错误。 故选：C。 [例题2] （2025•镇江校级一模）a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则（　　） A．va＝vb B．va＜vb C．ta＞tb D．ta＜tb 【解答】解：根据平抛运动竖直方向是自由落体运动，有，得 因为hb＞ha，所以ta＜tb 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，有x＝v0t，由图知xa＞xb 所以va＞vb，故ABC错误，D正确； 故选：D。 [例题3] （2024秋•重庆期末）如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时调整发球机出球口距地面的高度，然后向竖直墙面发射网球。如图乙所示，先后两次从同一位置水平发射网球A、B，网球A、B分别碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为45°和60°，若不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A球的发射速度小于B球的发射速度 B．A球的速度变化率小于B球的速度变化率 C．A球在空中的飞行时间大于B球在空中的飞行时间 D．A、B两球位移之比： 【解答】解：C、发出的网球在竖直方向做自由落体运动，根据h可得网球在空中运动的时间为t，由图可知hB＞hA，所以A球在空中的运动时间小于B球在空中的运动时间，故C错误； A、网球在水平方向上做匀速直线运动，两网球在水平方向的位移相等，根据x＝v0t可知，A球的发射速度大于B球的发射速度，故A错误； B、速度的变化率是指加速度，两个网球的加速度都是重力加速度，所以A球的速度变化率等于B球的速度变化率，故B错误； D、根据平抛运动的推论，物体速度偏转角的正切值是位移与水平方向位移夹角正切值的2倍，设A、B的位移方向与水平方向的夹角分别为α、β，则所以A、B两球的位移之比为， ，设两球的水平位移为x，根据几何关系有，解得A、B两球的位移之比为，故D正确。 故选：D。 题型二：不同高不同速平抛 [例题4] （2024秋•西湖区校级期末）如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一图弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1：v2＝2：3，两球同时落到圆弧面上。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B．甲球做平抛运动的时间为 C．甲球做平抛运动的初速度大小为 D．若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 【解答】解：A.设小球末速度方向与水平方向的夹角为θ， 由平抛运动的运动规律可得：， 因为两球同时抛出、同时落在圆弧面上，所以两球平抛运动的时间相等、下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量相同； 又因为两小球水平方向分速度的大小关系为：v1：v2＝2：3，所以甲球末速度方向与水平方向的夹角更大，故A错误； B.由平抛运动的运动规律可得：x＝vxt， 因为两球平抛运动的时间相等、两小球水平方向分速度的大小关系为：v1：v2＝2：3， 所以甲、乙两球做平抛运动的水平位移大小之比为：x1：x2＝2：3， 由题意可知：x1+x2＝R， 联立可得：，， 则根据几何关系可知，两球做平抛运动下落的高度为：， 由平抛运动的运动规律可得：， 联立可得：，故B错误； C.结合前面分析可知，甲球做平抛运动的初速度大小为：，故C正确； D.结合前面分析可知，若甲球做平抛运动的初速度大小为2， 则甲球下落R高度的，水平位移大小为：R， 由此可知，甲仍能落在圆弧面上，故D错误； 故选：C。 [例题5] （2025•九江一模）如图所示，甲、乙两同学模拟古代投壶比赛，他们自P、Q两点分别以v1、v2的速度水平抛出球，P比Q位置更高，两小球均射到壶口O点，且在O点时速度方向相同，忽略空气阻力，则（　　） A．两小球飞行时间相等 B．两小球到达O点的速度相等 C．两小球抛出的初速度相等 D．P、Q与O在同一直线上 【解答】解：A.两小球做平抛运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，由h可知两小球飞行时间不相等，故A错误； BC.设达到O点时速度方向与水平方向的夹角为θ，做平抛运动的初速度为v0，在O点时速度方向相同，则速度方向与水平方向夹角相同，，自P点抛出小球的飞行时间长，因此抛出的初速度大，小球在O点的速度v，故BC错误； D.设位移方向与水平方向夹角为α，由平抛规律有：tanθ＝2tanα，因此PQO共线，故D正确。 故选：D。 [例题6] （2025•宝丰县一模）如图所示，可视为质点的两个小球A、B从坐标为（0，2y0）、（0，y0）的两点分别以速度vA和vB水平抛出，两个小球都能垂直打在倾角为45°的斜面上，由此可得vA：vB等于（　　） A．：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 【解答】解：小球垂直击中斜面，速度与斜面垂直，由速度分解可知：vytan45°＝v0； 又vy＝gt 可得：t， 根据几何关系得：h∝， 据题小球A、B从坐标分别为：（0、2y），（0，y）， 即hA＝2y，hB＝y 则得：vA，即vA：vB，故A正确，BCD错误。 故选：A。 [练习1] （2024秋•岳麓区校级期末）将a、b两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为P，空气阻力不计，则（　　） A．b球比a球先落地 B．a球的水平位移一定大于b球 C．a、b两球可能会在P点相遇 D．a、b两球落地时速度大小一定相同 【解答】解：A、由于a、b两个小球从不同高度同时水平抛出都做平抛运动，b球下落高度小，由t可知，b球运动时间短，则b球比a球先落地，故A正确； B、因两球水平抛出时的初速度大小题中没有给出，所以根据x＝v0t可知，落地时a球的水平位移不一定大于b球的水平位移，故B错误； C、由于a、b 两个小球从不同高度同时水平抛出，下落到P点的时间不同，所以两球不能在P点相遇，故C错误； D、两球运动时间不等，但由于两球的初速度大小未知，则两球落地的速度大小v可能相同，也可能不同，故D错误。 故选：A。 [练习2] （2025•贵港校级模拟）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 【解答】解：A．两个小球都做平抛运动，水平方向都做匀速直线运动，根据x＝v0t，根据题意，A运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，x和t都相等，所以v0相等，故A错误； B．因为水平速度相等，台阶的宽度也相等，所以两个小球在空中运动的总时间之比为2：1，所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，合速度v，其比值一定不等于2：1，故B错误； C．根据平抛运动竖直方向： 水平方向：x＝v0t 联立解得： 台阶1、3的高度差与台阶2、3高度差之比为 所以，台阶1、2的高度差与台阶2、3高度差之比为 故C错误； D．设2、3台阶的高度差为h0，则1、3台阶的高度差为4h0，设台阶的宽度x0，根据平抛运动的推论tanα＝2tanβ 得 两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值与B的速度与水平方向的夹角的正切值之比为 故D正确。 故选：D。 [练习3] （2024•武鸣区校级模拟）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 【解答】解：A．两个小球都做平抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在水平方向上根据x＝v0t，根据题意，A运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，则它们的水平位移x和运动时间t都相等，所以v0相等，故A错误； B．因为水平速度相等，台阶的宽度也相等，所以两个小球在空中运动的总时间之比为2：1，所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，合速度v，其比值一定不等于2：1，故B错误； C．根据平抛运动规律，在动竖直方向有： 在水平方向有：x＝v0t 联立解得： 台阶1、3的高度差与台阶2、3高度差之比为 所以，台阶1、2的高度差与台阶2、3高度差之比为 故C错误； D．设2、3台阶的高度差为h0，则1、3台阶的高度差为4h0，设台阶的宽度x0，根据平抛运动的推论tanα＝2tanβ 得 两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值与B的速度与水平方向的夹角的正切值之比为 故D正确。 故选：D。 [练习4] （2023秋•哈尔滨期末）如图所示，从同一位置O点先后水平抛出甲、乙两小球，分别落在水平地面的A、B两点，乙球在B点与地面发生弹性碰撞，反弹后恰好也落在A点，忽略一切阻力。则（　　） A．两球质量一定相等 B．两球落在A点的速度大小一定相等 C．从O点到A点两球运动的时间一定相等 D．甲、乙两球水平抛出的初速度大小之比为3：1 【解答】解：A、两球做的都是平抛运动，根据运动轨迹无法比较两球的质量大小，故A错误； BCD、根据平抛运动规律可知，甲球落到A点的运动时间与乙球落到B点的时间相等，因为乙球在B点与地面发生的是弹性碰撞，没有能量损失，由此可知乙球从B点到A点的时间为从O点到B点时间的2倍，即乙球从O点到A点的时间是甲球从O点到A点时间的3倍，两球在水平方向均作匀速直线运动，根据x＝vt可知，甲、乙两球水平抛出的初速度大小之比为3：1，因为它们在竖直方向运动的高度相同，所以它们落地时竖直方向的分速度相等，即两球落在A点的速度大小一定不相等，故BC错误，D正确。 故选：D。 [练习5] （2024春•济南期末）如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va、vb沿水平方向抛出，若不计空气阻力，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，下列关系正确的是（　　） A．ta＝tb B．ta＞tb C．va＝vb D．va＞vb 【解答】解：AB.根据平抛物体的运动规律有hgt2，得t，由图可知ha＞hb，所以ta＞tb，故A错误，B正确； CD.在水平方向上，满足x＝vt，由于水平距离x相等，由ta＞tb，可以得出va＜vb，故CD错误。 故选：B。 [练习6] （多选）（2024秋•江津区月考）将a、b两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为P，空气阻力不计，则（　　） A．b球比a球先落地 B．a球的水平位移一定大于b球 C．a、b两球可能会在P点相遇 D．a、b两球落地时速度大小可能相同 【解答】解：A．由于 a、b 两个小球从不同高度同时水平抛出，球b比球a更低，由公式 可知，b球比a球先落地，故A正确； B．小球落地时的速率大小由水平方向和竖直方向的分速度共同来决定，因两球水平抛出时的初速度大小题中没有给出，所以落地时a球速率不一定大于b球速率，故B错误； C．a、b 两个小球从不同高度同时水平抛出，下落到P点的时间不同，所以不能在P点相遇，故C错误； D．两球的初速度大小未知，则两球落地的速度大小 可能相同，故D正确。 故选：AD。 [练习7] （多选）（2024•浑南区校级开学）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为3：4 B．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若v1大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则v2应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则v1应变为原来的倍 【解答】解？A、两小球竖直位移相同，则下落时间相同，初速度v1、v2大小之比等于水平位移之比，即，故A正确； C、若让两球仍在OC竖直面相遇，则xOA+xOB＝xAB， 其中xOA＝v1t，xOB＝v2t，若v1大小变为原来的两倍，水平位移不变，则时间t变为原来的一半，两球仍在OC竖直面相遇，则乙球的速度v2要增大为原来的2倍，故C正确； B、甲球落在D、C两点时的竖直位移之比为，根据可知甲球落在D、C两点时的时间之比为， 甲球落在D、C两点时的水平位移之比为，根据可知甲球落在D、C两点时的初速度大小之比为， 故若v1大小变为，则甲球恰能落在斜面的中点D，故B错误； D、若甲球垂直击中圆环BC，则击中BC时的速度方向一定过O点，且根据平抛运动规律的推论可知O点为甲球水平位移的中点，则甲球落点到A点的水平距离为 x′＝2Rtan37°＝v1′t′， 竖直距离为 甲球在C点相碰时的速度与位移关系式为x＝Rtan37°＝v1t，y＝R， 根据解得， 所以若要甲球垂直击中圆环BC，则v1应变为原来的倍，故D正确。 故选：ACD。 [练习8] （2023•龙亭区校级开学）如图所示，从高H处的P点先后水平抛出两个小球，球1刚好直接越过竖直挡板MN落在水平地面上的Q点，球2与地面碰撞N（N≥1）次后，刚好越过高为h的挡板MN（h可调节）也落在Q点。假设球2每次与地面的碰撞都是弹性碰撞，两球的空气阻力均可忽略，则（　　） A．h与H之比可能为1：2 B．h与H之比可能为11：36 C．球1与球2速度之比可能为6：1 D．球1与球2速度之比可能为16：1 【解答】解：AB、如图所示 设球1的初速度为v1，球2的初速度为v2，OE﹣d，由几何关系和对称性可知 OQ﹣（2n﹣1）d 球1从P点飞到Q点的运动时间为 球1从P点飞到Q点在水平方向有 由对称性可知，球2从P点飞到Q点时间t2是球1从P点飞到Q点的运动时间t1的（2n﹣1）倍，则两球在水平方向有 v1t1﹣v2t2 且 t2＝（2n﹣1）t1 故 v1＝（2n﹣1）v2 由分运动的等时性可知：球1从P点飞到挡板M点的时间与球2从P点飞到C点的时间相等；由对称性可知球2从M点飞到D点与由P飞到C的时间相等，OD两点间的水平距离为（2n﹣2）d。球1从P点飞到M点与球2由M点飞到D点水平方向有 解得 当n﹣6时但不可能等于，故A错误，B正确； CD、根据v1＝（2n﹣1）v2可知，球1与球2速度之比不可能为2：1，也不可能是16：1，故CD错误。 故选：B。 [练习9] （2023春•青龙县期末）两点分别以速度v1、v2水平抛出两个相同的小球，可视为质点，它们在水平地面上方的P点相遇．假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响，则下列说法正确的是（　　） A．两个小球从a、b两点同时抛出 B．两小球抛出的初速度v1＝v2 C．从a点抛出的小球着地时水平射程较大 D．从a点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大 【解答】解：A、两球到达P点，a球下降的高度较大，根据t知，a球的运动时间较长，则a球先抛出，故A错误。 B、到达P点，a球运动的时间较长，两球的水平位移相等，根据x＝v0t知，v2＞v1，故B错误。 C、到达P点后，a球的竖直分速度较大，则a球从P点到达地面所需的时间较短，由于a球水平分速度较小，则a球的水平位移较小，故C错误。 D、根据知，a球到达地面时竖直分速度较大，根据P＝mgvy知，a球着地时重力的瞬时功率较大，故D正确。 故选：D。 [练习10] （2023春•濮阳期末）在地面上方，沿水平方向先后抛出两个小球，抛出点在同一竖直线上，两球相遇于空中的P点，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，最终两小球落在水平地面上。关于两个小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球B比A先抛出 B．小球A的初速度小于小球B的初速度 C．小球A的初速度大于小球B的初速度 D．两小球落地时的速度大小相等 【解答】解：A．根据 可知，在空中运动时小球A的运动时间大于小球B的运动时间，所以小球A比B先抛出，故A错误； BC．两球相遇于空中的P点，水平位移相同，小球A运动时间长，水平方向上做匀速直线运动，则根据 x＝v0t 可知，抛出A球的初速度小于抛出B球的初速度，故B正确，C错误； D．抛出A球的初速度小于抛出B球的初速度，而A球运动时间长，竖直方向上做自由落体运动，则落地时竖直速度 vy＝gt 故A落地时竖直方向上大，且落地时速度大小 v 则无法判断落地时速度关系，故D错误。 故选：B。 [练习11] （2023春•成都月考）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为4：3 B．若仅增大v1，两球不可能相碰 C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC 【解答】解：A．根据题意，作出轨迹图及速度的分解图，如下图： 甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有： x乙＝v2t＝R 初速度v1、v2大小之比为3：4，故A错误； B．两球相碰，则满足，若仅增大v1，显然存在t满足方程，所以两球会相碰，故B错误； C．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误； D．若甲球能垂直击中圆环BC，则甲球的落地速度的反向延长线通过圆心O点，根据平抛运动的推论，只要O点是甲球水平位移的中点即可，经分析可知适当增大甲球的水平初速度就有可能，故D正确． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$