2.2 有理数的加减运算 教案 2024--2025学年北师大版七年级数学上册

第二章　有理数及其运算 第二节　有理数的加减运算 第1课时　有理数加法法则 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 掌握有理数的加法运算,能运用有理数加法运算解决简单问题。 1.经历探索有理数加法法则的过程,体会分类和归纳的思想方法。 2.理解有理数加法法则。 3.能熟练进行有理数的加法运算。 重点:了解有理数加法的意义,会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算。 难点:有理数加法中的异号两数如何进行加法运算。 按照学生的认知规律,遵循以“学生为主体,教师为主导,数学活动为主线”的指导思想,以启发式、探究式的教学方法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅的教学方法。 (一)情境导入 某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分。每个参赛队的基本分均为0分。如果我们用1个表示+1,用1个表示-1,那么就表示0,同样也表示0。如何来计算各队的分数。 计算:(-2)+(-3);3+(-2);4+(-4)。 (二)新知初探 探究一　有理数加法法则 活动1　两个有理数相加,还有哪些不同的情形?举例说明。 例如:两个正数相加:如3+2, 一个数和零相加:如0+(-4),4+0. 活动2　两个有理数相加,和的符号怎样确定?和的绝对值怎样确定?一个有理数同0相加,和是多少? 同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加。 异号两数相加:绝对值不相等的两个异号两数相加时,取绝对值大的数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值。绝对值相等的异号两数相加时,和为0(即互为相反数的和为0)。 一个数和0相加:一个数同0相加,仍得这个数。 小结:有理数加法法则 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值。 一个数同0相加,仍得这个数。 任务一　意图说明 　　通过实际情境容易让学生接受新学的知识。利用动画展示让学生直观理解有理数的加法,通过分类讨论、归纳等过程,让学生感知有理数加法法则,明晰概念。 探究二　例题讲解 例题　计算下列各题: (1)180+(-10);(2)(-10)+(-1);(3)5+(-5);(4)0+(-2)。 解:(1)180+(-10)=+ ( 180 - 10)=170。 　　　　 ↓　　　　↓　　　 ↓ 　　　　异号 两数 相加　　 取绝对 值较大 的符号　用较大的绝 对值减较小 的绝对值 (2)(-10)+(-1)=- ( 10 + 1 )=-11。 　　　　 ↓　　　 ↓　　 ↓ 　　　同号两 数相加　　取相同 的符号　 把绝对 值相加 (3)5+(-5)=0。互为相反数的两数相加等于0 (4)0+(-2)=-2。0与任何数相加,仍得这个数 追问1　根据有理数加法法则,如果两个数互为相反数,那么它们的和等于0。反过来,如果两个数的和等于0,那么这两个数互为相反数吗? 追问2　根据有理数加法法则进行正数或0的运算,得到的结果与小学的加法一致吗? 追问3　一个数加一个正数,所得的和与这个数有怎样的大小关系?一个数加一个负数呢?与同伴进行交流。 任务二　意图说明 　　通过例题,给学生示范进行有理数加法运算可以按照“一判,二定,三求,四结”的步骤进行求解,同时让学生理解有理数的加法运算法则,学会用有理数加法运算解决实际问题,提高学生的应用意识。 (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 确定类型 定符号 绝对值 同号 相同符号 相加 异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的数的符号 相减 互为相反数 结果是0 与0相加 仍得这个数 有理数加法法则 1.有理数加法法则 2.例题解析 3.巩固练习 第2课时　有理数加法的运算律 理解有理数加法运算律,能运用加法运算律简化运算。 1.掌握有理数加法的运算律,能正确运用加法运算律简化运算。 2.能运用有理数加法及其运算律解决生活中的实际问题。 3.培养观察、比较、归纳及运算能力,进一步培养协作学习的能力。 重点:有理数加法法则的理解和运用。 难点:运用加法运算律简化运算及加法在实际中的应用。 采用问题情境式教学法。在课堂上,教师(或学生)提出适当的数学问题。通过师生之间或生生之间互相讨论、学习、探究,在问题解决过程中掌握知识、启发思维,使学生因问题自然形成合作交流式学习的氛围。 (一)情境导入 在小学中我们学过哪些加法的运算律? 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 想一想加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围? (二)新知初探 探究一　有理数加法运算律 活动1　计算并比较每组的两个算式的结果: (1)(-8)+(-9)=-17, (-9)+(-8)=-17; (2)4+(-7)=-3, (-7)+4=-3; (3)[2+(-3)]+(-8)=-9, 2+[(-3)+(-8)]=-9; (4)[10+(-10)]+(-5)=-5; 10+[(-10)+(-5)]=-5。 通过上面练习,引导学生得出: 1.交换律——两个有理数相加,交换加数的位置,和不变。 用代数式表示:a+b=b+a。 运算律式子中的字母a,b表示任意的一个有理数,可以是正数,也可以是负数或者零。在同一个式子中,同一个字母表示同一个数。 2.结合律——三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 用代数式表示:(a+b)+c=a+(b+c)。 这里a,b,c表示任意三个有理数。 任务一　意图说明 学生已经知道了小学学过的加法运算和有理数加法运算的联系与区别:进行有理数的加法运算时,先要根据具体情况正确地选用法则,确定“和”的符号,这与小学学过的数的加法是不同的,而计算“和”的绝对值,用的是小学学过的加法或减法运算。建议:让学生板演题目的计算过程,回顾旧知识(加法的交换律),为学习新的知识做准备。 探究二　例题解析 活动2　计算:31+(-28)+28+69。 解:31+(-28)+28+69 =31+69+[(-28)+28] =100+0 =100。 小组讨论:你是抓住数的什么特点使计算简化的?依据是什么? 小结:常用的四个规律 (1)互为相反数的加数放在一起相加(相反数结合法); (2)能凑整的加数放在一起相加(凑整法); (3)同号的加数放在一起相加(同号结合法); (4)同分母或易于通分的分数放在一起相加(同分母结合法)。 巩固练习 1.计算: (1)20+(-17)+15+(-10); (2)-1.8+(-6.5)+(-4)+6.5; (3)(-12)+34+(-38)+66; (4)+-+-+。 2.有一批食品罐头,标准质量为每听454 g,现抽取10听样品进行检测,结果如下表(单位:g): 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 这10听罐头的总质量是多少? 任务二　意图说明 通过例题及变式的学习,使学生感受到在解决问题时解题方法的多样性和灵活性,要根据不同题目的特点,采用不同的解题方法,使计算更简便。 (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 有理数加法的运算律 有理数加法的运算律 1.有理数加法的运算律　　　　　　　　　　3.巩固练习 2.例题解析 4.小结 第3课时　有理数减法法则 掌握有理数减法运算,能用有理数减法运算解决简单问题。 1.经历探索有理数减法法则的过程,理解有理数的减法法则。 2.能熟练进行有理数的减法的运算,并灵活应用有理数减法解决实际问题,培养运算能力,增强应用数学的意识。 3.通过把减法运算转化为加法运算,向学生渗透转化思想。 重点:有理数减法法则的理解和应用。 难点:有理数的减法转化为加法时符号的改变。 探究发现法和多媒体辅助教学法。教学中可以精心设计带有启发性和思考性的问题,创设问题情境,诱发学生思考,教师要适时运用多媒体动画演示,激发学生探索知识的欲望,并自我探索找出规律,让学生始终处于主动探索问题的积极状态,从而培养学生的思维能力。 (一)情境导入 看一看:观察课本图28:教师以全国主要城市的天气预报引入。 城市 天气 高温 低温 温差 北京 晴转多云 5 -7 哈尔滨 晴 -14 -19 长春 晴 -11 -19 沈阳 晴 -4 -15 乌鲁木齐 晴 -8 -14 问题:北京的最高气温为5 ℃,最低气温为-7 ℃,这一天北京的温差为多少?你是怎么算的? 教师引导学生思考:5-(-7)=? (二)新知初探 探究一　有理数减法法则 活动　计算下列各式: 15-6=　9　, 15+(-6)=　9　;  19-3=　16　, 19+(-3)=　16　;  12-0=　12　, 12+0=　12　;  8-(-3)=　11　, 8+3=　11　;  10-(-3)=　13　, 10+3=　13　。  比较每横行的两个算式,你能得出什么结论? 学生分小组讨论后分享结果,教师点评,并进一步讲解: 有理数减法法则:减一个数,等于加这个数的相反数。如果用字母a,b表示有理数,那么有理数减法法则可表示为a-b=a+(-b)。 小结:运用时注意“两变” 一是减法变为加法;二是减数变为其相反数。 任务一　意图说明 　　通过情境探究有理数减法运算,鼓励学生主动思考问题,进而讨论如何将一般的有理数运算转化为加法运算,培养学生的转化思想及语言表达能力。 探究二　例题解析 例1　计算下列各题: (1)9-(-5);(2)(-3)-1;(3)0-8;(4)(-5)-0。 解:(1)9-(-5)=9+5=14。 (2)(-3)-1=(-3)+(-1)=-4。 (3)0-8=0+(-8)=-8。 (4)(-5)-0=-5。 追问　观察例1中的算式和结果,想一想,一个数减一个正数,结果会怎样变化?如果减一个负数呢? 例2　世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔大约是8 848.86 m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。两处海拔相差多少米? 解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m)。 答:两处海拔相差9 003.17 m。 任务二　意图说明 　　通过例题教学使学生巩固方法,初步具备解决问题的能力。 (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 有理数减法法则 有理数减法法则 1.有理数减法法则 减一个数,等于加这个数的相反数 用字母表示为a-b=a+(-b) 2.例题解析 3.小结 第4课时　有理数的加减混合运算 掌握有理数加减混合运算。 1.熟练掌握有理数的加法和减法运算。 2.能进行有理数的加减混合运算,培养运算能力。 3.会用数学的角度理解从具体情境中抽象出有理数加减混合运算问题。 重点:熟练地进行有理数的加减混合运算。 难点:加减混合运算统一成加法运算。 本节课的知识点是在学生已有解题经验的基础上进一步研究的,对于本节的知识重点建议给学生探究,然后由教师补充和纠正,最后再由学生归纳得出。 (一)情境导入 一口深3.5 m的深井,一只青蛙从井底沿井壁往上爬,第一次爬了0.7 m又下滑了0.1 m,第二次往上爬了0.42 m又下滑了0.15 m,第三次往上爬了1.25 m又下滑了0.2 m,第四次往上爬了0.75 m又下滑了0.1 m,第五次往上爬了0.65 m。 问题:小青蛙爬出井了吗? (二)新知初探 探究一　有理数的加减混合运算 活动1　 (1)引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算。 如:a+b-c=a+b+　(-c)　  (-20)+(+3)-(-5)-(+7) (2)将上面的算式转化为加法:　(-20)+(+3)+(+5)+(-7)　。  (3)这个算式我们可以看作是　-20　、　3　、　5　、　-7　这四个数的和。  (4)为书写简单,省略算式中的括号和加号写为　-20+3+5-7　。  (5)我们可以读作　负20、正3、正5、负7　的和,或读作　负20　加　3　加　5　减　7　。  活动2　计算: (1)-+-; (2)(-5)-(-)+7-。 小结:有理数加减混合运算的步骤 (1)将减法转化为加法运算; (2)省略加号和括号; (3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加; (4)按有理数加法法则计算。 活动3　试一试:把下列各式写成省略加号的形式,并说出它们的两种读法。 -6-(-3)+(-2)-(+6)-(-7); 解:-6-(-3)+(-2)-(+6)-(-7)=-6+(+3)+(-2)+(-6)+(+7)=-6+3-2-6+7。 读法一:负6,正3,负2,负6,正7的和; 读法二:负6加3减2减6加7。 任务一　意图说明 通过学习的运算方法进行练习,进一步巩固有理数混合运算的运算法则,让学生能熟练掌握有理数加减混合运算的计算方法。学生通过思考并总结有理数加减混合运算的运算方法,培养学生总结概括知识的能力以及语言组织能力。 探究二　有理数加减混合运算的应用 活动4　一架飞机进行特技表演,起飞后的高度变化如下表: 高度变化 记作 上升4.5 km +4.5 km 下降3.2 km -3.2 km 上升1.1 km +1.1 km 下降1.4 km -1.4 km 此时飞机比起飞点高了多少千米? 追问1　对于题中的“高度变化”,你是怎么理解的?你能通过列式计算此时飞机的高度吗? 国国和粒粒有着不同的解法。 国国的解法: 4.5-3.2+1.1-1.4 =1.3+1.1-1.4 =2.4-1.4 =1(km)。　　　　粒粒的解法: 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4) =1.3+1.1+(-1.4) =2.4-1.4 =1(km)。 追问2　比较以上两种算法,你发现了什么? 小结:4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)=4.5-3.2+1.1-1.4。 当左边省略加号和括号时,变成了右边的式子,因此4.5-3.2+1.1-1.4可以看作4.5,-3.2,1.1,-1.4这4个数的和。 任务二　意图说明 本环节主要引导学生思考,通过对两种算法的比较,让学生体会到加减混合运算可统一成加法,理解利用运算律可以简化运算,为进一步学习有理数的加减混合运算做铺垫。 (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算 1.引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算 如:a+b-c=a+b+(-c) 2.有理数加减混合运算的步骤 3.有理数加减混合运算的应用 第5课时　有理数加减混合运算的实际应用 能运用有理数加减混合运算解决简单问题。 1.进一步加深对有理数意义的理解,学会用有理数表示实际生活中的量。 2.能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题,提高分析和解决实际问题的能力。 3.学会在解题过程中用折线统计图反映事物的变化情况。 重点:能综合运用有理数的加减混合运算解决简单实际问题。 难点:能综合运用有理数的加减混合运算解决简单实际问题。 学生在前面已经学习了有理数加减混合运算,具备了观察、抽象、计算等技能,感受了有理数的意义和作用,体会到数学与现实生活的联系,能够利用有理数的加、减法解决简单实际问题。本课在此基础上结合折线统计图,让学生学会用数学工具直观表示事物的变化情况,进一步理解有理数的加减运算,提高解题能力。 (一)情境导入 请按下列规则做游戏: (1)每人每次抽取4张卡片。如果抽到黑色卡片,那么加卡片上的数字;如果抽到红色卡片,那么减卡片上的数字。 (2)比较两人所抽4张卡片的计算结果,结果大的为胜者。 (二)新知初探 探究一　有理数的混合运算的实际应用 活动1　流花河的水位情况(单位:m),取河流的警戒水位作为0点,如图所示: 问题1　图中的其他数据可以分别记作什么? 问题2　下表是小明记录的某年雨季流花河一周内的水位变化情况(上周日的水位达到警戒水位)。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01 注:正数表示水位比前一天上升,负数表示水位比前一天下降。 本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之下?到警戒水位的距离分别是多少米?先估一估,再算一算。 问题3　与上周日相比,本周日河流水位是上升了还是下降了?你能用几种方法解决? 方法一:解:33.4+0.20+0.81-0.35+0.03+0.28-0.36-0.01=34.00(m), 因为34.00 m>33.4 m,所以上升了。 方法二:解:0.20+0.81-0.35+0.03+0.28-0.36-0.01=0.60(m), 因为0.60>0,所以上升了。 问题4　完成本周水位记录表: 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m 33.60 问题5　画折线统计图的步骤是怎样的?以警戒水位为0点,用折线统计图表示本周的水位变化情况。 问题6　通过观察折线统计图,请回答:与上周日相比,本周日河流水位是上升了还是下降了? 问题7　你还能提出什么数学问题? 小结:1.利用有理数的加减混合运算解决实际问题时,找准基准量是解题的关键; 2.“水位变化”问题中,水位的总体变化可以通过以下方法求得 (1)计算每天的实际水位;(2)计算水位变化数据的总和;(3)通过画折线统计图得出水位的变化趋势。 任务一　意图说明 有理数的加减运算是学生已学知识,本环节以水位问题引入,激发学生好奇心,调动学生的学习兴趣,通过鼓励学生主动思考,师生交流讨论,提高学生的灵活运用能力,感受数学工具描述事物变化情况的直观性,进一步理解有理数的加减混合运算。 探究二　例题解析 活动2　某中学七(1)班学生的平均身高是160 cm。 (1)下表给出了该班6名学生的身高情况(单位:cm)。试完成下表: 姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山 身高 159 154 165 身高与平均身高的差值 -1 +2 0 +3 (2)这6名学生中谁最高?谁最矮? (3)这6名学生中,最高与最矮的学生身高相差多少? 解:(1)完成表如下。 姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山 身高 159 162 160 154 163 165 身高与平均身高的差值 -1 +2 0 -6 +3 +5 (2)由表可得,小山最高,小亮最矮。 (3)165-154=11(cm),所以最高与最矮的学生身高相差11 cm。 任务二　意图说明 通过例题教学使学生掌握有理数加减运算在实际问题中的应用,学会利用图表直观地表示出事物的变化趋势,培养分析问题的能力。 (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.利用有理数的加减混合运算解决“水位变化”“经营盈亏”等实际问题时,找准基准量是解题的关键。 2.实际问题中,总体变化可以通过以下方法求得 (1)计算每次的实际数值;(2)计算数值变化的总和;(3)通过画折线统计图得出数值的变化趋势。 有理数加减混合运算的实际应用 1.现实情境问题　　　　　2.例题解析 学科网（北京）股份有限公司 $$