3.1平面向量的概念讲义-2026届高三体育单招数学一轮复习

3.1平面向量的概念（讲义） 目录 1 知识点01平面向量的定义 2 2 知识点02向量的几何表示： 2 3 知识点03特殊向量 2 4 题型一、平面向量的概念 2 5 题型二、向量的模长、相等向量、共线向量 5 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01平面向量的定义 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量. ②模长：向量的大小叫做向量的长度（或模）. 知识点02向量的几何表示： ①起点、终点表示法：如果给定起点和终点，可将向量记作，并于顶部加箭头，即，如图：A B ②小写字母表示法：在给定的有向线段的上方标注小写字母，并在顶部加箭头，如图： ③向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点03特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ⑥特别规定：与任一向量平行． 题型一、平面向量的概念 1．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 4．下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是 A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 6．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 8．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 9．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 10．下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 11．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 12．（多选题）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 题型二、向量的模长、相等向量、共线向量 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 2．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 3．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．1 4．下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 5．下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 7．若向量是两个单位向量，则（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．若  则 B．若, 则 C．若,  则 D．若 则 9．下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 11．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 12．以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 13．以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 $$3.1平面向量的概念（讲义） 目录 1 知识点01平面向量的定义 2 2 知识点02向量的几何表示： 2 3 知识点03特殊向量 2 4 题型一、平面向量的概念 2 5 题型二、向量的模长、相等向量、共线向量 9 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01平面向量的定义 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量. ②模长：向量的大小叫做向量的长度（或模）. 知识点02向量的几何表示： ①起点、终点表示法：如果给定起点和终点，可将向量记作，并于顶部加箭头，即，如图：A B ②小写字母表示法：在给定的有向线段的上方标注小写字母，并在顶部加箭头，如图： ③向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点03特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ⑥特别规定：与任一向量平行． 题型一、平面向量的概念 1．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 2．给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】 解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 3．下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确. 故选：C. 4．下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④. 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 5．下列说法正确的是 A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【详解】分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．详解： A，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，故A错误； 对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误； 对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误； 对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 故选D. 点睛：本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义． 6．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 8．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 9．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 10．下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 11．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 12．（多选题）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】CD 【分析】由向量的有关概念判断可得. 【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确． 故选：CD 题型二、向量的模长、相等向量、共线向量 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 2．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 3．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的概念，相等向量的概念，以及共线向量的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，向量与平行，若向量时，因为零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，所以①不正确； 对于②中，两个有共同起点而且相等的向量，根据相等向量的概念，可得终点必相同，所以②正确； 对于③中，根据零向量的定义，零向量是没有方向是任意的，所以③不正确； 对于④中，根据向量的概念，可得的向量不是有向线段，仅是向量可以用有向线段表示，所以④不正确. 故选：B. 4．下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【分析】运用向量有关概念逐项判断即可. 【详解】零向量长度为0，有方向，①错误； ②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误； 相等向量的方向相同，模相等，③正确； ④与向量长度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，④错误． 故选：C. 5．下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A 【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D． 【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 7．若向量是两个单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由单位向量的定义、数量积的定义以及模的性质即可逐一判断并求解. 【详解】由单位向量的定义可知，，即，且，故A正确，B错误； 因为方向和夹角不确定，故CD错误. 故选：A. 8．下列说法正确的是（    ） A．若  则 B．若, 则 C．若,  则 D．若 则 【答案】C 【分析】对于A，由相等向量定义可排除；对于B，借助于零向量可排除；对于C，由相等向量的定义可得；对于D，由向量数量积定义可举反例排除. 【详解】对于A，由不能确定的方向，故得不到，即A错误； 对于B，当时，满足,，但得不到的位置关系，故B错误； 对于C，因平面向量是自由向量，故由,可得，即C正确； 对于D，当时，，但得不到，故D错误. 故选：C. 9．下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 10．下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 11．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 12．以下说法中正确的个数是（   ） ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量共线及模长，零向量的定义判断各个小题即可. 【详解】共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，①错误； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，②正确； 单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况，③错误； 零向量也有方向，只是方向任意，④错误． 故选：B. 13．以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，A错； 对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B正确； 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D错， 故选：B． $$