精品解析：山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题

高三年级数学模拟试题评分细则 一、单选题 1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故选：B. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】∵向量，，，∴， ∵，∴，即得，解得， 故选：C． 4. 已知函数为奇函数且，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出，再求出函数值. 【详解】函数为奇函数且，则，解得， 于是，所以. 故选：A 5. 已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解. 【详解】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则， 抛物线准线为，则，， ， （当且仅当，，共线时取等号）如图所示， 即的最大值为12. 故选：A. 6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案. 【详解】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C 7. 若数列满足，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，求出数列的周期即可求解. 【详解】由得， 所以，于是数列的周期为4， 所以. 故选：D. 8. 若函数，满足．若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，则或， 若，由零点存在性定理； 若，而，则，由零点存在性定理， 综上所述，则C一定正确. 故选：C. 二、多选题 9. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解. 【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确， 对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误， 对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确， 对于选项D，根据图表知，APP使用目中6个占比数字从小排到大分别为， 又，所以分位数是，故选项D错误. 故选：AC. 10. 在正方体中，点为棱中点，则（ ） A. 过有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过有且只有一条直线与直线和都垂直 C 过有且只有一个平面与直线和都平行 D. 过有且只有一个平面与直线和所成角相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，由题意满足条件的直线是平面与平面的交线，选项B，由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；从而可判断；选项C，由线面平行的判定定理可判断；选项D，利用空间向量法可判断. 【详解】如下图所示： 对于A选项，过点与直线相交的直线必在平面内， 过点与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确； 对于B选项，因为，若，则，若，则平面， 显然满足条件的直线唯一，即，B正确； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，又因为，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 所以过有且只有一个平面与直线和都平行，C正确； 对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，， 设满足题设条件的平面的法向量为，其中， 由题意可得，可得，即， 所以，以或为法向量且过点的平面均满足题意， 故过有无数个平面与直线和所成角相等，D错. 故选：ABC 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.  同理，中含个元素的子集也不满足.  综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.   若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.   若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.  又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.   故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 三、填空题 12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解. 【详解】， 中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为， 所以，得 故答案为： 13. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 【详解】设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故答案为：. 14. 如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________. 【答案】 【解析】 【详解】 【分析】过点作 ， 设在直角坐标下的坐标为 ， 因为， 所以 ， 即， 因为在单位圆上， 所以，即， 整理得. 考点：圆的一般方程. 【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出在直角坐标下的坐标为，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键. 15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ． 16. 某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 【答案】（1）至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，. （2）估计小华有资格参加复赛. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变量的分布列，进而求得概率和数学期望； （2）根据频率分布直方图估计正态分布的均值，进而利用原则估计全校参加初赛的学生中成绩不低于85分的人数，即可估计小华是否有资格参加复赛. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 样本中位于区间内的人数：， 样本中位于区间内的人数：， 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2 ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率， 数学期望. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知： ， 由，得，又， 所以， 所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人， 因为，所以估计小华有资格参加复赛. 17. 如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点. （1）求证：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 延长三条侧棱交于一点，如图所示， 因为正三棱台的侧棱长为，且 所以，而，所以， ，即，同理， ，又平面， 所以平面，即平面. 【小问2详解】 由（1）知，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设， 则，则. 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，即，解得或（舍）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程； （2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直； （ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出直线与轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆的方程联立，再用坐标去表示出，最后可由基本不等式得出结果. 【小问1详解】 设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为7，1， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，故， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，所以， 故的方程为： 【小问2详解】 （i）证明：设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为：，可得直线的斜率为： 而直线的斜率为：， 因为，所以; （ii）由直线的方程为：，可改设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 再由，可设直线的方程为：， 再联立，整理得， 设，，则由韦达定理得， 因为，所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 又因为，所以. 【点睛】方法点睛： （1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程； （2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程. 19. 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知． （1）求出f（x）的“优秀区间”； （2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：（参考数据：）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出的“优秀函数”，再利用作差法比较和的大小关系，构造函数，对的分子分母分别判断正负，进而求得f（x）的“优秀区间”； （2）（ⅰ）对分离常数，求出，构造函数，由的单调性求得的最值，进而得到m的取值范围； （ⅱ）先分析出要证，即证，再构造函数，根据的单调性，求得，再构造函数，根据的单调性，求得，可推得，又由的单调性，求得，从而得到，进而得证. 【小问1详解】 当时， 的“优秀函数”为， ， 令，则， 令，解得；令，解得， 所以当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增， 故． 当时，，则，，f（x）不具有“优秀性质”； 当时，，则，，f（x）具有“优秀性质”． 故f（x）的“优秀区间”为． 【小问2详解】 （ⅰ）即，所以， 所以，故， 令，则， 令，解得；令，解得， 故当时，k（x）单调递减；时，k（x）单调递增． ， 当时，；时，， ，故． 即m的取值范围为． （ⅱ）由、为方程的两个解可知：， 要证，即证， 令，， 令，， 则N（x）在单调递增，故， 所以时，，故M（x）在上单调递增， 则． 令， ， 令，则， 故G（x）在上单调递增，．即， 故Q（x）在上单调递增．故， 即，成立， 因为，则， 又，，k（x）在（0，1）单调递减，则，即， 故,所以， 所以. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三年级数学模拟试题评分细则 一、单选题 1. 设全集，则图中阴影部分表示集合是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为奇函数且，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 7. 若数列满足，则一定等于（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，满足．若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目中6个占比数字的分位数是 10. 在正方体中，点为棱中点，则（ ） A. 过有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过有且只有一条直线与直线和都垂直 C. 过有且只有一个平面与直线和都平行 D. 过有且只有一个平面与直线和所成角相等 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三、填空题 12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 13. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米． 14. 如图，将平面直角坐标系中纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________. 15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 17. 如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点. （1）求证：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 18. 已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 19. 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知． （1）求出f（x）的“优秀区间”； （2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$