2.1.2两角和与差的正弦公式 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1.2　两角和与差的正弦公式 基础过关练 题组一　利用两角和与差的正弦公式化简求值 1.(2020福建厦门期末)化简sin 15°cos 5°-cos 15°sin 5°的结果为 (　　) A.sin 10°　　　　B.cos 10°　　 C.sin 20°　　　　D.cos 20° 2.已知θ为锐角,且sin(θ+30°)=,则sin θ= (　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 3.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C= (　　) A.　　　　B.-　　 C.　　　 　D.- 4.函数f(x)=sin+sin,则f(x) (　　) A.是奇函数　　　　 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数　　　　 D.是非奇非偶函数 5.已知cos θ=,则sin的值为　　　,sin的值为　　　　.  6.=　　　　.  7.已知sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值. 题组二　利用两角和与差的正弦公式求角 8.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为 (　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 9.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C),则△ABC的形状一定是 (　　) A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 10.若sin x+cos x=,则锐角x=　　　　.  11.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,求β的值. 能力提升练 题组一　利用两角和与差的正弦公式化简求值 1. (2022河南信阳期末)已知α,β∈(0,2π),且满足sin α-cosα=, cos β-sin β=,则sin(α+β)= (　　) A.1　　　　 B.-或1 C.-或1　　　　D.1或-1 2.(2022安徽合肥第一中学期末)在△ABC中,D为边AC上一点,满足=2,若2c·cos∠ABC+bcos∠A=acos(∠A+∠C),c=2,a=4,则||= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.计算:sincos-cos·sin=　　　　.  题组二　利用两角和与差的正弦公式求角 4.(2020浙江丽水期末)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是 (　　) A.　　　　 B. C.或　　　　D.或 6.(2022广东深圳高级中学期中)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知+=,则A的取值范围是　　　　.  7.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且bcos A=sin A(acos C+ccos A). (1)求角A的大小; (2)若a=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 8.(2022山东泰安第一中学期末)设函数f(x)=msin(ωx+φ),其中m>0,ω>0,|φ|<,其图象的两条对称轴间的最短距离是,若f(x)≥f对任意x∈R成立,且f=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)在锐角△ABC中,A,B,C是△ABC的三个内角,满足f=sin(A-B)-cos(A-B),求B的取值范围. 答案全解全析 基础过关练 1.A　 sin 15°cos 5°-cos 15°sin 5°=sin(15°-5°)=sin 10°.故选A. 2.A　∵sin(θ+30°)=,且θ为锐角, ∴cos(θ+30°)=, ∴sin θ=sin[(θ+30°)-30°]=sin(θ+30°)cos 30°-cos(θ+30°)sin 30°=×-×=. 3.A　因为cos B=且B为三角形的内角,所以sin B=.又A=,所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin cos B+cos sin B=×+×=. 4.A　∵f(x)=sin+sin=sin x+cos x+sin x-cosx= sin x,且f(x)的定义域为R, ∴f(x)为奇函数. 5.答案　; 解析　因为cos θ=, 所以sin θ==, 所以sin=sin θcos+cos θsin =×+×=, sin=sin θcos-cos θsin =×-×=. 6.答案　 解析　原式= = ==sin 30°=. 7.解析　∵0<α<<β<, ∴<+α<π,-<-β<0. 又∵sin=,cos=, ∴cos=-,sin=-, ∴cos(α+β)=sin =sin- =sincos-cossin =×-×=-. 8.B　∵α,β均为锐角,且sin α=,cos β=, ∴cos α=,sin β=, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. ∵α,β均为锐角,∴-<α-β<, ∴α-β=-. 9.D　∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C), ∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B, ∴sin Acos B+cos Asin B=1,∴sin(A+B)=1, ∴sin C=1,又0<C<π,∴C=, ∴△ABC为直角三角形,故选D. 10.答案　 解析　sin x+cos x=2 =2sin=, 所以sin=, 因为x∈,所以x+∈, 所以x+=,所以x=. 11.解析　∵α为锐角,sin α=,∴cos α=. ∵α,β均为锐角,∴-<α-β<, 又∵sin(α-β)=-,∴cos(α-β)=, ∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×=, ∴β=. 能力提升练 1.C　∵sin α-cos α=, ∴sin α-cos α=, ∴sin=. ∵cos β-sin β=, ∴cos β-sin β=, ∴cos=. ∵α,β∈(0,2π),∴-<α-<,<β+<, ∴cos=±,sin=±, ∴sin(α+β)=sin=sin·cos+cossin, 当cossin=时,sin(α+β)=+=1; 当cossin=-时,sin(α+β)=-=-.故选C. 2.C　由2ccos∠ABC+bcos∠A=acos(∠A+∠C)及正弦定理,得2sin∠Ccos∠ABC+sin∠ABCcos∠A=-sin∠Acos∠ABC, 所以2sin∠Ccos∠ABC=-sin(∠A+∠ABC)=-sin∠C,而sin∠C≠0,所以cos∠ABC=-, 由=2,得-=2(-), 所以=+, 所以==++||·||cos∠ABC=+-=, 所以||=.故选C. 3.答案　 解析　原式=sincos-sin·cos=sin=sin-=sincos-cossin=×-×=. 4.B　因为β∈,sin β=-, 所以cos β=. 因为α∈,β∈, 所以α-β∈(0,π), 因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=, 所以sin α=sin(α-β+β)=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sinβ=×+×=, 又因为α∈,所以α=,故选B. 5.A　∵α∈,∴2α∈. 又0<sin 2α=<, ∴2α∈, ∴cos 2α=-=-,α∈, 又β∈, ∴β-α∈, 又sin(β-α)=, ∴cos(β-α)=-=-, ∴sin(α+β)=sin[2α+(β-α)]=sin 2αcos(β-α)+cos 2αsin(β-α)=×-×=-. 又∵α∈,β∈, ∴α+β∈,∴α+β=. 6.答案　 解析　由正弦定理知+===, ∵sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), ∴sin2A=sin Csin B,∴a2=bc, 由余弦定理知cos A=≥=, 当且仅当b=c时等号成立, 又A∈(0,π),∴A∈. 7.解析　(1)由bcos A=sin A(acos C+ccos A)及正弦定理,得sin Bcos A=sin A(sin AcosC+sin Ccos A)=sin Asin(A+C)=sin Asin B, ∵sin B≠0,∴cos A=sin A,∴tan A=, ∵A∈(0,π),∴A=. (2)∵A=,△ABC的面积为, ∴bcsin A=bc=,∴bc=5, 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(b+c)2-15=12, ∴b+c=3, ∴△ABC的周长为a+b+c=2+3=5. 8.解析　(1)因为函数f(x)图象的两条对称轴间的最短距离是, 所以函数f(x)的最小正周期为π,所以ω=2. 因为f(x)≥f对任意x∈R成立,且f=-2,m>0, 所以m=2,-+φ=-+2kπ(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=-, 所以f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)由f=sin(A-B)-cos(A-B), 得2sin=sin(A-B)-cos(A-B) =2 =2 =2sin, 所以B-=A-B-或B-+A-B-=π(舍去),所以A=2B. 又因为△ABC为锐角三角形, 所以所以<B<. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$