【解题卡】平行线中的分类讨论-人教版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

1 平行线中的分类讨论 题型特征 无图或图形不全时，要探究角度之间的数量关系. 核心考点 平行线的性质 平行公理的推论（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 分类讨论思想（由条件不明确引起的） 示例 解题方法 ①分类讨论：如图，根据点在线段 CD 间、DC（或 CD）的延长线上这 三种情况进行讨论； ②作图：作出对应的图形，辅助线是过拐点作平行线； ③分析：借助平行线与平行公理，利用角的和差关系得出角度间的数量 关系. 易错警示 题目中无图或图形不全时，各种情况都要考虑到，否则结论就是片面的. 如图，已知直线 l1//l2，直线 l3 交 l1 于点 C，交 l2 于点 D，点 P 是直线 CD 上一动点（点 P 与点 C，D 不重合）．∠PAC 记作∠1，∠PBD 记作∠2，∠APB 记作∠3．当点 P 在 直线 CD 上运动时，请你探究∠1、∠2、∠3 之间的关系. 方法提炼 2 【答案】①当点 P 在线段 CD 间时，∠3=∠1+∠2；当点 P 在 DC 的延长线上时，∠2=∠1+∠3； 当点 P 在 CD 的延长线上时，∠1=∠2+∠3. 【思路点拨】由于动点 P 位置不确定，需分三种情况讨论，作出对应的图形；再根据平 行线的性质和平行公理，利用角的和差关系来推导∠1、∠2、∠3 之间的关系. 步骤一：根据点 P 在线段 CD 间、DC（或 CD）的延长线上，作出三种图形. 过点 P 作 PE∥l1， ∵PE∥l1，l1∥l2， ∴PE∥l1∥l2.（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 步骤二：根据平行线的性质，利用角的和差关系，逐个推导∠1、∠2、∠3 之间的关系. 图①，当点 P 在线段 CD 之间时. ∵PE∥l1∥l2, ∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE. 由角的和差关系可知，∠APB=∠APE+∠BPE， 3 ∴∠3=∠1+∠2; 图②，当点 P 在 DC 的延长线上时. 同理，由平行线的性质可知，∠1=∠APE，∠2=∠BPE. 由角的和差关系可知, ∴∠BPE=∠3+∠APE，∴∠2=∠1＋∠3； 图③，当点 P 在 CD 的延长线上时. 同理可知，∠1=∠3＋∠2.