精品解析：天津市静海区第四中学2024-2025学年高一下学期第一次诊断练习数学试卷

天津市静海区第四中学2024-2025第二学期高一年级 数学学科第一次诊断练习 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一､选择题：共15题；每题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则边长等于（ ） A B. C. 2 D. 2. 在中，下列四式中成立的个数为（ ） ①，②，③，④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知为不共线的非零向量，若，则与（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相等 D. 方向相同 7. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　 　) A －16 B. －8 C. 8 D. 16 10. 在△ABC中，角的对边分别为a，b，c,若，则 A. B. C. 3 D. 11. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为 A. 79 B. 69 C. 5 D. 12. 已知的三个顶点、、及平面内一点，若，则点与的位置关系是 A. 在边上 B. 在边上或其延长线上 C. 在外部 D. 在内部 13. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A. B. C. D. 14. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二､填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分，把答案填在答题卡的相应位置． 16. 如果向量满足，则与的夹角是__________． 17. 在中，已知，，，则值为______． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的外接圆的半径为____________. 19. 设内角所对的边分别为，若，则角=__________. 20. 已知向量，，且，则向量，的夹角是__________． 21. 已知的内角为，内角所对的边分别为，若，且内角C的对边的长是2，则当内角取得最大值时，的面积为__________． 三､解答题（本大题共4题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 已知的夹角为，当实数为何值时， （1）与垂直 （2）与共线，问共线时与的方向是相同还是相反？为什么？ 23. 已知中的对边分别为． （1）求； （2）求的面积． 24. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求值. 25. 已知函数 （1）求单调递增区间： （2）在中的对边分别为，求的值和的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市静海区第四中学2024-2025第二学期高一年级 数学学科第一次诊断练习 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一､选择题：共15题；每题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则边长等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据正弦定理求解即可. 【详解】解：中，∵，，， ∴由正弦定理得：. 故选：B 2. 在中，下列四式中成立的个数为（ ） ①，②，③，④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 3. 在中，角A､B､C所对边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，， 故选：B 4. 在中，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则即可得到结论. 详解】 由平行四边形法则知：，且M为线段AD的中点，故， 所以， 故选：C 5. 在中，内角的对边分别为，若，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简,再利用余弦定理求解即可. 【详解】. 故.又,故. 故选：B 【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形的问题,属于基础题. 6. 已知为不共线的非零向量，若，则与（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相等 D. 方向相同 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量与向量的数量积为0即可判断. 【详解】因为为不共线的非零向量，且， 所以，故向量与向量垂直. 故选：B 7. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论. 【详解】，由正弦定理，得， 即 ∴，可得， 又，∴， 则的形状为等腰三角形. 故选：A. 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　 　) A. －16 B. －8 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】因∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16. 10. 在△ABC中，角的对边分别为a，b，c,若，则 A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由3bcosC＝c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC＝sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出． 【详解】由正弦定理，设， ∵3bcosC＝c（1﹣3cosB）． ∴3sinBcosC＝sinC（1﹣3cosB）， 化简可得 sinC＝3sin（B+C） 又A+B+C＝π， ∴sinC＝3sinA， ∴因此sinC：sinA＝3：1． 故选C． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 11. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为 A. 79 B. 69 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选D 12. 已知的三个顶点、、及平面内一点，若，则点与的位置关系是 A. 在边上 B. 在边上或其延长线上 C. 在外部 D. 在内部 【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用条件，结合向量的线性运算，可得，由此即可得到结论． 详解：∵ ∴= ∴ ∴ ∴P在AC的三等分点上 故选A． 点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量共线定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 13. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 因为， 那么结合， 所以cosA==， 所以A=，故答案为A 考点：正弦定理与余弦定理 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 14. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 15. 如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦定理可求出，然后在中利用正弦定理求解 【详解】解：设，则， 在中，由余弦定理可得，， 所以 ， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 所以， 在中，由正弦定理得，，则 ， 故选：D 【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题. 第Ⅱ卷 二､填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分，把答案填在答题卡的相应位置． 16. 如果向量满足，则与的夹角是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，设与的夹角为， 则 ， 得，因为，所以， 即与的夹角是 故答案为：. 17. 在中，已知，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得，由平方公式得弦值，再根据数量积的定义求解即可． 【详解】解： ，又，， . 故答案为：． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的外接圆的半径为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质求出，得出，再由正弦定理即可求解. 【详解】由 可得， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，因为， 所以， 所以，即. 故答案为： 19. 设的内角所对的边分别为，若，则角=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案. 【详解】，则，，故. 根据余弦定理：，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 20. 已知向量，，且，则向量，的夹角是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】设、的夹角是，， 则由，平方得， 即，即，即， 则， ， ． 故答案为：． 21. 已知的内角为，内角所对的边分别为，若，且内角C的对边的长是2，则当内角取得最大值时，的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得到，进而得到，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而求解. 【详解】内角C的对边的长是2，即， 由，根据正弦定理得，所以，即， ， 因， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，因为，所以的最大值为， 此时，所以，， 所以. 故答案： 三､解答题（本大题共4题，共57分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 已知的夹角为，当实数为何值时， （1）与垂直 （2）与共线，问共线时与的方向是相同还是相反？为什么？ 【答案】（1） （2）方向相同，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两向量垂直时，它们的数量积等于0，即可求得答案； （2）根据向量共线，设，由此列式求解，即可得结论. 【小问1详解】 若与垂直，则，即， ， 即，解得； 【小问2详解】 由与共线，设，则， 由于不共线，故，则， 即时，与共线，因为， 即，故共线时与的方向相同. 23. 已知中的对边分别为． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可求得答案； （2）由求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故， 结合， 则， 而，故，则， 又，故； 【小问2详解】 因为，故，结合， 可得， 故的面积. 24. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【详解】(Ⅰ) 在△ABC中，由可得，又由 可得，又，故，由，可得. (Ⅱ)由得，，进而得，， 所以=. 本题第（Ⅰ）问，因为,所以由边角互化结合余弦定理即可求出边b；第(Ⅱ)问，由平方关系、二倍角公式、两角差的正弦公式可以求出结果.在解三角形中，遇到边角混和式，常常想边角互化.对三角函数及解三角形的题目，熟练三角部分的公式是解答好本类题的关键，日常复习中加强基本题型的训练. 【考点定位】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力. 25. 已知函数 （1）求单调递增区间： （2）在中的对边分别为，求的值和的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可得解； （2）先由求得角，再利用余弦定理与正弦定理的边角变换得到关于的方程组，进而利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 令，得， 所以的单递增区间为. 【小问2详解】 因为，即， 又，所以， 所以，故， 因为，所以，即①， 又，由正弦定理得②， 由①②可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $