精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高一下学期第一次学情检测数学试题

实验中学高一年级第一次学情检测 数学 命题：陈友华 校对：解祥峰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A B. C. D. 2. 已知，则和同向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A B. C. D. 4. 向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ） A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值 C. 的最大值为 D. 使的点轨迹长度为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则______． 13. ，，则__________． 14. 如图，在△ABC中，，，，M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知向量，. （1）当时，求值； （2）当，，求向量与的夹角. 16. （1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 18. 如图，在中，，，，且，，与交于点. （1）用，表示，； （2）求的值； （3）求值. 19. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB高度； （2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学高一年级第一次学情检测 数学 命题：陈友华 校对：解祥峰 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可化简求解. 【详解】, 故选：B 2. 已知，则和同向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】和同向的单位向量是. 【详解】因为，所以和同向的单位向量是. 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】解： ． 故选：． 4. 向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 5. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】.所以 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式化简等式得到，再由正切的和差角公式求得. 【详解】由已知， 即 则， ∴， 故选：C. 7. 已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解. 【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 又由 ， 因为，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，，则，当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可得，即可判断出选项A的正误，对于B，直接求出的对称中心，即可求解；对于C，根据条件，求得，利用图象与性质，即可求解；对于，利用三角函数图象的平移变换，直接求出结果，即可求解. 【详解】因为， 又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由，得到， 所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，，且 所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误， 对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ） A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值 C. 的最大值为 D. 使点轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点， 则，，，， 当点在线段上时，，，故A正确； 当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误； 由得，则，， 所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确； 由得，直线交轴于点，交轴于点， 所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误. 故选：AC. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标式计算即得. 详解】. 故答案为：. 13. ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】由已知条件可得 . 故答案为：. 14. 如图，在△ABC中，，，，M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，又由图可得，据此可得答案. 【详解】由图可得三点共线，又，则.注意到， 则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 向量，，则， 由，可得， 即，即，解得或. 【小问2详解】 由，，则， 由，可得，解得， 所以，，， 又，所以. 16. （1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 【答案】；. 【解析】 【分析】（1）利用角范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可； （2）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以； （2）由题意可知， 且， 所以 . 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象，利用的图象与性质，可得，再利用，即可求解； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，又，则， 所以， 又因为，得， 因为，则，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则. 当时，则，所以，则. 所以的值域为. 18. 如图，在中，，，，且，，与交于点. （1）用，表示，； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得； （3）依题意为向量与的夹角，求出，，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 因为，，， 所以， 所以 . 【小问3详解】 依题意为向量与的夹角， 又 ， ， 所以. 19. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB的高度； （2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 【答案】（1）150米 （2）米 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，然后根据题意列方程可求出； （2）由图可知，设米，给两边取正切化简，结合基本不等式可求得其最大值. 【小问1详解】 在中，，得 在中，，得 因， 所以，解得米． 答：电视塔的高度大约是150米． 【小问2详解】 由图可知，设米，则 当且仅当，即时等号成立． 显然且在单调递增，即最大时最大． 答：当为米时，欣赏彩灯的视角最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$