模块综合测评-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

模块综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 三 15 16 17 总分 18 19 得分 蟈 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知(2十i)x=3十4i,z是x的共轭复数，则z的虚部为 ( ) A.i B.1 C.-i D.-1 2.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=e1,DC=e,则OC 如 A.(e+e:) E.z(e-ez) c22a-) D.(e-e) 3.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了40名党员，对他们一周的党史学 习时间进行了统计，统计数据如表所示，则该单位党员一周学习党史时间的众数及第75百分位数分 别是 () 党史学习时间(h) 8 9 10 11 党员人数 10 9 p A.8,10 B.8,10.5 C.9,10 D.8,9.5 班 之 4.在正方体ABCD-A1BC1D中，异面直线AC与C,D所成的角为 A否 B牙 c D.8 5.已知A,B,C均在球O的球面上运动，且满足∠AOB=号，若三棱锥O-ABC体积的最大值为6，则 球O的体积为 () A.12m B.48π C.32√3π D.64√3π 6.退休后富养自己，不是让自己无事可做，而是遵循内心去做自己想做的事情，不论是锻炼身体，还是 其他兴趣爱好，以及帮扶子女，都要将日子过得有仪式感.某人即将退休，现对自己退休前后的工资 分配做了详细的规划，各类费用的占比如下面的条形图和扇形图所示. 退休前各类费用占比 退休后各类费用古比 其他 15% 25% 旅行 15% 衣食住 45% 储蓄衣食住旅行其他类别 下列说法中一定正确的是 爵 A.若他退休后每月的储蓄金额等于退休前每月的储蓄金额，则他退休后每月的工资和退休前每月 的工资相等 B.若他退休后每月旅行的费用是退休前的3倍，则他退休后每月的工资和退休前每月的工资相等 C.若他退休后每月的工资是退休前的子，则他退休后每月的其他费用与退休前每月的其他费用相等 D.他退休前后每月的衣食住费用相等 ·377· 7.设长方形ABCD的边长分别是AD=1,AB=2,点P是△BCD(含边界)的动点，设AP=xAB+ yAD,则x十2y的取值范围为 () A.[1,2] B.[1,3] C.[2,3] D.[0,2] 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB+sinC)2=sinA+(2-√2)sin Bsin C, √2sinA-2sinB=0,则sinC= () A号 B号 C6-2 D.6+2 4 4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某校为调查学生身高情况，按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，已知其中男生 23人，平均数为170.6，方差为12.59；女生27人，平均数为160.6，方差为38.62.下列说法正确的是 A.这个样本的平均数为165.2 B.这个样本的方差为51.4862 C.该校女生的身高分布比男生集中 D.该校男生的身高都比女生高 10.某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机逐一前往酒店接嘉宾， 某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案，方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆 车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到 “3号”车的概率分别为P,P2,则 () ABP=若 BP=P=7 C.P:+P:-8 D.P>P2 11.已知三棱锥A-BCD的各顶点都在球O上，点M,N分别是AC,CD的中点，AB⊥平面BCD,CD= 2AB=2BC-2,AD一√6，则下列说法正确的是 () A.三棱锥A-BCD的四个面均为直角三角形 B.球O的表面积为6π C直线BD与平面ABC所成角的正切值是号 D点O到平面BWN的距离是'号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑 址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑 窑址的分布状况、时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨 窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角 形瓷器片，现测得如下数据：AB=34.64cm,AD-10cm,BE-14cm,A=B=吾，则D,E两点间的 距离为 cm(参考数据：取√3=1.732). 0 卫星 地 第12题图 第13题图 13.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的 轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆 盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积.球冠即球面被平面所截得的 部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高.设球面半径为 R,球冠的高为h,则球冠的表面积为S一2πRh.已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近 距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为 ·378· 14.已知O,N,P,I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是 (填序号). ①若OA=|OB=|OC1,则O是△ABC的外心： ②若PA·PB=PB·PC-PC·PA,则P是△ABC的垂心； ③若NA+NB+NC=0,则N是△ABC的重心： ④若C.A=AC.店-BA.I心=0，则I是△ABC的垂心. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)为了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的 次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）. ↑人数（人） 口女生 口男生 5次数次 根据上述信息，解答下列各题： (1)该班级女生人数是 ,女生收看“两会”新闻次数的中位数是 (2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百 分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生 低5%，试求该班级男生人数； (3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）. 统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 中 该班级男生 3 3 4 2 根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻 次数的波动幅度大小。 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c(cosA-sinA). (1)求角C; (2)若c=2√5，D为边BC的中点，△ABC的面积S=2,且B>A,求AD的长度. ·379· 17.(15分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，Q为AD的 中点 (1)求证：DB⊥PQ; (2)在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证 明你的结论；若不存在，请说明理由. 18.(17分)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD1中，AB∥DC,AB⊥AD,AB=2,AD=3,DC=4. (1)求证：AB∥平面DCCD: (2)若该直四棱柱的体积为36，求二面角A1-BD-A的正切值. 19.(17分)为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把 每年的3月14日定为“国际数学日”.2024年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活 动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了 最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对 得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析， 已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响， 各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率 ·380·间[2.5,3内的人为6,b,则任取2人的样本点 有(a,a),(a,a),(a,a),(a,b),(a,b). 17. (a,a),(a,a),(a,b),(a,b),(a,a). (2)事件“得到不是红球”可表示为事件A,由 (,b),(a,b),(a,b),(a,b),(6,b),共 15个,其中两人在一天内低头玩手机的时间都 在区间[2,2.5)内的样本点有(a,a),(a,a). 球的概率为2 .1 (a,a),(a,a),(a,a),(a,a),共6个,所 以两人在一天内低头玩手机的时间都在区间 18.解析设事件A.为“甲是A组的第i株植物”,事 件B.为“乙是B组的第i株植物”,事件C 为 “丙是C组的第i株植物”,i-1,2,..,7.由题意 模块综合测评 1.D 解析由题知,一 3+4i(3+4ì)(2-)10+5i (1)设事件D为“丙的高度小于15厘米”,由题意 2+(2+i(2-) 5 知D-CUC,又C 与C互斥,所以事件D的 2+i,所以-2-i,虚部为-1.故选D项 概率P(D)=P(C UC)=P(C)+P(C)= 2.A 解析因为O为矩形ABCD对角线的交点,则 (2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”. 由题意知E-AB UAB UA$B UAB UAB #1(#C+)一(+e).故选A项. AB UABUABUA B AB 所以事件E的概率P(E)-P(A.B)+P(AB)十 3.A 解该单位党员一周学习党史时间中,8出 P(A B)+P(AB )+P(AB)+P(AB )+ 现的次数最多,众数是8,学习时间小于10小时 P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB) 6+9+10 的比例是 -62.5% 75%,小于11小 40 49 6+9+10+8 时的比例是 -82.5% 75%,因此 19.解析(1)因为分组[0,0.5)内的频数是4,频率 40 第75百分位数是10.故选A项 4.B 解如图,连接AC,A.D,因为AC/AC 和为M-40,所以4+m+10+6+4+2-40,得 所以 A.CD或其补角为异面直线AC与C.D m-14.所以分组[0.5,1)内的频率/-M40 -m_14_ 所成的角,在△ADC 中,AD-CD-AC,所 0.35.因为a是分组[0.5,1)内频率与组距的商, 所以a-0.35 -0.7. 0.50.5 C 10 A (2)由(1)可得n- -0.25,设这40名市民一 40 天内低头玩手机的平均时间为x,则x-0.25× 0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+ 2.25×0.1+2.75×0.05-1.225 5.C 解析如图,当点C位于垂直于平面AOB的 (3)所取样本中,一天内低头玩手机的时间不少 直径端点时,三梭锥O一ABC的体积最大,设球 于2h的市民共有6人,设一天内低头玩手机的 时间在区间[2,2.5)内的人为a,a,a,a,在区 .392. 3 165.2,样本的方差为 R- X[12.59十(170.6- 4R -32v3n.故选C项. 3 51.4862,所以A,B项均正确;因为38.62 12.59,所以该校男生的身高分布比女生集中,所 以C项不正确;样本数据无法得出男生的身高都 比女生高,所以D项不正确,故选AB项. 10.ACD 解按照发车的序号,样本空间2- 6.B 解设他退休前每月的工资为a,退休后每 (123,132,213,231,312,321).方案一坐到“3 月的工资为b.对于A项,若0.3a-0.15b,则b 号”车包含的样本点有132,213,231,共3个,所 2a.所以A项错误;对于B项,若0.15b-0.05x 3,则b-a,所以B项正确;对于C项,若b- 案二坐到“3号”车包含的样本点有312,321,共 2 则退休后其他费用为 ##a#,所以C# 2个,所以方案二坐到“3号”车的概率P。- 项错误;对于D项,因为他退休前后每月的工资 不一定相等,所以D项错误,故选B项 7.B 解析如图,取AD的中点E,连接BE.因为 C.D项正确,B项错误,故选ACD项 A-AB+yAD-AB+2y·AD-:AB+ 11.ABD 解因为AB1平面BCD,所以△ABC. △ABD为直角三角形,因为AB-1,BC=1 2vAE,当点P位于B点时,三点B,E,P共线, 且AP-AB,即x+2y=1+0-1;当点P位于C AD- 6,由勾股定理得AC-②,BD-/5,又因 点时,AP=AC-AB+2AE-xAB+2yAE,即 为BC=1.CD-2,所以BC{$+CD=BD,AC$$$ x+2y-1+2-3,所以x+2y的取值范围为[1 CD=AD,所以△BCD,△ACD为直角三角 3.故选B项 形,故A项正确;三校锥A一BCD可看作由长。 宽、高分别为2,1,1的长方体截得,0为AD的 中点,球O的直径为。2十1^{}十^{}-,故球。 8.C 解在△ABC中,由(sinB十sinC)=sin^{A十 (2一、2)sinBsinC及正弦定理得(b十c){}-a*十(2 BD与平面ABC所成角的平面角为 DBC,所以 ②)bc,即b^}+c^*-a^{}=-/②bc,由余弦定理的推论$ tan DBC-CD 得cosA一 2hc 所以A-135^{,由、/②sinA-2sinB-0得sinB- 又BN=/②,所以△BMN为直角三角形,Sw= ,设点O到平面BMN的距离 1$5*,所以sinC-sin(60*-45$})-sin60*cos45$- 为h,由于O到平面BMN的距离与C到平面 4 BMN的距离相等,所以Vo-BM=Vc-eNM- 23×170.6+27×160.6_ 9.AB 解析样本的平均数为 2327 .393. 15.解析(1)该班级女生人数是2+5十6+5+2 4 3. 20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3. 故D项正确,故选ABD项. (2)由题意得,该班女生对“两会”新闻的“关注 指数”为3 13_65%. 所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60% 设该班的男生有x人,则-(1+3十6) -60%. D 12.解析如图,连接DE,延长AD,BE交于点C,因为 解得x-25. (3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数 AB 1x2+2×5+3×6+4×5+5×2-3. 3 'sin BsinAsinC' 为 20 所以AC-BC-- ③}~ -20(cm). 31.732 $\*+5$(3-2)+6$(3-3)*+5$(3-4)+$ 由题意得CD-20-10-10,CE-20-14-6.C 因为男、女生收看“两会”新闻次数的平均数与 136+60-/196-14(cm),故D,E两点间的距 10 离为14cm 所以男生比女生的波动幅度大, 16.解析(1)因为b-c(cosA一sinA). 所以sin B-sinC(cosA-sin A). 又sin B-sin(A+C)-sin AcosC+cos AsinC,所 答14 以 sin Acos C--sin Csin A. 13.解析由题图知,O为球心,P为卫星位置,则R一 因为A(0.),所以sinA0. 所以cosC=-sinC,即tanC=-1. A=OE=OB,h=DE,PE-5R,所以cos /POA$ #0100 2} 4R ①. { 答 又c*-a^{+b-2abcosC. 所以a++/②ab-20 ②. 14.解析根据外心的定义,易知①正确;PB·(PA- [a-2/2. PC-PB·CA-0→PB|CA,同理可得 PA [a-2, 联立①②得 或 -2 -2/2, CB.PC AB,所以P是垂心,故②正确;记 又BA,所以a-2,b-22. AB,BC,CA的中点为D,E,F,由题意NA十 在△ACD中,由余弦定理可得AD{=AC^{}+$ NB-2ND--NC,则|NC =2|NDl,同理可得 CD-2AC·CD·cosC-8+1-2×2/2X1x INA -2INEl,NB -2 NFI,则N是重心 故③正确:由题意,CB| IA,AC |IB,BA |IC 则I是垂心,故④正确 17.解析(1)在正三角形PAD中,Q为AD的中点. 答案①②③④ 故PQ|AD,因为侧面PAD |底面ABCD,侧 .394. 面PADO底面ABCD=AD,PQC乎面PAD. 又BDC乎面ABCD,所以A.A BD 所以PQ 底面ABCD,又DBC底面ABCD. 又因为AE BD,A AOAE=A,AA,AEC平 所以DB PQ 面AAE, (2)存在点N,当N为AB的中点时,平面PCNI 所以BD 乎面A.AE,又A. EC平面A.AE,所 平面PQB,证明如下: 以AEBD. 由(1)知,PQ 底面ABCD,又CNC底面 故 A.EA即为二面角A -BD-A的平面角, ABCD,所以PQ CN. 因为AB-2,AD=3,所以BD= 4+9-13$ 因为四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点, N为AB的中点,所以BA-CB,AQ=BN, AB·AD6 QAB= NBC=90{,所以△QAB△NBC$$ BD 所以 AQB-BNC. 73 因为 AQB十ABQ-90{, 故tan/AEA-AA42、13. AE= 所以 CNB十ABQ-90*,所以CN |BQ 而PQOBQ=Q.PQ,BQ二平面PQB,所以CN 平面PQB, 又CNC平面PCN,所以平面PCN 平面PQB 19.解析(1)设A一“甲第i轮做对”(i-1,2),设B “乙第i轮做对”(i-1,2),设C一“两轮比赛甲得i 分”(i-0,1,2),设D一“两轮比赛乙得i分”(i-0 1.2). 则P(D )=P(B BUBB 18.解析(1)因为ABCD-A.BCD 是直四校柱,所 -P(B B)+P(BB) 以A.A/DD. -P(B)P(B )+P(B )P(B) 又因为AA乎面DCCD,DDC乎面 ##+#33# DCCD,所以AA/乎面DCCD. 因为AB//DC,ABC平面DCCD,DCC平面 DCCD,所以AB//乎面DCCD, (2)设E一“不进行加赛甲就获得数独王”, 又因为AAOAB=A,A A,ABC平面$ 由题意可得P(D)-P(B B)-P(B)P(B A.ABB ,所以平面AABB /平面DCCD 又因为ABC平面A.ABB, 16' 所以A.B/乎面DCCD. P(C)-P(A AUAA) (2)因为直四校柱的体积V一S形ArcD·AA -P(A A)+P(AA) =P(A)P(A)+P(A)P(A) 在平面ABCD内过A点作AE BD,垂足为 2 5 25 E,连接AE, ) -25 A 所以P(E)=P(CD UCD.UCD) =P(CD)+P(CD)+P(C.D) =P(C)P(D)+P(C)P(D)+P(C)P(D) 00010100 因为ABCD-A.BCD 是直四校柱,所以AA 3 所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为 平面ABCD. 10 .395.