课时作业22 平面-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（二十二） 平面 答案见P 1基础训练‖ 9.画图表示下列由集合符号给出的关系 1.下列说法：①铺得很平的一张白纸是一个平面： (1)A∈a,BEa,A∈l,B∈l; ②平面是矩形或平行四边形的形状，③两个平面 (2)aa,bC3,a∥c,b∩c=P,a∩3=c 叠在一起比一个平面厚.其中正确的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列图形不一定是平面图形的是 A.三角形 B.圆 C.四边形 D.梯形 3.已知点A,直线a,平面a.①A∈a,a中a→A任x: ②A∈a,a∈a→A∈a:③Ata,aCa→Ata ④A∈a,aCa→ACa. 其中表达正确的个数为 ( A.0 B.1 10.如图所示，在正方体ABCD-A1BCD1中，E, C.2 D.3 F分别是B1C,DC的中点，P,Q分别是EF, 4.(多选)如图，平面a∩平面B=l,A,B∈a,C∈B, BD的中点，对角线AC与平面BEFD交于点 C在l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平 H,求证：P,H,Q三点共线. 面为Y,则平面y与3的交线必过 () D A.点A B.点B C.点C D.点D 5.(多选)空间两两相交的三条直线，可以确定的平 面个数是 ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.用符号表示“点A在直线1上，1在平面a外”为 7.已知A∈a,B任a,若A∈l,B∈l,那么直线l与平 面a有 个公共点， 8.若三个平面最少可将空间分为x部分，最多可将 空间分为y部分，则y一x的值为 。 ·201· I能力提升 川拓展探究 11.(选)设P表示一个点，a,b表示两条直线，a,3 15.如图所示，在空间四边形ABCD中，E,F分别 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的 为AB,AD的中点，G,H分别在BC,CD上，且 命题是 () BG:GC=DH:HC=1:2,求证： A.P∈a,P∈a→aCa (1)E,F,G,H四点共面； B.a∩b=P,bCg→aC3 (2)EG与HF的交点在直线AC上. C.a∥b,aCa,P∈b,P∈a→bCa D.a∩B=b,P∈a,P∈g=P∈b 12.空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条 直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个 数为 (写出所有正确的答案). 13.给出下列四个命题： ①三点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面： ③若四点不共面，则每三点一定不共线： ④三条两两相交的直线确定一个平面. 其中假命题的个数是 14.在四面体A-BCD中，E,G分别为BC,AB的中 点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF: 16.已知正方体ABCD-A,BCD FC=DH:HA=2:3.求证：EF,GH,BD交 (1)AA,与CC是否在同一平面内？ 于一点 (2)点B,C,D是否在同一平面内？ (3)画出平面ACC与平面BCD的交线，平面 ACD,与平面BDC的交线. ·202·4.D解析设圆锥的母线为，高为，由题意可知，圆锥的底面 10.解析设圆台的两底面半径分别为n,2,则侧面积π(n十 半径为r=√2，圆锥的侧面积为S=πl=√3π2，所以1= r2)l=π(n十r2)×5=45x,所以n十2=9；又因为圆台的 6,故A=√=7=2，所以该圆维的体积为V=号h= 高为4，母线长为5，所以2+(n一2)2=2，即16+(n n)2=25,所以(n-rn)2=9,所以2（片十）=(n-rn)2+ 寺故选D项。 (n十r2)2=9十81=90，所以片十2=45，所以圆台的上、下 底面的面积之和为π片十2=45元， 5.B解析如图，取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则 答率45π VO就是正四棱锥V-ABCD的高.因为底面ABCD的面积 11.解析如图所示，延长CC至Q,使得CQ-1,连接MQ,NQ,则 为16，所以AB=√16=4，所以AO=2√2.又一条侧棱长为 截面四边形AMQN为平行四边形.记MQ与BC交于点R, 2/I,所以VO=√VA-AO=√44-8=6，所以正四棱维 NQ与CD交于点P,则AN=4v2,AM=5,wMR=√3+3= V-ABCD的高为6.故选B项. 32,Np=√2+()-9，PR=√P+(号)-号， 故所得裁面的周长为AM什MR+PR+PN+A1N=5+ 3+号+9+48=10+7v2 6.B解析若按10厘米为底面直径的圆柱计算得该瓶容积为 30×52×π=750π（毫升），若按18厘米为底面直径的圆柱计 算得该瓶容积为30×92×π=2430π（毫升），故该瓶容积介 于750π毫升与2430r毫升之间.故选B项. T.解析如图，作FN∥AE,FM∥ED,将多面体被分割为棱柱 与棱锥两部分，因为EF与平面ABCD的距离为2，所以四棱 维F-NBCM的高为2，所以VNC=号SauX2= 答案10+7√2 12.解析(1)连接0C,因为BC=x,OC=10V3, 号×2X(2-是)X2=号，Vew=S1aX号-号× 所以OB=√(103)2-x. 2×2X3 =3，所以该刍莞的体积为V=VFNCM十 设圆柱底面半径为r, V拉ADEF +3=马 2 则AB=2√300-7=2，即r=300-z 不 3 31 则S=2x√300-元(0<x<103),V=㎡x=300x-主 元 (0<x<103) (2)S=2x√/300-x=2/300x-x 系号 =2/一(x-150)+22500(0<x<10V3), 所以当x2=150,即x=5√6时，图柱的侧面积S最大. 8.解析在正四棱柱ABCD-A,BCD中，AB=2,AA=3,则 13.A解析设等边圆柱、正方体、球的体积分别为V1,V,V, 正四棱柱ABCD-A:BCD的侧面积为S:=4X2X3= 24.正四棱锥O-A:B1CD,的斜高为√2+3=√10，所以 所以=x·(号)广·a=字，=a,=专·· 正四棱锥0-A1BCD,的侧面积为S,=4X2×2X/10- (号)》广-管，所以6台=吾s普-1-普-吾 410.所以总-24=310 因为晋<子<1，所以<<，故选A项 S4W/105 14,ABC解析若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正 登累3/0 方体的体对角线，即2R=√2+2十2=2√3，外接球体积 5 9.解析(1)在直角三角形ABC中，由BC=2,tan∠ABC= 为专R=4Bπ，故A项正确，D项错误：若球为正方体的 2E,即a∠ABC瓷-2E,得AC=4E,若以AC为轴 内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R=1,球的表面积 为4πR”=4π，故B项正确：若球与正方体的各棱相切，则球 旋转一周，形成的几何体是以BC=2为半径，AC=4V2为高 的直径等于正方形对角线长，即2R=√22十2=2√2，球的 的圆锥，则AB=√22+(4√2)”=6，其表面积为S=πX22+ 半径为R=√②，故C项正确.故选ABC项. π×2×6=16元. (2)由问题(1)得几何体是圆锥，要使蚂蚁爬行的距离最短，则 课时作业（二十二） 沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图），最短距离 1.A解析由平面的概念可知，它是平滑、无厚度、宽窄无限延 就是点B到点R的距离，∠BAB=2a2=字在△MB 展的，是一个抽象概念，①②③都不符合平面的概念，所以都 6 不正确.故选A项， 中，由余弦定理得BB=√6+6-2X6X6X0s红=63. 2.C解析A项，由不共线的三点确定一个平面知，三角形是 平面图形，故A项不符合题意：B项，圆为平面图形，故B项不 符合题意；C项，当四边形为空间四边形时，不是平面图形， 故C项符合题意：D项，梯形的一组对边相互平行，则由两条 平行线确定一个平面知，梯形是平面图形，故D项不符合题 意.故选C项 ·329· 3.A解析①中若a与a相交，且交点为A,则结论不正确； ③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个 ②中“a∈a”符号不正确；③中A可以在a内，也可以在a外， 平面（平面ABCD,平面ABBA:和平面ADDA). 故不正确；④中符号“ACa”不正确.故选A项. 答案1,2或3 4.CD解析根据平面的基本性质判定点C和，点D既在平面B内 13.解析对于①，不在同一条直线上的三点确定一个平面，所 又在平面Y内，故点C和，点D在B与y的交线上故选CD项. 以①错误：对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平 5.AC解析若三条直线两两相交且共有三个交，点，则确定 面，所以②错误；对于③，若空间四点A,B,C,D不共面，则 1个平面；若三条直线两两相交且交于同一，点，则可确定3个 四点构成一个三棱锥，故每三点一定不共线，所以③正确： 或1个平面.故选AC项. 对于④，不共，点的三条两两相交的直线确定一个平面，所以 6.解析点A在直线l上，记作A∈l,直线【在平面a外，记作 ④错误，综上，假命题的个数是3. l中a,所以题中语句用符号表示为A∈L,l过a 答率3 答案A∈l,l￠a 14.证明如图所示，连接GE,HF 7.解析若1与α有两个不同的公共点，则由基本事实2知1C 图为E,G分别为BC,AB的 a,又B∈l,所以B∈a,与B任a矛盾，所以l与a有且仅有一 中点，所以GE∥AC 个公共点A. 又DF：FC=DH:HA= 答案1 2:3,所以FH∥AC,从而 8解析当三个平面都平行时，可将空间分成4部分，为最少：当 FH∥GE, 三个平面两两垂直时，可将空间分为8个部分，为最多，故 故E,F,H,G四，点共面，且四边形EFHG是一个梯形. x=4,y=8,所以y一x=4. 延长GH和EF交于一点O, 答案4 因为GH在平面ABD内，EF在平面BCD内， 9.解析(1)根据题意，A∈a,B任a,A∈l,B∈l,画出如图所示的 所以，点O既在平面ABD内，又在平面BCD内， 图象 所以点O在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条，所以，点O 在直线BD上 所以EF,GH,BD交于一点 15.证明(1)因为BGGC=DH:HC=1:2, 所以GH∥BD, 因为E,F分别为AB,AD的中点， (2)根据题意，aCa,bCB,a∥c,b∩c=P,a∩B=c,画出如图 所以EF∥BD,所以EF∥GH, 所示的图象 所以E,F,G,H四，点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中，点， 所以EF∥GH,且EF≠GH, 所以EG与FH必相交，设交点为M, 因为EGC平面ABC,HFC平面ACD, 所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD, 1O.证明因为EFC平面BEFD,P∈EF, 因为平面ABCn平面ACD=AC,所以M∈AC, 所以P∈平面BEFD. 所以EG与HF的交点在直线AC上. 同理，QE平面BEFD,所以P,H,QE平面BEFD. 16.解析(1)在正方体ABCD-ABCD中， 连接A1C1,AC,则P∈AC,Q∈AC,H∈AC, 因为AA1∥CC, 因为AC∥AC,所以AC与AC确定平面A1ACC, 所以由推论3可知，AA,与CC可确定平面AAC1C 所以P,H,Q∈平面A:ACC, 所以AA与CC在同一平面内. (2)因为，点B,C,D不共线，由基本事实1可知，点B,C,D 所以P,H,Q三，点在平面BEFD与平面A1ACC的交线 上，故P,H,Q三点共线. 可确定平面BCD, 1l.CD解析当a∩a=P时，P∈a,P∈ 所以点B,C,D在同一平面内. a,但a丈a,所以A项错误；a∩B=P (3)如图，因为AC∩BD=O,所以点 时，B项错误：如图，因为a∥b,P∈b, OE平面ACC,OE平面BCD. 又C∈平面ACC,C∈平面BCD, 所以P任a,所以直线a与点P确定平面a,又a∥b,所以a 所以平面ACCn平面BCD=OC. 与b确定平面B,但3经过直线a与点P,所以B与a重合， 连接CD交CD于，点E, 所以bCa,故C项正确：两个平面的公共点必在其交线上， 同理平面ACD∩平面BDC1=OE, 故D项正确.故选CD项. 12.解析如图，在正方体ABCD-A1B1CD中， 课时作业（二十三） ①AA∩AB=A,AA1∩A1B1=A,直线AB,AB与AA1 1,C解析画一个正方体，可知满足题意的棱有6条，故选 可以确定一个平面（平面ABBA1): C项. D 2.C解析当两个平面相交或平行时，在这两个平面内各存在 一条直线，使得这两条直线互相平行.故选C项 3.ABC解析如图所示，在正方体中取平 面ABCD为平面&，取AA1所在直线为直 线a,BB1所在直线为直线b,则a∥b:取 AB所在直线为直线b,则a,b相交：取 ②AA∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D BC所在直线为直线b,则a,b异面.故三 可以确定两个平面（平面ABBA,和平面ADDA): 种情况都有可能.故选ABC项， ·330·