8.5.2 直线与平面平行-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

随堂检测·学以致用 L.B解析因为点M∈平面a,且点M∈平面A,所以a与B相 交于过点M的一条直线.故选B项， 2.C析直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与 平面平行、直线与平面相交，因为直线l与平面α不平行，所 以l与a相交或lCa.故选C项. 3.A解析如图，三棱锥A-BCD中六条棱所在直线成异面直 线的有AB与CD,AC与BD,AD与BC,共3对.故选A项. 由题意得BF=AM=AB, 又BF∥AM, 所以四边形A1FBM为平行四边形，所以A1F∥BM 又F,M分别为CD,AB的中点，所以FMICB. 而C1BLBC,所以F MIBC. 所以四边形FMBC为平行四边形，所以MB∥FC 又BM∥AF,所以AF∥F1C.同理可得AE∥CE. 所以∠EA1F与∠ECF1的两边分别对应平行， 4.ACD解析如图所示，在长方体中，对 由图可知∠EA1F与∠ECF1的两边方向都相反， 于A项，因为A,B与平面ABCD没有 所以∠EAF=∠ECF1. 公共点，所以AB∥平面ABCD,BCC [变式2]B解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别 平面ABCD,但AB与BC并不平行， 对应相等，所以这两个三角形相似.故选B项。 而是异面直线，故A项错误；对于B项， D 平面ABCD、平面ABBA、平面ADDA1 A 随堂检测·学以致用 有公共点A,它们并没有公共直线，只有一个公共点，故B项 1,B解析①错误，两条直线可以异面；②正确：③错误，和另 正确；对于C项，A1B∥平面ABCD,AD1∥平面ABCD, 一条可以异面.故选B项 A1C∥平面ABCD,故C项错误；对于D项，C为直线AB 2.C解析若AB∥A'B',AC∥A'C,则有∠BAC=∠BA'C 外一，点，但过C的平面ABCD,和平面DCCD,都与AB 或∠BAC+∠BA'C=180°.故选C项. 平行，故D项错误.故选ACD项. 3.BD解析因为空间两个角a与B的两边对应平行，所以这 两个角相等或互补.因为a=60°，所以B=60°或120°.故选 8.5空间直线、平面的平行 BD项. 4.证明如图，取DD的中点G,连接EG,GC 8.5.1直线与直线平行 D 必备知识·基础落实 要点一 平行a∥c传递性 要点二 相等或互补 [辨析]解析(1)正确，由基本事实4知结论正确. 因为E是AA的中点，G是D1D的中点， (2)错误，观察长方体同一项点处的三条棱可知，这两条直 所以EG LAD. 线不一定平行. 由正方体的性质知AD LBC,所以EG LBC, (3)正确，由空间等角定理分析知该结论正确。 所以四边形EGCB是平行四边形，所以EBLGC (4)错误，在空间中，这两个角的大小关系是不确定的. 文因为G,F分别是D1D,CC的中点， 案(1)√(2)×(3)/(4)× 所以DG∥FC,且DG=FC, 所以四边形DGCF为平行四边形， 关键能力·素养提升 所以DFLGC,所以EB IDF, [例题1]证明因为E,H分别是AB,AD的中点，所以EH是 所以四边形BEDF是平行四边形. △ABD的中位线，所以EH∥BD,且EH=之BD, 8.5.2直线与平面平行 同理可得FG∥BD,且FG=2BD, 必备知识·基础落实 所以EH∥FG,且EH=FG, 要点一 所以四边形EFGH是平行四边形. 此平面内的一条直线平行bCa 又F为BC的中点，所以EF为△ABC的中位线， 要点二 所以EF=号AC又AC=BD,所以EH=ER. 平行aCβ3a∩3=b [思考]提示①作为证明线线平行的依据：当证明线线平行时， 所以平行四边形EFGH是菱形. 可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过 [变式1]解析在△ABC中，因为AE:EB=AF:FC,所以 第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线 EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A1BC中，BC∥BC, 平行： 所以EF∥BC. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据：如果一条直 答率平行 线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平 [例题2]证明如图，在正方体ABCD-A:BCD中，取AB 行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是 的中点M,连接BM,F1M. 所要画的直线。 ·284· [辨析]解析(1)错误，只有当这条直线在这个平面外时，这条 2.D解析线面平行，则线面无公共点.对于C项，要注意“无 直线才与这个平面平行. 数”并不代表所有.故选D项 (2)错误，若直线1上有两点到平面a的距离相等，1与平面 a也可能相交， 3A解团部-器，得AC/∥ER,又因为EFC平面DER, (3)错误，若直线1与平面a平行，则l与平面a内的直线可 AC过平面DEF,所以AC∥平面DEF.故选A项. 能平行，也可能异面. 4.A解析由长方体的性质，知EF∥AB.因为ABC平面 (4)错误，两条平行线中的一条直线与一个平面平行，另一 ABCD,EF工平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EFC 条可能在这个平面内. 平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,所以EF∥ 系(1)×(2)×(3)×(4)X GH又因为EF∥AB,所以GH∥AB.故选A项. 关键能力·索养提升 8.5.3平面与平面平行 [例题1]证明(1)因为四棱锥P-ABCD的底面为平行四边 形，所以BC∥AD. 必备知识·基础落实 又因为ADC平面PAD,BC对平面PAD, 要点一 所以BC∥平面PAD, 两条相交直线a∩b=Pa∥ab∥a (2)如图，连接AC,记AC与BD的交点为H,连接MH, 要点二 相交平行a∩y=anY=b [辨析]解析(1)错误，一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行. (2)正确，因为两个平面平行，所以这两个平面无公共点，所 以其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以 因为H为平行四边形ABCD对角线的交点， 它们平行. 所以H为AC的中点 (3)错误，若两个平面平行，则这两个平面内的直线没有交 又因为M为PC的中点，所以MH为△PAC的中位线， 点，所以它们可能平行或异面。 所以MH∥AP, (4)正确，可以通过面面平行的判定定理证明. 又因为MHC平面MBD,AP丈平面MBD, 答案(1)×(2)√(3)×(4)/ 所以AP∥平面MBD. 关键能力·素养提升 [变式1]证明如图，取AB的中点G,连接FG,CG [例题1门正明因为F,H分别为CD,PD的中点， 因为F,G分别是BE,AB的中点， 所以FH∥PC,又PCC平面PCE,FH￠平面PCE, 所以FGL号AE 所以FH∥平面PCE. 因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD,且AB=CD. 又AE=2CD,所以CD=AE, 又因为E,F分别为AB,CD的中点， 所以AE∥CF,且AE=CF, 而AE∥CD,所以CD LFG, 所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE. 所以四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG. 又CEC平面PCE,AF寸平面PCE, 又CGC平面ABC,DF寸平面ABC, 所以AF∥平面PCE 所以DF∥平面ABC. 图为FHC平面AFH,AFC平面AFH,FH∩AF=F, [例题2]解析直线L∥平面PAC,证明 所以平面AFH∥平面PCE. 如下： [变式1]证明(1)由正方体的性质得BB∥DD,且BB= 如图，连接EF,因为E,F分别是PA, DD,所以四边形BBDD是平行四边形， PC的中点，所以EF∥AC. 所以B1D1∥BD. 又EF亡平面ABC,且ACC平面 文BD过平面BDC,BDC平面BDC, ABC,所以EF∥平面ABC 所以BD∥平面BDC.同理AD∥平面BDC 又EFC平面BEF,平面BEF∩平面ABC=L,所以EF∥L, 而AD∩BD-D,所以平面ABD∥平面BDC 因为l吐平面PAC,EFC平面PAC, (2)取BB的中点G,连接AG,GF,所以AE∥BG,且AE= 所以直线l∥平面PAC. B1G,所以四边形AEB1G为平行四边形. [变式2]证明如图，连接AC,交BD于 从而得BE∥AG,同理得GF∥AD,且GF=AD,所以四边 点O,连接OM因为四边形ABCD 形ADFG为平行四边形. 是平行四边形，所以O是AC的中 所以AG∥DF,所以BE∥DF, 点，因为M是PC的中点，所以OM∥ 所以DF∥平面EBD. AP.又因为OMC平面BDM,AP中 同理可得FB∥平面EBD,又DF∩FB=F, 平面BDM,所以AP∥平面BDM 所以平面EBD∥平面FBD. 又因为经过AP与点G的平面交平 [例题2]证明因为BE∥AA1,AAC平面AA,D,BE中平面 面BDM于GH,APC平面APGH,所以由线面平行的性质 AAD,所以BE∥平面AAD. 定理得AP∥GH. 因为BC∥AD,ADC平面AA:D,BCt平面AA:D, 随堂检测·学以致用 所以BC∥平面AAD. 1.D解析A项错误，若bCa,a∥b,则a∥a或aCa;B项错 因为BEBC=B,BEC平面BCE,BCC平面BCE 误，若bCa,c∥a,a∥b,a∥c,则a∥a或aCa;C项错误，若满 所以平面BCE∥平面AAD. 足此条件，则a∥a或aCa或a与a相交；D项正确.故选 又因为平面A1DCE∩平面BCE-EC,平面ADCE∩平面 D项。 AAD=A1D,所以EC∥A1D. ·285·第八章立体几何初步 8.5.2直线与平面平行 [学习目标]1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步运用定理解决问题（重难点）.2.掌握直线与平 面平行的性质定理，明确定理的作用，并能初步运用定理解决问题（重难点）.3.发展数学抽象、逻辑推理和 直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一 直线与平面平行的判定定理 (续表) a∥a 如果平面外一条直线与 符号语言 >a∥b 文字语言 ,那么该直线与此平面 平行 》思考：线面平行性质定理的作用是什么？ 图形语言 符号语言 >aa 辨析 a∥b 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 要点二 直线与平面平行的性质定理 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直 线，则这条直线和这个平面平行. () 条直线与一个平面 ,如果过 (2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则 文字语言 该直线的平面与此平面相交，那么该直 l∥平面a. () 线与交线平行 (3)若直线1与平面a平行，则1与平面a内的 任意一条直线平行， () 图形语言 (4)如果两条平行线中的一条直线与一个平面 b 平行，那么另一条也与这个平面平行.() 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 直线与平面平行的判定定理及其 【例题1】如图，四棱锥P 应用 ABCD的底面为平行四 边形，点M为PC的中点 规律总结 (1)求证：BC∥平面PAD: 用直线与平面平行的判定定理判断或证明 (2)求证：AP∥平面MBD 直线a和平面a平行时，必须同时具备三个 条件：(1)直线a在平面a外，即a中a:(2)直 线b在平面a内，即bCa;(3)两直线a,b平 行，即a∥b.利用直线和平面平行的判定定 理证明线面平行的关键是在平面内找一条 直线与已知直线平行，常利用平行四边形、 三角形中位线、基本事实4等， ·81· 数学必修第二册课堂学案 【变式1】在如图所示的几何体中，△ABC是任意 ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC 三角形，AE∥CD,且AE=AB=2CD,F为 的位置关系，并加以证明. BE的中点.求证：DF∥平面ABC 4 作年年年年年年里手生年年年年单票年里手年年手单年年年年年年手售年年年年年年年年甲 4444.444“4444”44““4444小444”“+44。“+44+4 【变式2】如图，已知四边形ABCD是平行四边 形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的 中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面 交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 探究二 直线与平面平行的性质定理及其 应用 解题技巧 (1)直线与平面平行的性质定理中有三个条 件：①直线a和平面a平行，即a∥a:②直线 a在平面B内，即aCβ；③平面a,B相交，即 a∩B=b.这三个条件缺一不可. (2)利用直线与平面平行的性质定理解题的 步骤：①确定（或寻找）一条直线平行一个平 面；②确定（或寻找）过这条直线并且与这个 平行平面相交的平面；③确定交线；④由定 理得出结论 【例题2】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O 上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC,E,F 分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面 ·82· 第八章立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见Pas 1.能确定直线a与平面a平行的条件是() A.bCa,a∥b B.bCa,c∥a,a∥b,a∥c C.bCa,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD D.aa,bCa,a∥b A.平行 B.相交 2.如果直线a∥平面a,那么直线a与平面a内的 C.在平面内 D.以上都有可能 ( 4.如图，在长方体ABCD- A.一条直线不相交 A:BCD1中，E,F分别D B.两条相交直线不相交 是棱AA1和BB的中点， 过EF的平面EFGH分 C.无数条直线不相交 别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位 D.任意一条直线不相交 置关系是 3.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和 A.平行 B.相交 BC上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则 C.异面 D.平行或异面 对角线AC和平面DEF的位置关系是( 提示完成P知课时作业（二十五） 8.5.3平面与平面平行 [学习目标]1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理（重难点）.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定 理（重难点）.3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一平面与平面平行的判定定理 要点二平面与平面平行的性质定理 如果一个平面内的 两个平面平行，如果另一个平面与这两 文字语言 与另一个平面平行，那么这两个平面 文字语言 个平面 ,那么两条交线 平行 B/P a 图形语言 图形语言 a∥ 符号语言 >a∥b bCB 符号语言 →3∥a 由平面与平面平行可以得出直线与直 作用 线平行 ·83·