8.4.1 平面-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

√3十7，即25=3+7，故r=3,故圈维的体积为3× 高PO1上，记为O,设球的半径为R。 因为棱锥的高为4，底面边长为2，所 9X3=33元.故选B项. 以R=(4-R)2+(2)2,所以R (2)由题得两个圆台的高分别为h=√2nn)】-(n-n予 是，所以该球的休积为警×（号）广- √3nn)hz=√3nn)-(mny=2W2nn), V 所以V 吉s+s+SSh:_红_5n-n)-6 243.故选A项 16 答索(1)A(2)A 专8+8+sS0a hu22(n-n)41 [变式4]D解析因为三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三 圈B②汽 条侧棱长分别为3，W2,1,所以可将其补充为一个长、宽、高 分别为√3，√2,1的长方体，所以其外接球的直径2R [例题2]解析(1)因为S1=4πR,所以√S=2√元R, √十2+3=√6，所以三棱锥的外接球的表面积S=4πR= 同理可得√S=2√R,√S=2√元R 6m,体积V=R=6元故选D项。 由R1十2R=3R,得S+2√S=3√S. 随堂检测·学以致用 四由M=专调释R√腰-沿 4元 1.B解析由题意知，球的半径r=3,则Sg=4π2=4π×32= 同限可释民展-汽没风-腰-西没， 36x,V=青2=号xX3=36元故选B项. 94元 2.C解析棱长为4的正方体的内切球的半径r=2,表面积为 由R1+2R2=3R3,得阿+2W=3. 4π2=16π.故选C项. 3.C解析如图，0A=3,O0O=4,从而球的半径R=OA=5, 答案(1)√S+2√S=3√S (2)+29W2=33W 所以V=弩×5-509(cm).载选C须. 3 [变式]B服罚设球的率径为，则球的体积为智，球的表 面积为4π.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以 4=4产，解得r=3.故选B项. 3 [例题3]解析如图，过C作CE⊥AD的 延长线于点E, 4.解析圆柱的高h=1,设圆柱的底面圆半径为r,则2十(2)3 作CF⊥AB于点F, 云，所以截V=矿=平 由已知得DE=CE=2, 所以CF=4,BF=5-2=3. 答率红 所以BC=√CF+BF=5. 所以下底圆面积S1=25π，台体侧面积S=πX(2十5)× 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 5=35π，维体侧面积S3=π×2×2√2=4√2x, 8.4.1平面 故表面积S=S+S2十S=(60+4√②)π [变式3]解析如图，在半圆中可得∠BCA= 必备知识·基础落实 90°，∠BAC=30°，AB=2R, 要点一 尉AC=RBC=R,C0,=9R 向四周无限延展平行四边形横向竖向英文 04 两个顶点英文四个顶点 对A0=号R,B0,=号 [思考]提示平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的 面，我们日常接触到的是平面图形，如三角形、正方形、圆 等，它们有大小之分，它们都不是平面，而是平面的一部分 所以Va=号求，Vwa=xx(经R 一般用平面图形（平行四边形）来表示平面. 要点二 1.所有点 2.A∈AEI A∈a Ata ICa lta inm=A 所以V元何华=V华一V医体0，一Vg华m,= an8=1 要点三 1.不在一条直线上有且只有两个点这个平面内 故该几何体的体积为号R, A∈LB∈LA∈aB∈a公共直线P∈aP∈B 3.经过一条直线和这条直线外一点经过两条相交直线 [例题4]解析(1)设正三棱台上、下底面所在圆面的半径为n, 经过两条平行直线 所以2=品源，2n=品，即n=3,n=4,设球心 [辨析]解(1)错误，不共线的三点才能确定一个平面. (2)错误，平面是无限延展的，不可以度量大小. 到上、下底面的距离分别为d山，d,球的半径为R,所以d= (3)错误，若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交：若 √R2-9,d=√R-16,故d-d=1或d+d山=1，即 这三个点不在同一条直线上，则这两个平面重合， (4)正确，根据推论3，可证两条平行直线确定一个平面，又 √R-9-√R-16=1或√R-9+√R-16=1,解得 由基本事实2可知，与两条平行直线相交的第三条直线在 R=25符合题意，所以球的表面积为S=4πR2=100元故 这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三 选A项. 条直线共面， (2)如图所示，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ ·282· 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)符号语言表示：a∩ny=P,a∩B-PA,a∩y 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 PB,Bny=PC;图形表示如图1. 必备知识·基础落实 (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩ 要点一 平面ADC=AC;图形表示如图2. 1.(1)任何一个平面内 2.相交直线 一个公共点平行直线没有公共点没有公 共点 要点 有无数个有且只有一个没有aCaa∩a=Aa∥a 要点三 图1 图2 a∥B没有公共点a∩B=l有无数 [变式1门A解析直线与平面的关系应是包含于或不包含于， [思考]提示有，若a,B,Y是三个不重合的平面，且a∥B,B∥Y 特号为二或工，点与平面的关系是属于或不属于，符号为∈ 则a∥x. 或任，所以根据图形可知A项正确.故选A项 [辨析]解析(1)错误，因为分别位于两个不同平面内的直线， [例题2BCD解析A项正确，可以用反证法证明：若其中存 既可能平行，也可能相交，也可能异面， 在三点共线，则四点必共而；B项不正确，从条件看出两平 (2)错误，两条直线无公共点，可能平行也可能异面. 面有三个公共，点A,B,C,但是若A,B,C共线，则结论不正 (3)错误，直线与平面相交时，直线上也有无数个点不在平 确：C项不正确，共面不具有传递性：D项不正确，因为此时 面内， 所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，故选 (4)错误，观察长方体可知，这两个平面也可能相交. BCD项. 答案(1)×(2)×(3)×(4)X [变式2]证明因为a∩b=A,所以a,b确定一个平面a. 关健能力·素养提升 因为B∈a,C∈b,所以A,B,C在平面a内. [例题1]解析(1)在长方体ABCD-A1BCD中，ADL 又因为l∩c=D,所以I,c确定一个平面B. BC,所以四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC 因为B∈L,C∈l,A∈c,所以A,B,C在平面B内. (2)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 因为过不在同一条直线上的三点A,B,C有且只有一个平 (3)直线DD与直线DC相交于点D1. 面，所以平面a与平面B重合，所以直线a,b,c,l在同一平 (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内， 面内. 答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 [例题3]证明1)因为AB∥CD, [变式1]解析直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、 所以AB,CD确定一个平面B. 异面，如图 又因为AB∩a=E,ABCB,所以E∈a,E∈B, 即E为平面a与B的一个公共点. 同理可证F,G,H均为平面a与月的公共，点。 因为两个平面有公共，点，它们有且只有一条通过公共点的 告产99 公共直线，所以E,F,G,H四点共线 图2 图3 (2)根据题意，a∩B-,nY=l2,a∩y=l4, [例题2]AC解析A项显然正确：如图1，l1∥，l2Ca,但a可 因为C3,l2CB,且，l2不平行，所以l与l2相交. 设h∩2=P,则P∈4，P∈l2,所以P∈a,P∈x 以经过直线h,故B项错误； 因为a∩Y=l,所以P∈l3, 所以，l,交于一点 [变式3]证明(1)因为平面ABC门平面a= DE,连接DE,并延长，如图所示 因为P∈AB,ABC平面ABC, 所以P∈平面ABC. 图1 图2 又因为P∈a,所以P在平面a与平面 如图2，在正方体ABCD-A,B,CD中，直线AC与直线 ABC的交线DE上，即P∈DE BD异面，ACC平面ABCD,且BD∥平面ABCD, 所以D,E,P三，点共线 故C项正确；直线还可能与平面相交，故D项错误.故选 (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,所以AB,CD是梯形 AC项. ABCD的两腰，所以AB,CD必定相交于一点.设AB∩ [变式2]B解析若直线上有一，点在平面外，则直线不在平面 CD=M因为AB二a,CDCB,所以MEa,MEB,所以MEa∩a 内，故直线上有无数多个，点在平而外.故选B项」 又因为a∩B-l,所以M∈l,即AB,CD,l相交于一点. [例题3]D解析A,B项都不能保证a,B无公共点，如图1所 随堂检测·学以致用 示；C项中，当a∥a,a∥B时，a与B可能相交，如图2所示： 1D解析能看见的线画为实线，看不见的线画为虚线或不 只有D项能保证a,B一定无公共点.故选D项. 画，只有D项符合要求，故选D项. 2.D解析从菱形的四个顶点中任取三个点，这三个点一定不 共线，由基本事实1：“不共线的三点确定一个平面”知，只有 D项符合，故选D项. 图1 图2 3.D解扬因为a∩B=l,AB∩l=C,所以C∈B,C∈AB,所以 [变式3]解析①错误，a与b也可能异面：②错误，a与b也可 AB∩B-C.故选D项. 能平行：③正确，因为a∥B,所以a与B无公共点，又aCa, 4.ABC解折连接AC,AC,则AC∩BD=O.因为AC∩平 bC3,所以a与b一定无公共点：④正确，由已知及③知，a 面CBD=M,所以C,M,O三，点都在平面CBD与平面 与b无公共点，那么a∥b或a与b异面：⑤错误，a与b也 ACC1A的交线上，即C,M,O三点共线，所以A,B,C项均 可能平行 正确，D项错误.故选ABC项. 答案③④ ·283·数学 必修 第二册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.直径为6的球的表面积和体积分别是 ). ( 面,球心到这个平面的距离为4cm,则球的体 B. 36πt,36π 积为 ( A.36π,144π ) 1o0rt cm} 208ncm{ C. 144π,36 D. 144r,144π A. #2 3 3 2.校长为4的正方体的内切球的表面积为 C.500r cm} D.41613- 。 __ tcm^{} 3 3 A B.12t 4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直 50 径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体 C.16π D. 积为 3.用一个平面截一个球得到直径为6cm的圆 l示完成P课时作业(二十一)和P培优训练(四) 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 [学习目标]1.借助长方体,在直观认识空间点、真线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平 面的位置关系的定义.2.掌握平面基本性质的三个基本事实(重点).3.会用符号表示点、直线、平面间的位 置关系(重虑).4.发展数学抽象和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一:平面的概念、回法及表示 >思考:平面与平面图形有什么区别与联系? 几何里所说的“平面”是从课桌面,黑板面,平 概念 静的水面等,这样的一些物体中抽象出来的 类似干直线向两端无限延伸,几何中的平面是 的 我们常用矩形的直观图,即 表示平 面,当平而水平放置时,常把平行四边形的一 画法 边画成 _:当平面竖直放置时,常把平 行四边形的一边画成 ①一个希腊字母,如a,③.y等; ②两个大写 字母:表示平面的平行四 要点二 点、线、面之间的位置关系及符号 表示 边形中相对的 : 表示 方法 ③四个大写_ 字母:表示平面的平行四 1.直线在平面内的概念 边形的 如果直线/上 都在平面a内,就说直 线/在平面a内. .72. 第八章 立体几何初步 2.一些文字语言、图形语言与符号语言的对应关系 (续表) 图形语言表达 符号语言表达 过由 文字语言 图形语言 文字语言表达 符号语言 点A在直线/上 点A在直线/外 点A在平面。内 如果两个不重合 在画两个相交 ,且 ( ,_ 的平面有一个公 平面时,如果其 →a 共点,那么它们有 中一个平面的g-1,且PE 点A在平面a外 且只有一条过该 一部分被另一 点的 个平面挡住,通 直线/在平面。内 常把被挡住的 部分画成虚线 或不画 2.三个基本事实的作用 直线/在平面a外 (1)基本事实1:①确定一个平面;②判断两个 平面重合;③证明点、线共面 (2)基本事实2:①判断直线是否在平面内,点 是否在平面内;②用直线检验平面 直线/,n相交于 点A (3)基本事实3:①判断两个平面相交;②证明 点共线;③证明线共点 3.基本事实1和基本事实2的三个推论 平面a,相交于 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确 直线 定一条直线”,可以得到下面三个推论: 推论1 ,有且只有一 要点三 平面的基本性质 个平面,如图① 1.三个基本事实 推论2 ,有且只有一 翻 图形语言 文字语言 符号语言 个平面,如图②. 推论3 ,有且只有一 的 过 个平面,如图③. A.B,C三 ##_在)) 期长一 三个点, 点不共线→ 个平面;也可以 ② ② ③ 存在唯一的 简单说成“不共线 辨析 平面a使 的三点确定一个 A.B.CEa 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 平面” (1)空间不同三点确定一个平面 _ (2)有一个平面的长是50m,宽是20m. 长抽习 如果一条直线上 在一 (3)两个平面若有三个公共点,则这两个平面 个平面内,那么这 重合. ) 条直线在 →lC (4)若一条直线与两条平行线都相交,则这三 C. 条直线在同一个平面内 ) .73. 数学 必修 第二册 课堂学案 关键能力素养提升 答案见Ps 探究一 文字语言、图形语言、符号语言的相 【变式1】如图,用符号语言可表示为 互转换 A.aOj=m,nCa,mn=A B.aOB-m,na,mn=A 规律总结 C.aOj=m,nCa,ACm. ACn 学习几何时,文字语言、符号语言与图形语 言间的互相转换是一种基本技能,要注意符 D.aOB-m,nEa,AEm,An 号语言的意义,如点与直线、点与平面之间 探究二 点、线共面问题 的位置关系只能用“仁”或“”,直线与平面 之间的位置关系只能用“一”或“”,用图形 解题技巧 语言表示点、线、面之间的位置关系时,要注 证明点、线共面的方法技巧 意实线和虚线的区别. 在证明点,线共面时,主要的依据是基本事 【例题1】用符号语言表示下列语句,并画出 实1、基本事实2及其推论,常用的方法 如下: 图形. (1)纳入法:先由部分点或直线确定一个平 (1)三个平面g,8,v相交于一点P,且平面。 面,再证明其他点或直线在这个平面内. 与平面3相交于PA,平面。与平面z相交于 (2)同一法:先证明一些元素在一个平面内, PB,平面8与平面相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面 再证明另一些元素在另一个平面内,然后证 ABC与平面ADC相交于AC 明这两个平面重合,即证得所有元素在同一 个平面内, (3)反证法:先假设点、线不共面,再由已知 推出矛盾,得出点、线共面。 【例题2】(参选)下列说法不正确的是 ~ A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A.B.C.D共面,点A.B.C.E共面. 则A,B.C,D.E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线 c共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 __ 第八章 立体几何初步 【变式2】过直线/外一点A作三条直线a,b,c (2)已知平面g,平面8,平面~两两相交于直 分别与/相交于点B,C,D,求证;直线a,b,c 线么,,,且,,互不平行,如图所示 1在同一平面内 求证:,,交于一点 探究三 点共线、线共点问题 解题技巧 【变式3】(1)如图1,D,E分别是△ABC的边 (1)点共线问题是证明三个或三个以上的点 AC,BC上的点,平面。经过D,E两点,直线 在同一条直线上,主要依据是基本事实3.常 AB与平面。的交点为P,求证:D,E,P三点 用以下两种方法:①首先找出两个平面,然 共线. 后证明这些点都是这两个平面的公共点,根 据基本事实3知,这些点都在这两个平面的 交线上;②选择其中两点确定一条直线,然 后证明其他点也在这条直线上. (2)证明三线共点问题的基本方法是先确定 图1 待证的三线中的两条相交于一点,再证明第 图2 三条直线也过该点,常结合基本事实3,证明 (2)如图2,已知平面a,3,且a0B-1.在梯形 该点在不重合的两个平面内,即该点在它们 ABCD中,AD/BC,且ABCa,CDC③求 的交线(第三条直线)上,从而证明三线 证:AB,CD,1相交于一点 共点. 【例题3】(1)如图,在四边形ABCD中,已知 AB/CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面 a相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点 共线. .75. 数学 必修 第二册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pas 1.下列表示两个相交平面的画法正确的是( 4.(参选)如图,在正方体ABCD-A.B.CD中,C 为DB的中点,直线A.C交平面C.BD于点 ( M,则下列结论正确的是 ) A B D 2.以下可以确定一个平面的是 。 _ A.一条直线 B.两个点 C.一个点和一条直线 A.C,M.O三点共线 D.从菱形的四个顶点中任取三个点 B.C,M,O.C四点共面 3.设平面;与平面B交于直线1,AEa,BEa,且 C.C,O,A,M四点共面 直线ABO/-C,则直线ABOg- ) D.D.,D,O,M四点共面 D.C A.A B.B C.AB I提示 完成P课时作业(二十二) 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 [学习目标]1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系, 2.发展数学抽象和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 空间中直线与直线的位置关系 要点二 空间中直线与平面的位置关系 1.异面直线 直线a在平面a外 位置 直线a在 (1)定义:我们把不同在 的两 直线a与平面 关系 平面内 直线a与平面 条直线叫做异面直线 a相交 平行 (2)异面直线的画法:为了表示异面直线不共 公共 面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬 点个数 公共点 公共点 公共点 托,如图. 符号 ##77#_## 表示 形 ###_# 表示 阁1 图2 图3 要点三 空间中平面与平面的位置关系 2.空间两条直线的三种位置关系 位置关系 符号表示 0图形表示 公共点个数 :在同一平面内. 有且只有 两个平面 ,共面直线 平行 :在同一平面内. 两个平面 个公 [不同在任何一个平面内, 共点,并在一条 异面直线: 相交 公共直线上 .76·