7.3 复数的三角表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

[变式1](1)因为}-(-+)* 2.D 解析因为z-1+i,所以iz+3-i(1+D+3(1-i-2 2i,所以liz+3l-4+4-22.故选D项. #1-#3--1-## 3.A为--2-)01+545-1,所以该 10 10- 所以1++-1+(-+)+(--)-0. 复数对应的点为(,),即该点在第一象限,故选A项。 4.(1)因为2o-2+2o,所以2-22(1-21)-2+ (2)-·-(-+)(-) z-1 m-2i i.所以复数z。的共辄复数为2一i. -(-)-()-1+3-1. (2)方法一 因为z是关于x的方程r一mr十5-0的一个虚 根,所以(1-2i)②-m(1-2i)+5=0,即(2-m)+(2m-4)i [例题2]D因为-(--)-2--),所以 0.又因为m是实数,所以2-m=0,且2m-4-0,所以m的 值为2. $+1=(-)*+(-)*+1-[(-]+(-i)+1=-1- 方法二 因为实系数一元二次方程的虚根互为共矩复数,所 i计1--i.故选D项. 以1士2i为方程的两根,所以n=(1十2i)十(1-2i)-2 [变式2]D因为+*++&++*-(1+i+十) 7.3 复数的三角表示 *$+i-1-i=0(z),所以1+i++.+*=1+ (?++)十({十&十+&)十..+(*+*++*)= 必备知识·基础落实 1+0+0十...十0-1.故选D项. [例题3](1)2--21(1-)-1-5 要点一 1.模 辐角 2.0<2x argz 0<arg z<2 #--# (2)rcos9 rsine (2)(1+2)*+3(1-)-3+4i+3(1-) 要点二 2十i #(2-))-1+21+2. 2+i -) 1.rr[cos(6+8)+isin(6+6)] 2.81Ir: (3)1-31-3-1-3(-3 3.[oos(-8)+isin(-6)] (3+i)2+23i2(1+3i(1-3i [辨析]解(1)正确,终边相同的角的三角函数值相等 (2)正确,2024-2024(cos0+isin0). -2-3 (3)正确,任何一个不为零的复数的辐角的主值都是唯 (-2)(i-1) (i-2)(i-1)i-2)(-1)-i-1,所以 #、.21)11+) 一的。 -2十i (4)正确,若复数的模与辐角的主值相等,则实部和虚部分 别相等. 原式-(i-1+(-i-i-1-i--1. (1)(2)(3)(4) (2)(1-4i)(1+i)+2+4i5-3i+2+4i 3十4i 3十4i 关键能力·素养提升 (7+i)(3-4i)21-28i+3i+4 [例题1]D解析因为z-2(cos30*-isin30})-2(cos330*+ 25 isin330{},所以其辐角的主值是330{},故选D项. 25-25i-1-i. 25 [例题4]解析(1)因为A-4-4×1×5=-4<0,所以方程 ##[C0(-)十isin(-一)].故选B项. 2×1 [例题2](1)复数1十i对应的向量如图所示,则,一 #-2:cos-# (2)因为△-(-3)②-4×2×4--23<0,所以方程2-- #### 3r+4-0的根为-3土-23)1,即-3士23 2X2 [变式4]解析(1)当a一0时,解得bR,不符合题意,所以原 方程为一元二次方程,因为实系数一元二次方程的虚根成 对(互为共复数),所以1士i为方程的两根,所以可得 1+i+1-i-五 故a十--1.故选A项. 因为复数1十i对应的点在第一象限,所以arg(1十i)- 于是1+i-v2(cos+isin). (2)由题意得△-k^}-4(^}-2)--3k^{}+8k<0,所以 $ (2)复数一+#对应的向量如图所示, $或 8,设两根为zi,z2,则2=,|2-|zl-1,所 以z·2=-2-1,解得=1-②,h=1+②(不合 意,舍去).所以实数的值为1一②. 答案(1)A(2)1-v2 随堂检测·学以致用 1.C 解析由题意得z-i(i-1)一-1一i.故选C项 ·277· 则,- (-){}+(3){}-1,cos --.因为复数$ & 3.B4(sin+ioos3)4×+×(i- #+#对应的点在第二象限,所以arg(-)一 2v2i.故选B项 4.V3(os5+isin5)+3(os 4+isin)]= #,#是+-co#2-+isin2- #3X4()+isn()]- o(+ [变式2]Dz-4(cos5+isin)=4(-+4$ isin(一)]-4i. (-2)-2v2-2v2i.故选D项. -4 [2(oos吾+isin吾)]{ 章末复习方案 [例题3]解(1)易知3+) 1+③ 2(eos吾+isin) [真题1](1)若z=-1-i,则|zl= (-1)十(-1) 32(0i0) ②.故选C项. _-16(cos+isin)-16i (2)因为(a+i(1-ai)-a-a}i+i+a-2a+(1-a)i-2 ##(o0in) 所以 (2-2. 1-a2-0. 解得a一1.故选C项. (2)O乙绕原点O按逆时针方向旋转60{所得的向量对应的 复数为(3)(o 60+isin 60)()·(+ 1-2i,则-1+2i.故选B项. #31)-1,Oz绕原点O按顺时针方向旋转30”所得的向量对 答(1)C (2)C (3)B [真题2]解初(1)由 =5+i→=5-i,z+=10,则i(十 应的复数为(-:)[os(-30°)+isin(-30)]-( 10i.故选A项. ##)(6)).# 1-i.故选C项. (3)5(cos吾+isin)·2(cos+isin) -1o(Co2+isin) 解得 -1o(6+②:) 5V6-5、256+52: [真题3]解(1)(2)(2-)=)5 5(1+)5(1-D-1-i.故选C项. (1)16i(2)1,-(3)5、6-5、256+52 (2)因为-1(1)-1所以= 1-111 [变式3](1)x=3(cos +isin)×3(cos #+ #1,即x---i.故选A. isin 7r)-v33co(+)+isin(+7) (3)由题意可得(2-305213-4. 5+14+30(2 203i03-1. 13 答案(1)C (2)A(3)4十i (2)zzz=3(cos 18*+isin 18)X4(cos 108*+isin 108*)x [真题4]解(1)因为(1+3i)(3-i-3+8i-3^*-6+8i,则 1(sin 66*+icos 6)-3(cos 18*+isin 18")X4(cos 108+ 所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A项 (2)z在复平面内对应的点是(一1,v③),根据复数的几何意 isin 108°)x(cos 24*+isin 24-3×4×1[oos(18*+108*+ 义得。--1+③i,由共辄复数的定义可知,--1-③ 故选D项. 24*)+isin(18{*+108{+24)]-2(cos150*+i·sin150) (1A(2)D 一③十i. cos 75*-isin75* (3)证明:左边-(cos 750+isin75)(co0s 75-isin 75) 第八章 立体几何初步 -c0s 75-isin 750 8.1 基本立体图形 c05750+sin750一右边.。 所以原等式成立. 必备知识·基础落实 随堂检测·学以致用 要点一 1.D 解根据复数的三角形式的特点可以判定只有2一 1.形状 大小 空间图形 2.(1)平面多边形(2)①多边形 ②公共边 1(cos300+isin30”)表示的是复数的三角形式.故选D项. ③梭与校 (3)定直线(4)定直线 2.BD-3+3i-2v3(+1:)-23(cos吾+i· [练习]A 解根据多面体和旋转体的概念可知,①是多面 体,②是旋转体,故选A项 sin吾)-2v3(cos13r+isin13r).故选BD项. 要点二 (1)平行 平行 (2)平行 多边形 平行四边形 公共边 ·278.数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pm 1.(2024·北京)已知=i-1,则x= (2)若x是关于x的方程x2-mx十5=0的一 个虚根，求实数m的值. A.1-i B.-i C.-1-i D.1 2.(2022·全国甲)若=1+i,则1i这十3z= ( A.45 B.4v2 C.25 D.2v2 3复数在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知复数x=1一2i (1)若=2：十0，求复数的共轭复数； 提示完成P课时作业（十六）和P培优训练（三） 7.3复数的三角表示 [学习目标]1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关 系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，4发展数学抽象和数学运算的核心素养， 444444444444444444444444444+444444444 4444444444+44444444444444444+444444444444444444444+4+44+4 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 复数的三角表示式 3.复数的两种形式的互化 1.定义 (1)在a+bi=r(cos0+isin0)中，r= 如图所示，一般地，任何一 ,a+b1 cos 0= .sin 个复数之=a十bi都可以表 (2)在r(cos0+isin0)=a+i中，a= 示成r(cos0+isin0)的形 b 式.其中，r是复数之的 0 :0是以x轴的非负半轴为始边，向量 要点二复数乘、除运算的三角表示及其几何 OZ所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数 意义 x=a十bi的 ,r(cos0+isin0)叫做复 L.复数乘法运算的三角表示 数之=a十bi的三角表示式，简称三角形式.a十 如果1=n1(cos0十isin0),2=r2(cos十 i叫做复数的代数表示式，简称代数形式. isin02),那么2=n(cos0+isin）· 2.辐角的主值 规定在 范围内的辐角0 ra (cos 0:+isin 02 ) 的值为辐角的主值，记作 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数 即 的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。 ·54 第七章复数 2.复数乘法的几何意义 把OZ,绕点O按顺时针方向旋转角 两个复数，2相乘时，可以 (>0,如果a2<0,就要把OZ按逆时针方向 像图中那样，先分别画出与 旋转角 ),再把它的模变为原来 ,对应的向量OZ,OZ, 的 ,得到向量O立，O立表示的复数就 然后把向量OZ绕点O按逆 时针方向旋转角 (0>0,如果0< 是商 0,就要把OZ绕点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍，得到向量OZ,O2表示的复数就是积1. 3.复数除法运算的三角表示 辨析 如课a=n(cosa+isin),=n(cos4十isin), 且4≠，≠0，那么-n(cosA十isin0) 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” zara (cos 62 +isin 02) (1)z=r(cos0十isin0)是复数x=a十b所i的三角 这就是说，两个复数相除，商的 形式，其中0的值有无数个. () 模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商 (2)arg2024=0. () 的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所 (3)任何一个不等于零的复数的辐角的主值都 得的差 是唯一的。 4.复数除法的几何意义 (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐 如图，复数，2对应的向量分别为OZ,OZ, 角的主值分别相等. 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 复数三角形式的有关概念 【变式1】当0<0<号时，复数z=tan0十i的辐角 解题技巧 的主值是 判断复数的三角形式与求解复数的辐角的 A.0 B8-0 主值，要严格按照复数的三角表示式进行， C.π-0 对于不是以复数的三角形式表示的式子，要 n经-0 根据复数三角形式的定义将其转化，再进一 探究二 复数的代数形式与三角形式的互化 步判断 规律总结 【例题1】复数z=2(cos30°一isin30)的辐角的 主值是 ( (1)将复数的代数形式化为三角形式，其步 A.30 B.150° 骤是求出模「、确定复数对应的点所在的象 C.210° D.330° 限、求出辐角0、写成三角形式r(cos0十isin0). (2)将复数的三角形式化为代数形式，先求 复数的实部a=rcos0和虚部b=rsin0,再 将复数写成代数形式a十i. 55 数学必修第二册课堂学案 【例题2】画出下列复数对应的向量，并把这些复 原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转 数表示成三角形式。 60°和30°，则所得的向量对应的复数（用代数 (1)1+i: 形式表示)分别为 -g+ (3)计算：5(cos吾+isin）·2(cos开+ isin） 【变式3】(1)已知复数1=(cos子+isin5）) 【变式2】复数=4(o牙+in平)的代数形 (2)已知复数1=3(cos18°+isin18),z2= 式为 4os10g*+iin108).=君(sm66+ A.x=2w2+22i icos66),求122a. B.=-2√2+2√2i (3)求证：os75+in7分=0s75-itn75. C.x=2√2-2v2i D.z=-2√2-2v2i 探究三 复数乘、除运算的三角表示及其几何 意义 误区防错 4年444444444 中44444444444444444444 对于两个复数相乘、除，一定要注意其表示 形式，符合三角形式时才可以使用复数三角 形式的乘、除法运算法则.对于运算结果，当 不要求把结果化为代数形式时，也可以用三 角形式表示 【例题3】1)计算：，5+i 1+√3i (2设=}-停：对应的向量为0应，将0立绕 ·56· 第七章复数 随堂检测学以致用 答案见P L.下列复数的表示形式是三角形式的是( C=25(os5+isim） A=2（cas602-isin60 Bx=2(sin60+icos60） Dng=25(eos1g+ioin1） C.=3 cos30°+isin60) 3复数4(sm3红+icos不)的代数形式是( D-号(cms30°+in30 A.2w2十22i B.2w2-22i C.-2√2-2w2i D.-22+2V2i 2.(多选)复数之=3十√3i的三角形式可以是 ( 4.5(cos+iin）÷[(cos暂+i· A=23(cos等+isin3) sin 2 ] Bx=2V3(cos否+isin) 提示完成P课时作业（十七） 章未复习方案 知识网络体系构建 复数 复数的概念 挺数代数形式的运算 艾数的三师在示 共 复 复数的定义及其分类 数相等的充要条件 复数 复数的 复数的 的 的柔 数的除法 法法则 法则及其几何 的乘法法则 式 的 其儿何意义 义 义 知识整合 融会贯通 答案见P 探究一 复数的概念 只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满 解决复数概念问题的方法及注意事项： 足的方程（不等式）组即可. (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转 (2)解题时一定要先看复数是否为a十i(a, 化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题， b∈R)的形式，以确定实部和虚部.复数与实数 ·57·