课时作业4 向量的数乘运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（四） 向量的数乘运算 答案见P 1基础训练 9.化简下列各式 1.给出下列三个结论： a3(6a+b)-9(a+号b): ①AB-AC-BC, ②00=0： (22[3a+2)-(a+2b)]-2(2a+: ③当<0，a≠0时，a与a的方向一定相反. (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 其中正确结论的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a十6b, CD=7a-2b,则一定共线的三点是 ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 3.在平行四边形ABCD中，点E是线段BC的中 点，若AE=λAD+uBD,则入-u A-号 B3 10.判断下列各小题中的向量a与向量b是否 c-8 n号 共线。 (1)a=-2e,b=3e: 4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的 中点，且2OA+O+OC-0,那么 (2)a=e1-e2,b=-2e1十2e2(e,e2不共线)； A.AO=OD B.AO=2 OD (3)a=2e1十e2,b=e1十2e2(e1,e2不共线). C.A0=30D D.2 AO-OD 5.(多选)在△ABC中，M为边AB的中点，则 A.AB+AC-BC B.MA-M心=CA c.CM-Ci+2A庙 D.AM-C第-CM 6.已知a=4,b与a的方向相反，且Ib|=2,a= mb,则实数m= 7.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边 AC上，且EC=2AE,则向量EM= (用 AB,AC表示) &.在△ABC中，A=NC,P是直线BN上的- 点.若A泸=mA+号AC,则实数m的值 为 ·155· I能力提升 川拓展探究‖ 1L.若5AB+3CD=0,且AD1=BC,则四边形 15.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G ABCD是 作直线分别交AB,AC两边于M,N两点，且 A.平行四边形 B.菱形 AM=xAB,AN=yAC,则3x十y的最小值 C.矩形 D.等腰梯形 为」 12.(选)如图，在△ABC中，延长CB到D,使BD= BC,当点E在线段AD上移动时，若AE-λAB十 :AC,则t=入一：的值可能是 16.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是 OB的三等分点且靠近点B,DC和OA交于点 E,设OA=a,OB=b. (1)用a,b表示向量OC,DC; A.-1 B.0 C.1 D.3 (2)若OE=λOA,求入的值. 13.设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+ 2OB+2OC=0,则△ABC的面积与△BOC的 面积的比值为 A.6 B号 c号 D.5 14.已知点O,A,B为定点，点P关于点A的对称 点为点Q,点Q关于点B的对称点为点R.设 OA=a,OB=b,用a,b表示PR. ·156根据向量加法的平行四边形法则，得|a十b≤a十b,故2.A解析固为Bd-BC+CD-2a十4幼，而A店=a十2b,所以 ③正确；根据向量减法的三角形法则，得|a一b≥a一|bl, 故④错误。 B励=2AB,即BD与AB方向相同，又两向量有公共点B,故 答案③ A,B,D三点共线.故选A项. 10.解桥1)M-M亦+-F-(+NO)-M+PO 3.D解桥因为应-店+2疝-ò-励+号A心-多茄 MQ-MQ-0. (2)BD+DC+AB-AC=(BD+DC)+(AB-AC)=BC+ 励，所以=号故选D项 CB=0. 4.A解析因为2OA+OB+OC=0,而OB+O心=2Oi,所以 11.B解桥因为Oi+O心-Oi+Od,所以O1-O范=Od- 2OA+2OD=0,即OA+OD=0,所以A0=OD.故选A项. OC,即BA=CD.又A,B,C,D四点不共线，所以|BA|= 5.BCD解析如图所示，BC-BA十AC≠AB+AC,A项错误： CDl,且BA∥CD,故四边形ABCD为平行四边形.故选B项. Mi-MC-Ci,B项正确：C应-Ci+A=Ci+号A店，C 12.AC解析因为FE,AB长度相等方向相同，所以FE=AB, 项正确；C亦-C=M市=A立，D项正确.故选BCD项. A项正确：因为A直∥DE,DE,CE不共线，所以A直，CE不 C 共线，B项错误：因为O才=Ed,所以O才-E市=E动-ED= D,C项正确：因为∠BOH=90°，所以O克+O庐≠2OA,所 以OB+O殖≠一2OE,D项错误.故选AC项. 13.解析因为四边形ACDE为平行四边形，所以CD=A正=c, BC-AC-AB=b-a,BE-AE-AB=c-a,CE=AE- AC=c-b,BD-BC+CD=b-a+c. 14.解析如图，作AB=a,AD=b,作平行四边形ABCD,所以 6照纺由题意可得m=一合=一2 答率一2 AC=a十b,DB=a-b.周为|a+b=|a-b|,所以AC= BD1,所以平行四边形ABCD是矩形，所以a一b=DB= 7.解析因为点M是△ABC的边BC的中点，所以AM √/6+82=10. 合+A0,所以E成=i+Ai=-}花+是成+ A0=2A+若Ad 器号A+名AC 15.解桥因为Oi+0心-O成+0币-0，所以0A=ò，0成- &解扬方法一由A衣=}N心，得衣=号A心.设萨 DO,所以四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD1=1,所 kBN,因为AP=A店+B驴=AB+kB成=AB+k(AN 以四边形ABCD为菱形.又aOs∠DAB=号，∠DAB∈(0，， A店)=1-)A店+套AC,且A护=mA店+名AC,所以可得 所以∠DAB=0,所以△ABD为正三角形，所以0-所 1一k=m, 以D心+BO=A店+A=AC=21Aò=3，CD+BC= =，解得=2，m=-1 BD1=AB1=1. 16.证明如图，延长BO交圆O于点D,则BD为围O的直径， 方法二 由A亦=C,得AC-5A成，所以A市=mA店+ 且OB与OD互为相反向量，即OB+OD=0, 号花-m+2,由P,B,N三点共线得m+2=,则 连接AD,DC,则AD⊥AB,DC⊥BC, 再延长AH交BC边于点E,延长CH交AB边于点F, m=-1. 答案-1 9.解析(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=2(2a+受）-a-是b=a+子ba-是b-0 (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. 10.服颈（1)国为a=-2,b0,所以b一是（一29）=一受a所 以a与b共线 由垂心的性质有AE⊥BC,CF⊥AB,所以DC∥AE,AD∥CF, (2)因为a=g-e,所以b=-2e1+2e=-2(e-e2)= 所以四边形ADCH是平行四边形，所以AH=DC, -2a.所以a与b共线. 所以DC=OC-OD=OC+OB, (3)假设a与b共线，则存在唯一一个实数入，使b=加成立， 在△OAH中，有Oi-OA+Ai-OA+D元-OA+OB+元 即g+2e=λ(2e+),整理得(1-2λ)g十(2-a)e2=0.由 课时作业（四） 于0与e不共线，所以日≠0，≠0，所以1一2以=0，且2 1.C解析①A店-AC=C克，所以①错误；②00=0，所以②正 X=0,即X=号且入=2（矛盾）.所以a与b不共线 确；③由<0可得Aμ异号，所以a和a中，一个与a同 11.D解标由5AB+3CD-0知，AB∥CD且AB≠CDL,所 向，另一个与a反向，所以a与ua反向，所以③正确.故选 以此四边形为梯形.又AD1=BC,所以梯形ABCD是等 C项. 腰梯形.故选D项 ·307· 12.D解插设A证=kAD,0<k≤1，则A正=k(AC+2亩)= 课时作业（五） [AC+2A店-AO]=2A店-kAC,周为A证=AA店+uAC, 所以所以1=跳又0长1，所以03≤ LA服预由题意得a:b-子=1X2X号=1.故 3.故选BCD项 选A项. 13.D解析延长OB到D,使OB-BD,延长CC到E,使OC- 2.B解析由题意得a-2b2=(a-2b)2=d-4a·b+4= CE,连接AD,DE,AE,因为Oi+2O克+2心=0，所以OA+ 1a-4abms60+4到bP=4-4X2X1X号+4=4，所以 O市+OE=0,所以O为△ADE的重心，所以设S△0D= |a-2b=2.故选B项. SAm=5Am=S,剥5Am=Sa=含S,SAm=S,所 3.BCD解析因为数与向量相乘的积为向量，即0a=0,所以 A项错误；向量的数量积运算满足交换律，所以a·b-b·a, 所以B项正确；根据数量积的定义知d=allalcos0=a2,所 -=5. 以a=a2,所以C项正确：向量的数量积运算满足分配律， 所以D项正确.故选BCD项. 故选D项 4,B解析如图，记黑色小圆的圆心为O,则AB=4A可，因为 A可在AC上的投影向量为AC,所以向量AB在向量AC上的 投影向量为4AC.故选B项. D 14.解桥由题意得P求-P+Q成-2pA+2成=2(Pò+ OA)+2(BO+OR)=2(PO+OR)+2(0A+BO)=2 PR+ 2(a-b),所以PR=-2(a-b)=2(b-a). 5.B解析设e1与e2的夹角为0，由题意知e1|=|e2|=1, 1e-4e12=13,所以e-4e12=|e12-8e·2+16e12= 13,解得台·=空，所以1X1Xc0s0=合，又0<0<180， 所以0=60°，故选B项. 6.C爵析因为D为边BC的中点，所以AD-号(A店+AC, C市=Ci=号(A店-AC,所以AD·C市=(A店+ 15.解扬根据条件知A心C-A本，花=上AM又A心=号A店+ AO·号A店-AC)=}(IA店-A花)=(36 号花，所以心-矿+成.又MGN三点共线，所以 AC2)=5,解得AC1=4故选C项. 7.解析由题意得b-1,a·b-2X1Xcos2红-一1.因为a+ 十证-1.由题感知>0>0，所以3+y(x十)· 3 b与a-3b互相垂直，所以(a十b)·(a-3b)=a2-3a· (绿+号)-+号+>音+25孟， 3 b+b·a-36=4以+3-1-3=7X-4=0,所以x=号. 当且仅当子一法即y一5x时，等号成主，故3江十y的最 答系号 小值为4十2⑤ 8.解析因为c=2a-√5b,a·b=0,所以a·c=2a2-√5a·b- 3 2,c2=4a2-4√5a·b+5|b2=9,所以|c|=3,所以 图图中9 0=8治-灵-号故夫角0的余孩值为号 2 16.解扬(1)由A是BC的中点，得Oi=号(O成+0，从而 器号 0心=2Oi-O克=2a-h.由D是OB的三等分点且靠近，点 9.解粉(1)因为a∥b,所以若a与b同向，则a·b=al lbloos0°- B,得i-号0成，从而-元-0d-(2a-b-号b-2a 4×5=20:若a与b反向，则a·b=|al|bcos180°=4X5X (-1)=-20.综上，a与b的数量积为土20. 哥6 (2)当a⊥b时，a·b=|a|blcos90°=0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b=|a|bcos60°=4×5× (2)由C,E,D三点共线，可设E心=uD心，又E心=O心 0庞=(2a-b)-a=(2-0a-b,D心=2a-号b,从而(2 -10， 10.解析(1)由题意得a·b-a1bcos120°=一3，因为m⊥n,所 2-A=24, 以m·n=(3a-2b)·(2a十b)=6c+(3k-4)a·b-2b2= 0a-b=(2a-号b),又ab不共线，所以 24-3(3k-4)-180=0,解得=号 得=导 (2②)当k=号时，m=2a+号6，所以m·n=-36,周为m= ·308·