课时作业2 向量的加法运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（二） 向量的加法运算 答案见Ps I基础训练 9.化简下列各式. 1.在四边形ABCD中，AC=AB+AD.则() (D)AO+BC+OB: (2)(AB+MB)+BO+OM A.四边形ABCD一定是矩形 B.四边形ABCD一定是菱形 C.四边形ABCD一定是正方形 D.四边形ABCD一定是平行四边形 2.在平行四边形ABCD中，BC+CD+DA= ( A.BD B.DB C.BA D.CB 3.四边形ABCD是梯形，AD∥BC,则OA+BC+ AB= A.CD B.OC C.DA D.0 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与 4.下列各式中不能化简为AD的是 BD交于点O,P为平面内任意一点，求证： A.(AB+CD)+BC PA+PB+PC+PD=4 PO. B.AD+(CD+DC) C.(CM+BC)+(AD+MB) D.(MB+AD)+MB 5.(多选)对任意向量a,b,恒成立的有 A.a+b=b+a B.(a+b)+c=b+(a+c) C.a+b=al-bl D.la+b≤a+|b 6.设a表示“向东走了2km”,b表示“向南走了 2km”,c表示“向西走了2km”,d表示“向北走了 2km”,则a+b+c表示向 走了 km: b+c十d表示向 走了 km. 7.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，|AB|=1,则 BC+CDI= 8.若a=b=1.则1a十b的取值范围为 ·151. 能力提升川 ‖拓展探究川 1L.若在△ABC中，AB=a,BC=b,且|a=|b 15.如图，若点P为△ABC的外心，且Pi+PB 1,a十b1=2,则△ABC的形状是 PC,则∠ACB的大小为 A.正三角形 B.锐角三角形 C,斜三角形 D.等腰直角三角形 12.(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是 () 16.如图，已知向量a,b,c,d. A.若线段AC=AB+BC,则向量AC-AB+BC (1)求作a+b+c+d: B.若向量AC-AB+BC,则线段AC=AB+BC (2)设|a|=2,e为单位向量，求a十e的最 C.若向量AB与BC共线，则线段AC-=AB+BC 大值. D.若向量AB与BC反向共线，则AB+C第1 AB+BC 13.若a,b满足a=2,b=3,则a+b的最大值 东 为 ,最小值为 14.在重300N的物体上系有两根绳子，这两根绳 子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30°，60°，如图所示，求重物平衡时，两根绳子拉 力的大小 60 300V ·152.课时作业答案 处有八条路可走.如图所示，以B为起点作向量，共3个：以 课时作业（一） C为起点作向量，共8个.所以以B,C为起点表示马走了 1.B解析零向量的长度为0，故A项正确：零向量的方向是 “一步”的向量共有11个 任意的，与任何向量都平行，故B项错误，C,D项正确.故选 B项. 2.C解析设圆O的半径为r,由题意和图可知OB=C1 AO=r.故选C项. 3.B解析固为a,b为非零向量，所以a∥b时，a,b方向相同 答系11 或相反，因此“a∥b”是“a,b方向相同”的必要不充分条件.故 14.解析画出所有的向量AC,如图所示 选B项 4,C解析速度、位移是向量，不能比较大小，故A,B项错误： 路程是数量，可以比较大小，且s=90×2=180(km),8摩 45×2=90(km),所以st>s摩，故C项正确.故选C项. 5.ABD解析由题目条件可知AB=EF,AB∥CD∥FH,CD= FG,但是∠DEH不一定等于∠BDC,故BD与EH不一定 平行，所以A,B,D项成立，C项不一定成立.故选ABD项. 6.解折边长为2的正方形的对角线长为2/2，所以Q4=/2. 答室2 由图知，当点C位于点C或C:时，BC1取得最小值，为 7解析对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故 /+2=√5：当点C位于点C,或C时，BC1取得最大 ①错误：对于②，a≠b时，a与b的方向可能相同，故②错误： 值，为√④+5-√I.所以BC的最大位为√4红，最小值 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误：对于 ④，向量是可以自由平移的，当两个向量相等时，它们的起点 为5. 和终点不一定相同，故④错误.故正确命题的个数为0. 答多4Tw5 答率0 15.解析因为在四边形ABCD中，AB=DC,所以四边形 8.解析与向量AB平行且长度为2的向量共有24个：与向量 ABCD是平行四边形.因为tan∠D=3,所以∠B=∠D= AB方向相同且长度为32的向量共有2个， 60°.又AB1=AC,所以△ABC是等边三角形，所以 答率242 AB=BC,所以四边形ABCD是菱形. 9.解析(1)与向量H心相等的向量只有E示， 答案菱形 (2)与向量H心平行的向量有EF,F正.AC,CAGi 16,解析(1)根据相等向量的定义，所求作的向量与向量a平 行，且长度相等，如图中的b即为所求作的向量. (3)与向量HC的长度相等的向量有Gi,EF,FE (2)向量℃如图所示.由平面几何知识可知，所有满足条件 (4)与向量HG的长度相等、方向相反的向量有G立，F它 的向量c的终，点的轨迹是以A为圆心√5为半径的圆. 10,解析根据题意，在平面内任取一点为A,按照题意要求方向， 作线段AB=4.BC=6,1CD=4,则向量AB,BC和CD如 B:b 图所示. CD 课时作业（二） L.D解析由向量的平行四边形法则知，四边形ABCD一定是 A 平行四边形.故选D项 1L.BD解析由题意可知OM-NO,MO-O术.故选BD项. 2.C 解插B武+CD+Di=D+Di=Bi.故选C项. 12.ACD解析因为a∥b且|a=b,所以a=b或a=-b,若 3.B解析OA+BC+AB=OA+AB+BC-OB+BC-O心.故 a=b,则a与b方向相同且a=|b,所以“a∥b且a=|b” 选B项. 是“a=b”的必要不充分条件，故A项正确，B项错误：因为a与 4.D解折对于A项，(AB+CD)+BC-AB+BC+CD=A: b方向相同且a=b,所以a=b,反之，若a=b,则a与b方向 相同且a=b,所以“a与b方向相同且a=|b1”是“a=b” 对于B项，AD+CD+心C=AD+0=AD:对于C项，(CM+ 的充要条件，故C项正确：若a与b方向相反或|a≠|bl, B+(AD+Mi)=BM+AD+MB=AD+0=AD,对于D 则a≠b,若a≠b,则a与b方向不同或a≠b,即由a≠b 项，(Mi+AD)+M亦=2M+AD≠AD.故选D项. 得不到a与b方向相反或a≠|b,所以a与b方向相反或 5.ABD解析因为向量加法满足交换律和结合律，所以A,B项 |a≠|b是a≠b的充分不必要条件，故D项正确.故选 恒成立：a十b=a一|b在a与b不共线时显然不成立， ACD项. 所以C项不恒成立：由向量模的几何意义知D项恒成立.故 13.解析马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C 选ABD项. ·305· 6,解析如图1所示，a十b十c表示向南走了2km:如图2所示，16.解析1)如图，在平面内任取一点0，作OA=a,A店=b, b+c十d表示向西走了2km. BC=c,CD=d,则OD=a+b+c+d即为所求. 1 答系南2西2 (2)在平面内任取一点O,作OA=a.A店=e,则a十e= 7.解析因为在菱形ABCD中，∠BAD-60°，所以△ABD为等 OA十AB=OB,因为e为单位向量，所以点B在以A为圆 边三角形，所以BC+CD1=BD1=AB=1 心的单位国上，如图所示，由图可知当点B在点B处，即 答室1 O,A,B三点共线时，a十e最大，最大值是3. 8.解标因为a=|b=1,所以0=|a|一|b1|≤a十b1≤ [a十|b=2,当且仅当a与b共线时取等号，其中左端的等 号是a与b反向时取得，右端的等号是a与b同向时取得， 所以a+b1∈[0,2]. 答系[0,2] 9.解折(I)AO+BC+O店=AO+O店+BC=AB+B=AC (2)方法-(AB+M)+BO+OM=(AB+B0)+(OM+ 课时作业（三） MB)=AO+OB=AB. L.ABD解析若b是a的相反向量，则b与a长度相等且方向 方法二(AB+M)+BO+OM=+(M店+BO)+OM 相反，结合向量共线和向量相等的定义可知，A,B,D项中的 AB+(MO+OMD-AB+0-AB. 说法正确：当a与b都是0时，a=b,C项中的说法错误.故选 方法三（店+M店）+B0+O=(AB+B0+OM+B ABD项， AM+MB-AB. 2.C解桥依题意得D-A心-花=AC+市-A花，即而-b a十c故选C项. 10.证朋国为PA+P店+P心+P币=Pd+A+P0+OB+P+ 3.C解折①Ai+CA+BC-=AB+BC+CA=AC+CA=0,正 OC+PO+OD=4PO+(OA+OB+0C+OD)=4 PO+ 确：②AB-AC-BC=CB-BC=CB+CB=2CB.错误； (OA+C)+(OB+OD)=4PO+0+0=4PO,所以PA+ ③AC-BC-AB=AC-AB-BC=BC-BC=0,正确.故选 PB+PC+PD=4 PO. C项. 11.D解桥因为1AB1=a=1,1BC=b1=1,AC1=AB+ 4.B解析如图，设菱形对角线的交点为O,因为∠DAB=60, BC=|a十b=2,所以△ABC为等腰直角三角形.故选 所以△ABD为等边三角形.又因为AB=2,所以OB1=1. D项 在R△AOB中，AO=√AB部-1O=3,所以BC+ 12.AD解插因为线段AC=AB十BC,所以点B在线段AC 上，所以AC=AB+BC,故A项正确：在△ABC中，AC DC=AD+D元1=AC=2AO1=23.故选B项. AB+B武，但由三角形的性质可知，AC≠AB十BC,故B项 不成立；若向量AB与BC反向共线，则AC≠AB十BC,故C 项不成立：因为向量AB与BC反向共线，所以AB十C AB+(-BC)|=AB+BC,故D项正确.故选AD项. 13.解析当a与b同向时，|a十b有最大值a十b=5:当a 5.AB解标由已知得|a-1b|≤|a-b<a+b1,则 与b反向时，a十b有最小值b一a=L a-b的取值范围是[2,6).故选AB项. 答系51 6.解析因为a,b为相反向量，所以a十b=0,即a十b=0.又 14.解析在如图所示的平行四边形中，∠AOC=30°，∠BOC= a=一b,所以a=|一b=1,因为a与一b方向相同，所以 60°，在△BC中，∠(OBC=90,所以OB1=1C1·c0s60° a-b=2. 150(N),在△AOC中，∠CAO=90°，所以1OA1=C· 答率02 c0s30°-1503(N),所以与铅垂线成60°角的绳子拉力是 7.解析由题意可知a,b,a一b构成了一个直角三角形，则a一b= 150N,成30°角的绳子拉力是1503N. √/a+b平=/5+12=13. 答率13 &.解析根据题意画出图形，如图所示，则d一a=AD-BD AD+DB=AB=c:d+a=AD+BD=AD+DC=AC=b. 609 15.解析因为P为△ABC的外心，所以PA=PB=PC,又因为 PA+P=P心，所以由向量加法的运算法则可得四边形 答率cb PACB是菱形，且∠PAC=60°，所以∠ACB=120. 9.解析当a,b≠0，且a,b同方向时，a十b>a一b1,故①错 答室120° 误：当a,b≠0，且a,b反方向时，a-b>a十b,故②错误： ·306·