课时作业3 向量的减法运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.解析如图1所示,a十b十c表示向南走了2km;如图2所示. 16.解(1)如图,在平面内任取一点O.作OA-a,AB-b btc+d表示向西走了2km. BC-c.CD-d,则OD-a+bc十a即为所求. :1 2 智南 2西 2 (2)在平面内任取一点O,作OA-a,AB-e,则a十e= 7.解析因为在菱形ABCD中, BAD-60{},所以△ABD为等 OA十AB-OB,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆 边三角形,所以|BC+CD-BD -AB-1. 心的单位圈上,如图所示,由图可知当点B在点B,处,即 1 O.A,B三点共线时,a十el最大,最大值是3. 8.解福因为a=b=1,所以0=|a -bl<a+b< a 十b一2,当且仅当a与b共线时取等号,其中左端的等 号是a与b反向时取得,右端的等号是a与b同向时取得, 所以a+b[o,2. 答案[0,2] 9.(1)AO+BC+OB-AO+OB+BC=AB+BC-AC (2)方法一(AB+MB)+BO+OM=CAB+BO)+(OM+ 课时作业(三) MB-AO+OB-AB 1.ABD若b是a的相反向量,则b与a长度相等且方向 方法二(AB+MB)+BO+OM-AB+(MB+B)+OM 相反,结合向量共线和向量相等的定义可知,A,B.D项中的 AB+(MO+OM)-AB+0-AB. 说法正确;当a与b都是o时,a一b.C项中的说法错误,故选 方法三(AB+MB)+BO+OM-(AB+BO+OM+MB ABD项. 2.C 依题意得BD-AD-AB-AC+CD-AB.即BD-b AM+MB-AB a十c故选C项. 10.因为PA+PB+PC+PD-PO+OA+PO+OB+PO 3.C ①AB+CA+BC-AB+BC+CA-AC+CA-0. +P+OD=4P+(OA+OB+OC+OD)=4P 确;②AB-AC-BC=CB-BC-CB+CB-2CB.错误; (A+OC)+(OB+OD)-4P+0+0-4PO,所以PA+ ③AC-BC-AB-AC-AB-BC-BC-BC-0.正确.故选 PB+PC+PD-4PO C项. 11. D 解因为AB=al=1.BC=b=1.AC=AB+ 4.B 解如图,设菱形对角线的交点为O.因为 DAB-60 BCl-la十b-②,所以△ABC为等腰直角三角形.故选 所以△ABD为等边三角形.又因为[AB|-2,所以OB|-1. D项. 在R△AOB中,AO-AB-OB-3,所以BC+ 12.AD 因为线段AC一AB十BC,所以点B在线段AC 上,所以AC一AB+BC,故A项正确;在△ABC中,AC DC|=AD+DC =AC|=2AO =23.故选B$ AB+BC,但由三角形的性质可知,AC:AB十BC,故B项 不成立;若向量AB与BC反向共线,则AC去AB十BC,故C 项不成立;因为向量AB与BC反向共线,所以AB+CB| AB+(-BC)|-AB+BC,故D项正确.故选AD项. 13.解福当a与b同向时,a十b有最大值lal十|b-5;当a 5.AB 福由已知得 a-b<a-b a+b,则 与b反向时,a十b|有最小值b一al-1. 解51 a一b的取值范围是[2,6).故选AB项。 6.解因为a,b为相反向量,所以a+b-0,即a十b-0.又 14.解析在如图所示的乎行四边形中, AOC一30{},BOC 60*”,在△BOC中,OBC=90”,所以OB]=C·cos 60°= a=-b,所以lal= 一b-l,因为a与一b方向相同,所以 la-bl-2. 150(N),在△AOC中,CAO=90{,所以OA =OC . 智02 cos30{}-150③(N),所以与铅垂线成60{}角的绳子拉力是 7.解析由题意可知a,b,a-b构成了一个直角三角形,则a-b a{+1b-5+12-13. 150N.成30{角的绳子拉力是150/3N 智13 8.解根据题意画出图形,如图所示,则d-a-AD-BD- 。 AD+DB-AB-d+a-AD+BD=AD+DC=AC-b 15.解霜因为P为△ABC的外心,所以PA-PB-PC,又因为 PA+PB一PC,所以由向量加法的运算法则可得四边形 cb PACB是菱形,且 PAC-60{,所以 ACB-120{ 9.当a,b0,且a,b同方向时,a十b a-b,故①错 120* 误;当a,b-0,且a,b反方向时,a-b→a+b,故②错误; .306. 根据向量加法的平行四边形法则,得a十b<al十|b,故 2.A 解因为BD=BC+CD=2a+4b,而AB-a+2b,所以 ③正确;根据向量减法的三角形法则,得a-blla|-b, BD-2AB,即BD与AB方向相同,又两向量有公共点B,故 故④错误. ③ A,B,D三点共线.故选A项. 10.解(1)M-MP+N-P-(MN+NQ)-(MP+P 3.D 解因AF-AB+AD-AD-BD+AD-3AD MQ-MQ-0. BD,所以入---故选D项。 (2)BD+DC+AB-AC-(BD+DC)+(AB-AC)-BC -o. 4.A 解因为2OA+OB+OC-0.而OB+OC=2OD,所以 11.B 因为OA+OC=OB+OD,所以OA-O=O $A+2OD-0.即OA+OD-0.所以AO-OD.故选A项. OC.即BA-CD.又A.B.C.D四点不共线,所以BA| 5.BCD 解析如图所示,BC-BA+AC AB+AC,A项错误 CD,且BA/CD.故四边形ABCD为平行四边形.故选B项. M-MC-CA.B项正确;CM-CA+AM=CA+AB$C 12.AC 解因为FE,AB长度相等方向相同,所以FE一AB 项正确:CB-CM-MB-AM.D项正确.故选BCD项. A项正确;因为AH/DE,DE,CE不共线,所以A.CE不 共线,B项错误;因为O-E,所以OA-ED--ED D.C项正确;因为 BOH=90{,所以OB+O2OA.所 以OB+O一2OE,D项错误,故选AC项. 13.因为四边形ACDE为平行四边形,所以CD-AE-c. $=AC-AB-b-a.B-A-AB-c-a.CE-A A--b.BD-BC+CD=b-a+c. 14.解如图,作AB-a,AD-b,作平行四边形ABCD,所以 A-ab.DB-a-b. 因为|a+b -a-b,所以|AC| = :-2 BD,所以平行四边形ABCD是矩形,所以|a-b-DB}= 7.解因为点M是△ABC的边BC的中点,所以AM一 #(AB+A),所以EM-EA+AM--A+(AB+ +8-10. A-AB+1AC AB+1AC 15.解因为OA+OC-OB+OD-0.所以OA-C.OB 8.方法-由AN-1NC,得AN-AC.设B- DO.所以四边形ABCD是平行四边形,又AB|-AD -1,所 BN,因AP-AB+B$-AB+ BN-AB+(AN AB)-(1-bAB+AC,且AP-mAB+AC,所以可得 所以 DAB-60^{},所以△ABD为正三角形,所以[AO- (1-b-n. 以DC+BC-AB+AD-AC-2AO-③CD+BC 解得-2,n--1. BD-AB-1. 方法二 由A-1NC,得AC-5AN所以A-mAB+ 16.匪明如图,延长BO交圆O于点D,则BD为圆O的直径, 且OB与OD互为相反向量,即OB+OD=0. 2AC-mAB+2AN.由P.B.N三点共线得m+2-1,则 连接AD.DC,则ADAB.DC BC. 行 再延长AH交BC边于点E,延长CH交AB边于点F, 9.醒析(1)原式-18a+3b-9a-3b-9a ($2)原式-寸(2a+3b-3b-a+36--6-0. (3)原式-10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a-b-. 10.(1)因为a-20,b-3e,所以b--(-2)--a所 由妻心的性质有AE1 BC.CF IAB,所以DC//AE,AD/CF. 以a与b共线. (2)因为a=e-,所以b--2e+2e--2(e -e) 所以四边形ADCH是平行四边形,所以AT-DC. 所以DC--0D-0+OB. -2a.所以a与b共线. (3)假设a与b共线,则存在唯一一个实数a,使b-a成立, 在△OAH中,有O=A+A-OA+D-O+OB+ 即e+2e-(2e+e),整理得(1-2)e+(2-)e-.由 于e与e不共线,所以e:0,e0,所以1-2-0,且2- 课时作业(四) a-0,即a-且-2(矛盾).所以a与b不共线。 1.C 翻①AB-AC-CB.所以①错误;②00-0,所以②正 11.D 解由5AB+3CD-0知,AB/CD且ABCD,所 确;③由0可得x,异号,所以a和a中,一个与a同 向,另一个与a反向,所以a与反向,所以③正确.故选 以此四边形为梯形.又lAD 一BC|,所以梯形ABCD是等 C项. 腰梯形,故选D项. .307.课时作业（三） 向量的减法运算 答案见P 1基础训练 9.对于任意两个向量a和b,下列命题中正确的是 1.(多选)设b是a的相反向量，则下列说法正确的是 (填序号) ( ①la+b≤la-b:②a-b≤a+b1: A.a与b的长度必相等 ③la+bl≤a+|b:④la-b≤a-lbl. B.a∥b 10.化简下列各式. C.a与b一定不相等 (D)MN-MP+NQ-PQ: D.a是b的相反向量 (2)BD+DC+AB-AC. 2.如图，向量AB=a,AC-b,CD=,则向量BD A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 3.给出下列向量等式：①AB+CA+BC=0:②AB AC-BC-=0:③AC-BC-A店=0.其中正确的 等式有 A.0个 B.1个 I能力提升 C.2个 D.3个 11.平面内有四边形ABCD和点O,若Oi+元 4.在菱形ABCD中，∠DAB=60,AB1=2,则 OB+OD,则四边形ABCD的形状是() BC+DCI= ( A梯形 B.平行四边形 A.5 B.23 C.矩形 D.菱形 C.2 D.2/2 12.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1 5.(多选)已知向量a=2,|b=4,且a,b不是方 是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边 向相反的向量，则a一b的值可能是 ( 形ABCDEFGH,其中OA|=2,则下列结论正 A.2 B.4 确的是 C.6 D.8 6.若a,b为相反向量，且a=1,b=1,则1a十b= ,|a-b1= 7.已知OA=a,Oi=b,若1OA=12,O1=5,且 ∠AOB=90°，则a-b的值为 8.在△ABC中，D是BC的中点，设AB=c,AC 图1 图2 b,BD=a,AD=d,则d-a= ,d+ A.FE-AB B.AH//CE a= C.OA-ED-DO D.0B+OH--20E ·153 13.已知点B是平行四边形ACDE内一点，且AB= ‖拓展探究 a,AC=b,AE=c,试用a,b,c表示向量Ci, 15.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, BC,B正，C及Bd. 且AB1=AD1=-1,OA+O元-Oi+Oi=0, cs∠DAB=2,求DC+BC和Ci+BC. 14.已知向量a,b满足a=6,b1=8,且a十b= 16.已知点O是△ABC的外心（外接圆圆心），点H 1a-b,求a-b1. 是△ABC的垂心（各边上高的交点），求证： OH-0A+0B+OC. ·154.