6.2.1 向量的加法运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.下面几个命题： 与AE平行的向量有 () (1)若a=b,则1a=|b: (2)若|a=0,则a=0: (3)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或 相反： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (4)若向量a,b满足 lal=bl, 则a=b. 3.已知AB=1,AC=2,若∠ABC=90°，则 a∥b, IBCI= 其中正确命题的个数是 4.给出下列四个条件：①a=b:②a|=|b: A.0 B.1 C.2 D.3 ③a与b方向相反；④a=0或|b=0.其中能 2.如图，在□ABCD中，点E,F分别是AB,CD 使a∥b成立的条件是 (填序号). 的中点，则向量BE,CBF元.FD,DA.E乎中 提示完成P课时作业（一） 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 [学习目标]1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义， 2.发展数学抽象和数学运算的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 向量加法的定义及运算法则 要点二向量加法的运算律与有关不等式 定义 求 的运算，叫做向量的加法 1.向量加法的运算律 (1)交换律：a+十b= 前提 已知非零向量a,b (2)结合律：a+(b十c)= 在平面内取任意一点A,作 作法 2.向量加法的有关不等关系 AB=a,BC-b,再作向量AC (1)|a+b|≤ ,当且仅当a,b 三角 形法 结论 向量AC叫做a与b的和，i记作 或至少有一个为0时，等号成立. 则 a+b.即a+b=AB+BC=AC (2)Ia|-Ib|≤a+b|,当且仅当a,b 或至少有一个为0时，等号成立 图形 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” 运算 前提 已知不共线的两个向量a,b (1)两个向量相加的结果可能是一个数量. 法则 ( 在平面内任取一点O,以同一点 作法 O为起点的两个已知向量a,b, (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模 以OA,OB为邻边作□OACB 相加。 平行 四边 (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向 以O为起点的向量O元(OC是 形法 量共线 () 结论 □OACB的对角线)就是向量a 则 (4)若a,b均为非零向量，则1a+b与a+ 与b的和 b一定相等. () 图形 g+6 (5)向量加法的平行四边形法则适合任意两个 向量 (6)在矩形ABCD中，AB+BC=AD+BA. 规定 对于零向量与任意向量a,规定a十0=0十a=a 第六章平面向量及其应用 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一 向量加法的运算法则 【变式1】在如图所示的正五边形中，给出四个向 量a,b,c,d. 解题技巧 (1)求作向量a十c: (2)求作向量b十d. 向量求和的注意点 (1)三角形法则对于任何向量求和都适用， 但要注意“首尾相连” (2)两个向量的和向量仍是一个向量， (3)平行四边形法则仅对于两个不共线的向 量求和适用，且应用的前提是两向量共起点 (4)当涉及三个或三个以上的向量和时，一 般用三角形法则求和更简单， 【例题1】(1)如图1，求作向量a十b. (2)如图2，求作向量a+b十c. 2 4+44444+444444444+44444444444+444444+4444+44444+4444444444444444 探究二 向量加法的运算律 解题技巧 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供 了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法 则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足 交换律和结合律，故多个向量的加法运算可 以按照任意的次序、任意的组合来进行。 (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各 向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调 整向量相加的顺序 数学必修第二册课堂学案 【例题2】化简：(1)BC+AB: 探究三向量加法的实际应用 (2)DB+CD+BC: (3)AB+D示+CD+BC+FA 答题模板 应用向量加法解决实际应用 问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的 问题转化为向量问题。 (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则 和三角形法则，对有关向量进行运算，解答 向量问题 (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共 线、相等等概念回答原问题」 【例题3】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通 过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15kmh,同时江水的速度为向东6km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航 行的速度： (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小 数点后一位)与方向（用与江水速度间的夹角 【变式2】化简：(1)AB+CD+BC: 表示，精确到1°，an68≈号)】 (2)(MA+BN)+(AC+CB): (3)AB+(BD+CA)+DC. 第六章平面向量及其应用 【变式3】(1)（多选）一艘船以3km/h的速度向 的方向飞行300km后到达B地，然后向C地 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 飞行.已知C地在A地北偏东60的方向处，且 3kmh,则船实际航行速度的大小和方向分 A,C两地相距300km,则飞机从B地向C地飞 别为 行的方向及B,C间的距离分别为 () A.速度的大小为3v2km/h A.南偏东15°，3002km B.速度的大小为3km/h B.南偏东75°，300√2km C.方向与水流方向间的夹角为45 D.方向与水流方向间的夹角为90 C.南偏东15°，300km (2)一架执行任务的飞机从A地按北偏西30 D.南偏东75°，300km 随堂检测学以致用 答案见P 1.正方形ABCD的边长为1，则AB+AD为 A.1 B.v2 C.3 D.2 2.PQ+OM+Q0+MQ- A.OH B.OG C.FO D.EO A.PQ B.PM 4.作用在同一物体上的两个力|F|=60N, c.Q驴 D.MP F1=80N,当它们的夹角为90时，这两个力 3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G, 的合力大小为 N. H,则O+OQ 提示完成P课时作业（二） 6.2.2向量的减法运算 [学习目标]1，借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义， 2.能熟练地进行向量加减法的混合运算（重点），3.发展数学拍象和数学运算的核心素养。 必备知识基础落实 答案见P4 要点一 相反向量 >思考：相反向量的两个要素是什么？ L.(1)定义：与向量a 的向量，叫做 a的相反向量，记作 (2)规定：零向量的相反向量仍是 2.(1)-(-a)= (2)任意向量与其相反向量的和是零向量，即 要点二向量的减法 a+(-a)= 1.定义 (3)如果a,b互为相反向量，那么a= 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的 b ,a+b= 减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个 7有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与 (3)AB+(BD+CA)+DC-AB+BD+DC+CA=0 b方向相反，则有a∥b;零向量与任意向量平行，所以若|a=0 [例题3]解析(1)如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以 或|b=0,则a∥b.故①③④都能使a∥b成立. 答案①③④ AD,AB为临边作□ABCD,则AC表示船实际航行的速度. 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 必备知识·基础落实 要点一 B 两个向量和 (2)在Rt△ABC中，|AB1=6,|BC1=15,于是1AC1 要点二 1.(1)b+a(2)(a+b)+c √B+BC=√/+1F=√261≈16.2.因为tan∠CAB= 2.(1)川a十|b1方向相同(2)方向相反 [辨析]解杨(1)错误，两个向量相加的结果仍然是向量， 、品=，所以∠CAB≈68，因此，船实际杭行速度的大 (2)错误，两个向量相加也要考虑方向. 小约为16.2km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°. (3)错误，当两个向量共线时，两个向量的和向量与这两个 [变式3]解析(I)设AD表示船向垂直于对岸的方向行驶的速 向量共线。 度，AB表示水流速度，以AD,AB为邻边作□ABCD,则AC (4)错误，当a,b共线时，若a,b同向，则|a十b=|a十 |bl;若a,b反向，则|a十b=|a一b1:当a,b不共线时， 就是船的实际航行速度由题意知，在R△ABC中，AB-3, a+bl<lal+bl. 1BC=3,所以1AC1=V√AB2+BC12=√3+3= (5)错误，当两个向量共线时，不能使用平行四边形法则 求解。 32,n∠CAB=号=1，所以∠CAB=45所以貉实际航 (6)错误，因为AB+BC=AC,AD+B=BA+AD=BD, 行速度的大小为3√2k/h,方向与水流方向间的夹角为45. 而在矩形ABCD中，AC=BD不成立， 故选AC项. 答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 关键能力·素养提升 [例题1]解析(1)如图，首先作向量OA=a,然后作向量A店 b,则向量OB-a十b即为所求. a A B (2)如图，AC-AB+BC,∠BAC-90°，AB=AC1=300, (2)如图，首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,OB=b, 所以|BC=300√2，∠ABC=45°.依题意得，A地在B地的 OC-c,以OA,OB为邻边作□OADB,连接OD,则OD= 南偏东30°的方向处，所以C地在B地的南偏东75°的方向 OA+OB=a十b.再以OD,OC为邻边作□ODEC,连接 处.所以飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东75°，B,C OE,则OE-OD+O心=a+b+c即为所求. 两地间的距离为300√2km故选B项. 30 309 [变式1门解析(1)如图1，设向量a的起点为O,终点为A,则 60° 300 300 OA=a,再作AB=c,则OB=a十c即为所求， 答系(1)AC(2)B 随堂检测·学以致用 1.B解析正方形ABCD中，AB+AD=AC,所以A店+AD |AC=√2.故选B项. 图1 图2 2.A解折原式=PQ+QO+OM+M应-P吃故选A项. (2)如图2，设向量b的起点为O1,终点为A1,则OA1=b, 3.C解析在方格纸中作出OP+OQ,如图所示，由向量加法 再作AB,=d,则OB=b十d即为所求， [例题2]解析(1)BC+AB-AB+BC-AC 的运算法则和相等向量的概念可得OP十OQ=FO.故选 C项. (2)DB+CD+BC-BC+CD+DB-BD+DB-0. (3)AB+DF+CD+EC+FA-AB+BC+CD+DF+FA- AF+FA=0. [变式2]解析(1)A店+C市+BC-AB+BC+C市=A立 (2)(MA+BN)+(AC+CB)=(MA+AC)+(CB+BN)= MC+CN-MN. ·263· 4.解折如图所示，OA表示力F1,OB表示力F2, 方法二(AB-CD)-(AC-BD=AB-C市-AC+BD (AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC-0. [变式2]解析(1)OA-OD+AD=DA+AD=0. (2)A店+DA+BD-BC-Ci-A店+Di+BD+C+AC (AB+BD)+(AC+CB)+DA-AD+AB+DA-AD+ DA+AB-0+AB-AB. [例题3]证明①当O为△ABC的重心时，如图所示，以OA, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则OC是F和F OB为邻边作平行四边形OADB,则由向量加法的平行四边 的合力.在△AOC中，OA1=60,|AC=|OB1=80且OA1 形法则得OA+OB=OD,又由平面几何知识知OD=OC,且 AC,所以O元1=√Oi2+1AC2=√60+80=100.所 C,O,D三点共线， 以这两个力的合力大小为100N. 答率100 6.2.2向量的减法运算 必备知迟·基础落实 要点一 所以向量OD与向量OC互为相反向量， 1.(1)长度相等，方向相反一a(2)零向量 2.(1)a(2)(-a)+a0(3)-b-a0 所以OA+OB+OC-OiD+OC=0. [思考]提示相反向量的两个要素是“模长”和“方向”，不仅要 ②当OA+OB+OC=0时，有OA+OB=-OC, 方向相反，还必须长度相等. 而以OA,OB为邻边的平行四边形OADB的对角线必过 要点二 AB的中点O1,所以O,C,O三，点共线，所以直线OC过AB 1.相反向量（一b) 的中点，同理可证OA过BC的中点，OB过AC的中点， 所以点O为△ABC的重心. 2.BA向量b的终点向量a的终点 3.(1)反向(2)同向 综合①②可知，当且仅当0为△ABC的重心时，OA+ [思考]提示含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两 OB+OC=0. 边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式，所以移项法 [变式3]解析方法-在菱形ABCD中，因为A店-+C市 则对向量等式也是适用的， AB+BC+CD-AC+CD=AD,所以|AB-CB+CD1 [辨析们解析(1)正确，两个向量的差仍是一个向量. 1AD1=1. (2)正确，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 方法二在菱形ABCD中，AB-CB+CD=AB+(C (3)正确，由三角形法则可得说法正确. (4)错误，相反向量是方向相反、长度相等的向量，而a与b CB)=Ai+BD=AD,所以AB-CB+CD1=AD=1. 的长度不确定。 方法三在菱形ABCD中，因为CB=DA,AB=DC,所以 答案(1)/(2)/(3)√(4)× AB-CB+CD=DC-DA+CD=AC+CD=AD,所以AB 关键能力·素养提升 CB+CDI=ADI=1. [例题1]解析如图，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b, 随堂检测·学以致用 则OB=a十b,再作0心=c,则C克=a十b-c即为所求. 1.BCD解析因为非零向量m与n是相反向量，所以长度相 等，方向相反，则有m=一n,m=n.故选BCD项. 2.C解析在△ABC中，BC-AC-AB=b-a.故选C项， 3.D解析由题意可得E亦-O亦-O元=-心-(-O)=O OC-b-c.故选D项。 4.解析(1)Pi+O-O=PB+(OP-O=PB+B驴=0. (2)OB-OA-O元-di=(OB-OA)-(O元+dò)=AB [变式1]解析如图，图(1)为向量a一b+c,图(2)为向量 0=AB. a-b-c. 答案1)0(2)A店 6.2.3向量的数乘运算 必备知识·基础落实 要点一 1.向量数乘a(1)【a(2)>0λ<000 2.(1)()a(2)a+a(3)a+b1(-a)a-2b 3.加减数乘山a 图(1) 图(2) [练习]BD解析若a=0,则入=0或a=0,故A项错误；2(a十 [例题2]解析方法-(A店-CD)-(AC-BD)=A-Cò AC+BD-AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)- b+号(a30)=2a+2b+号a-4b=9a-26,故B项正 AD+DA=0. 确：若al=3,bdl=,则1-2a=6,3b=,故C项错 ·264·