6.2.2 向量的减法运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

4.解析如图所示,OA表示力F,OB表示力F。 方法二(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+B (AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. [变式2](1OA-OD+AD-DA+AD-o (2)AB+DA+BD-BC--AB+DA+BD+CB+AC (AB+BD)+(AC+CB)+DA=AD+AB+DA=AD+ DA+AB-0+AB-AB 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则OC是F。和F [例题3]明①当O为△ABC的重心时,如图所示,以OA OB为邻边作乎行四边形OADB,则由向量加法的乎行四边 的合力.在△AOC中,OA|-60,|ACl-OB-80且OA 形法则得OA十OB-OD,又由平面几何知识知OD=OC,且 AC,所以OCl-O1+AC|-60+80=100.所 C.O.D三点共线, 以这两个力的合力大小为100N 答100 6.2.2 向量的减法运算 必备知识·基础落实 要点一 所以向量OD与向量OC互为相反向量, 1.(1)长度相等,方向相反 -a(2)零向量 所yOA+OB+-OD+-0. 2.(1)a (2)(-a)+a 0 (3)-b -a 。 [思考]相反向量的两个要素是“模长”和“方向”,不仅要 ②当O+OB+-0时,有O+--. 方向相反,还必须长度相等. 而以OA,OB为邻边的平行四边形OADB的对角线必过 要点二 AB的中点O.,所以O,C,O三点共线,所以直线OC过AB 1.相反向量(-b) 的中点,同理可证OA过BC的中点,OB过AC的中点, 2.BA 向量b的终点 所以点O为△ABC的重心. 向量a的终点 综合①②可知,当且仅当O为△ABC的重心时,OA十 3.(1)反向(2)同向 0+-0. [思考]提含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两 边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,所以移项法 [变式3]方法一 在菱形ABCD中,因为AB-CB+CD 则对向量等式也是适用的. AB+BC+CD-AC+CD-AD,所以IAB-CB+CD - [辨析]雕(1)正确,两个向量的差仍是一个向量 AD-1. (2)正确,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 方法二 在菱形ABCD中,AB-CB+CD-AB+(C- (3)正确,由三角形法则可得说法正确. CB-AB+BD-AD,所以 AB-CB+CD =AD =1. (4)错误,相反向量是方向相反、长度相等的向量,而a与b 的长度不确定. 方法三 在菱形ABCD中,因为CB-DA,AB-DC,所以 (1)(2)(3)(4)× AB-CB+CD-D-D+CD-AC+c-AD,所以AB CB+CD-AD-1. 关键能力·素养提升 [例题1]解如图,在平面内任取一点O,作OA-a,AB-b, 随堂检测·学以致用 则OB-a十b,再作OC-c,则CB-a十b-c即为所求. 1.BCD解因为非零向量m与n是相反向量,所以长度相 等,方向相反,则有m=-n,|m一nl.故选BCD项. ab-c 2.C解在△ABC中,BC-AC-AB-b-a.故选C项. 3.D 解由题意可得E-O-OE---(-OB)-0B C-b-c.故选D项. 4.析(1PB+O-OB-PB+(OP-OB)-PB+B$=0 (2)OB-A--c-(oB-A)-(o+c-AB- [变式1]解如图,图(1)为向量a一b十c,图(2)为向量 0-AB. a--c. (10(2)AB 6.2.3 向量的数乘运算 ### 必备知识·基础落实 要点一 1.向量 数乘 a(1)|llal(2)>0a<o。。 2.(1)()a (2)a+ (3)a+xb x(-a) a-)b$ 3.加 减 数乘 a 图() 图(2) [练习]BD 初若xa-0,则x-0或a-0,故A项错误;2(a十 [例题2]解方法一(AB-CD)-(AC-BD)-AB-CD AC+BD-AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA) AD+D-0 确;若al-3,|b-1,则|-2al-6,|3bl-3,故C项错 .264.第六章 平面向量及其应用 【变式3】(1)(参选)一艘船以3km/h的速度向 的方向飞行300km后到达B地,然后向C地 垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 飞行,已知C地在A地北偏东60的方向处,目 3km/h,则船实际航行速度的大小和方向分 A.C两地相距300km.则飞机从B地向C地飞 别为 ( 行的方向及B,C间的距离分别为 ) A.速度的大小为3v2km/h A.南偏东15{*,300②km B.速度的大小为3km/h B.南偏东75{*,300/②km C.方向与水流方向间的夹角为45* D.方向与水流方向间的夹角为90 C.南偏东15*,300km (2)一架执行任务的飞机从A地按北偏西30 D.南偏东75*,300km 随堂检测学以致用 答案见Ps 1.正方形ABCD的边长为1,则AB+AD[为 ( _~ A.1 B.2 “-- C.3 D.2 2.PQ+OM+Q+MQ- A.O BOG C.FO D.EO A.PQ B.PM 4.作用在同一物体上的两个力|F|一60N. C. D.MP IF: 一80N,当它们的夹角为90时,这两个力 3.如图所示的方格纸中有定点O.P.Q.E,F,G. 的合力大小为 H.则OP+- ( l提示完成Psi课时作业(二) 6.2.2 向量的减法运算 [学习目标]1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,理解其几何意义, 2.能熟练地进行向量加减法的混合运算(重).3.发展数学抽象和数学运算的核心素养 必备知识 ①基础落实 答案见Pt 要点一:相反向量 >思考:相反向量的两个要素是什么? 1.(1)定义:与向量a 的向量,叫做 a的相反向量,记作 (2)规定:零向量的相反向量仍是 2.(1)-(-a)一_. (2)任意向量与其相反向量的和是零向量,即 要点二 向量的减法 a十(一a)一 1.定义 (3)如果a,b互为相反向量,那么a一 求两个向量差的运算叫做向量的减法,向量的 ,ab 减法可以转化为向量的加法来进行:减去一个 .7: 数学 必修 第二册 课堂学案 ,即a- 向量相当于加上这个向量的 >思考:移项法则对向量等式适用吗? b-a十 2.几何意义 已知向量a,b,在平面内任取 一点O,作OA-a,OB-b,则 辨析 -a-b,如图 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 所示,即a一b可以表示为从 (1)两个向量的差仍是一个向量 ( 指向 的向量. ) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆 3.向量减法的有关不等关系 运算. (1) |a-bl<|a|+|bl,当且仅当a,b (3)向量a与向量?的差与向量b与向量a的 或至少有一个为0时,等号成立。 差互为相反向量 ,。 (2) a -b <a-b,当且仅当a,b (4)若向量a与b的方向相反,则a与b是相反 或至少有一个为0时,等号成立, 向量. C ) 关键能力素养提升 答案见Pt 探究一 向量减法的运算法则 【变式1】在本例的条件下作出向量a一b十c和 a-bc. 规律总结 求两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行运算,如 a一b,可以先作一b,然后作a十(一b)即可。 (2)也可以直接用向量减法的三角形法则来 进行运算,即把两向量的起点重合,则差向 量为连接两个向量的终点,且指向被减向量 的终点的向量 【例题1】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量 a十b-c. ## 探究二 向量加、减法的混合运算 解题技巧 (1)向量加减法运算的基本方法 ①利用相反向量统一成加法(相当于向量求和): ②运用减法公式OA-OB-BA(正用或逆用): ③运用辅助点法,利用向量的定义将所有向 量转化为以其中一确定点为起点的向量,使 问题转化为有共同起点的向量问题。 (2)向量加减法的运算结果仍然是向量, .8: 第六章 平面向量及其应用 【例题2】化简:(AB-CD)-(AC-BD) 探究三 向量加、减法的应用 解题技巧 求解与平面几何知识相关的向量问题时,要 充分利用平面几何中的结论,要能很好地将 题目中的向量条件与几何条件统一起来,通 过向量之间的运算,研究几何元素之间的关 系,再根据结果“翻译”成几何元素, 【例题3】已知点O是△ABC内的一点,证明:当 且仅当O为△ABC的重心时,OA十OB十 O-0. 【变式2】化简:(1OA-oD+AD; (2)AB+DA+BD-BC-CA. 【变式3】已知菱形ABCD的边长为1,求AB一 CB+CD的值. .9. 数学 必修 第二册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pt 1.(参选)非零向量n与n是相反向量,下列结论 正确的是 f ) A.m-n B.m--n C. m-nl D.方向相反 2.在△ABC中,AB-a,AC-b,则BC=( A.a十b B.b-a A.a十b B.a-b C.c-b D.b-c C.b-a D.-a-b 4.化简:(1)PB+Op-OB= 3.如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形 (2OB-OA-O-C- O是它的中心,其中OA-a.OB-b,OC-c,则 I提远完成P:课时作业(三) 6.2.3 向量的数乘运算 [学习目标]1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,2.理解两个平面向量 共线的含义.3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义(重虑).4.提升数学运算和数学抽象的核心 素养. 必备知识 ①基础落实 答案见Pt ( >练习:(参选)下列说法正确的是 要点一 向量的数乘运篇 ) 1.定义 A.若a-0.则a-0 B.2(atb)十(a-3b)-10-2 一般地,我们规定实数入与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的 .记作 C.若lal-3.1b-,则1-2al--6.13b--3 ,它的长度与方向规定如下 (1)/a一 D.若a与b是相反向量,则5a与一4b的方向 (2)当 时,a的方向与a的方向相同:当 相同 时,a的方向与a的方向相反. 要点二 向量共线定理 特别地,当-0或a-0时,0a- 或D 向量a(a关0)与b共线的充要条件是:存在唯 :当--1时,(-1a--a. 一一个实数入,使得b一a 2.运算律 辨析 设,为实数,那么 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (1()一 (1)对于任意实数m和向量a,b,若ma一nb, (2)(十)a- 则a-b. (3)(a十b)- (2)若a:b共线,则存在唯一的实数入,使a三 特别地,有(一)a二一(a)一 , b. ) (a-b)-_. (③)若两个非零向量a:b满足a一b(去0),则 3.向量的线性运算 a,b方向相同 ( ) 向量的 运算统称为向量的 线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数 ( 士_b. &.,,恒有a(a士b)一 ) .10.