6.2.3 向量的数乘运算-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

4.解折如图所示，OA表示力F1,OB表示力F2, 方法二(AB-CD)-(AC-BD=AB-C市-AC+BD (AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC-0. [变式2]解析(1)OA-OD+AD=DA+AD=0. (2)A店+DA+BD-BC-Ci-A店+Di+BD+C+AC (AB+BD)+(AC+CB)+DA-AD+AB+DA-AD+ DA+AB-0+AB-AB. [例题3]证明①当O为△ABC的重心时，如图所示，以OA, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则OC是F和F OB为邻边作平行四边形OADB,则由向量加法的平行四边 的合力.在△AOC中，OA1=60,|AC=|OB1=80且OA1 形法则得OA+OB=OD,又由平面几何知识知OD=OC,且 AC,所以O元1=√Oi2+1AC2=√60+80=100.所 C,O,D三点共线， 以这两个力的合力大小为100N. 答率100 6.2.2向量的减法运算 必备知迟·基础落实 要点一 所以向量OD与向量OC互为相反向量， 1.(1)长度相等，方向相反一a(2)零向量 2.(1)a(2)(-a)+a0(3)-b-a0 所以OA+OB+OC-OiD+OC=0. [思考]提示相反向量的两个要素是“模长”和“方向”，不仅要 ②当OA+OB+OC=0时，有OA+OB=-OC, 方向相反，还必须长度相等. 而以OA,OB为邻边的平行四边形OADB的对角线必过 要点二 AB的中点O1,所以O,C,O三，点共线，所以直线OC过AB 1.相反向量（一b) 的中点，同理可证OA过BC的中点，OB过AC的中点， 所以点O为△ABC的重心. 2.BA向量b的终点向量a的终点 3.(1)反向(2)同向 综合①②可知，当且仅当0为△ABC的重心时，OA+ [思考]提示含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两 OB+OC=0. 边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式，所以移项法 [变式3]解析方法-在菱形ABCD中，因为A店-+C市 则对向量等式也是适用的， AB+BC+CD-AC+CD=AD,所以|AB-CB+CD1 [辨析们解析(1)正确，两个向量的差仍是一个向量. 1AD1=1. (2)正确，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 方法二在菱形ABCD中，AB-CB+CD=AB+(C (3)正确，由三角形法则可得说法正确. (4)错误，相反向量是方向相反、长度相等的向量，而a与b CB)=Ai+BD=AD,所以AB-CB+CD1=AD=1. 的长度不确定。 方法三在菱形ABCD中，因为CB=DA,AB=DC,所以 答案(1)/(2)/(3)√(4)× AB-CB+CD=DC-DA+CD=AC+CD=AD,所以AB 关键能力·素养提升 CB+CDI=ADI=1. [例题1]解析如图，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b, 随堂检测·学以致用 则OB=a十b,再作0心=c,则C克=a十b-c即为所求. 1.BCD解析因为非零向量m与n是相反向量，所以长度相 等，方向相反，则有m=一n,m=n.故选BCD项. 2.C解析在△ABC中，BC-AC-AB=b-a.故选C项， 3.D解析由题意可得E亦-O亦-O元=-心-(-O)=O OC-b-c.故选D项。 4.解析(1)Pi+O-O=PB+(OP-O=PB+B驴=0. (2)OB-OA-O元-di=(OB-OA)-(O元+dò)=AB [变式1]解析如图，图(1)为向量a一b+c,图(2)为向量 0=AB. a-b-c. 答案1)0(2)A店 6.2.3向量的数乘运算 必备知识·基础落实 要点一 1.向量数乘a(1)【a(2)>0λ<000 2.(1)()a(2)a+a(3)a+b1(-a)a-2b 3.加减数乘山a 图(1) 图(2) [练习]BD解析若a=0,则入=0或a=0,故A项错误；2(a十 [例题2]解析方法-(A店-CD)-(AC-BD)=A-Cò AC+BD-AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)- b+号(a30)=2a+2b+号a-4b=9a-26,故B项正 AD+DA=0. 确：若al=3,bdl=,则1-2a=6,3b=,故C项错 ·264· 误：若a与b是相反向量，则5a与一4b的方向相同，故D项 4,解析因为e1,e2不共线，所以向量a,b不为0.又因为a,b共 正确.故选BD项 线，所以存在实数入，使a=沾，即2g一0=1(e1十)=e1十 [辨析]解析(1)错误，m=0时不成立. =2,所以 k=-2, (2)错误，b=0时不成立. e2,所以 =-1, =-1. (3)错误，a与b共线，方向可能相同，也可能相反. 答案一2 (4)正确，因为m=2n,所以m∥n. 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ 6.2.4向量的数量积 关键能力·素养提升 必备知识·基础落实 [例题1]解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a= 要点一 14a-9b. 1.非零∠AOB=0同向垂直反向 (2)原式=日(4a+16b-16a+8b)=合(-12a+24b)= 2.数量积内积a·b-|a1bcos00 3.功W=F·s=|FlIsl cos0 -2a+4h. [思考]提示(1)向量的数量积的运算结果是数量，只有大小， [变式11服析原式=号(4a-3b叶号b2a+子b) 没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有 方向， -号[4-)a+(-3+号+)b] (2)不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定 =号（受a-)=号a-b 要严格，必须写成“a·b”的形式. 要点二 [例题2]C解扬如图，A市=A+币-A店+BC-A花+ 3.(1)lalcos 0e 要点三 名AC-A)=AB+AC.故选C项， 12②a.6=01alb-lal④8流 2.(1)b·a(2)a·(b)(3)a·c+b·c [辨析]解析(1)错误，两个向量的数量积是实数. (2)错误，若a·b=b·c=0,则向量a,c不一定相等，它们 可能只是都与b垂直的向量， (3)错误，若a·b<0,则a与b的夹角可能为180°. [变式2]D解如图，连接DE.由题意得D亡=号D市+ (4)错误，因为a·b,b·c是数量积，是实数，不是向量，所 以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此 D亦=号i+应+号·号元-(-亦+号A)+ (a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 号A店=A店-2A应，故选D项。 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 关健能力·素养提升 [例题1]解析(1)因为△ABC是边长为√2的正三角形，所以 |a=|b=|c|=√2，且a与b,b与c,c与a的夹角均为 120°，所以a·b+b·c+c·a=2XW2Xcos120°×3=-3. [例题3]证朋因为C市=6十30，CD=2e一，所以BD-CD (2)由题意得a·b=1X3X号=1，所以(2a+b)·b=2a· b+b=2×1+32=11. Ci=e-4e.又A店=2e-8e=2(e-4e),所以A3= 答室(1)-3(2)11 2BD,所以AB∥BD.因为AB与BD有公共点B,所以A, [变式1]解析(1)由已知可得a·b=|a川bcos0=1×3× B,D三点共线. [变式3]解析因为向量a十b与a十2b平行，所以a十b= cos60°=号，(a+2b)a-b)=G2+a…b-26=1+号 a+2,则仔二，所以=会 2X9=-3 1 俗图号 (2)由题意可作出如图所示的示意图.由M为AB的中点， 得AB=一2BM,由N为BC的中点，得A衣=号(A店+ 随堂检测·学以致用 1.C解析根据数乘向量的定义可知0a,20都是向量：由向量 AO,剥CM.AN=(C+BM·2(AB+AC=(AB 线性运算的定义可知a十3b是向量；|3a表示向量3a的模， 是实数故选C项， AC-A)·A+AO=(号A店-A心)·合A+ 2.ACD解析A项正确，(-7)×6a=一42a;B项错误，7(a十b)一 8b=7a+7b-8b=7a+(7-8)b=7a-b:C项正确，a-2b+ AC=1A萨-2A心-A店.AC-4-8-2=-6. a十2b=2a;D项正确，4(2a十b)=8a十4h.故选ACD项. 3.解折根据向量的线性运算，化简得AO=AB+BO=AB+ 2D-A店+(Bi+BC)=A店+(BA+A花-A) A-A+4A心-A成=2A恋+4A心=a+b 答累2a+b 图2 -(2)-6 一2 ·265·数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.(多进)非零向量m与n是相反向量，下列结论 正确的是 ( ) A.m=n B.m=-n C.ml=nl D.方向相反 2.在△ABC中，AB=a,AC=b,则BC=（ A.a+b B.b-a A.a+b B.a-b C.c-b D.b-c C.b-a D.-a-b 4.化简：(1)PB+OP-0B= 3.如图，已知六边形ABCDEF是一个正六边形， 0是它的中心，其中OA=a,OB=b,OCC=c,则 (2)0B-OA-O元-C0= EF= 提示完成Ps课时作业（三） 6.2.3 向量的数乘运算 [学习目标]1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.理解两个平面向量 共线的含义.3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义（重痕）.4.提升数学运算和数学抽象的核心 素养 必备知识基础落实 答案见Ps 要点一 向量的数乘运算 >练习：（多选）下列说法正确的是 () 1.定义 A.若a=0,则a=0 一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个 B2a+b)+号a-36)=9a-2b ,这种运算叫做向量的 ,记作 ,它的长度与方向规定如下： C若1a=3,bl=,则|-2a=-6,3b1= (1)a= D.若a与b是相反向量，则5a与一4b的方向 (2)当 时，a的方向与a的方向相同；当 相同 时，a的方向与a的方向相反. 要点二向量共线定理 特别地，当A=0或a=0时，0a= 或入0 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯 ；当=-1时，(-1)a=一a. 一一个实数入，使得b=a, 2.运算律 辨析 设入，4为实数，那么 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)a(a)= (1)对于任意实数m和向量a,b,若a=b, (2)(+)a= 则a=b. () (3)λ(a+b)= (2)若a,b共线，则存在唯一的实数a,使a= 特别地，有（一A)a=一(a)= Ab. () (a-b)= (3)若两个非零向量a,b满足a=b(k≠0)，则 3.向量的线性运算 a,b方向相同， () 向量的 运算统称为向量的 线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数 4若m=3a+4b,m=号a+2b,则m/n 入，h,恒有入(a土b)= 士b. ( ·10· 第六章平面向量及其应用 关键能力素养提升 答案见P 探究一 向量的线性运算 探究二 用已知向量表示其他向量 规律总结 解题技巧 向量的线性运算类似于代数多项式的运算， 用已知向量表示其他向量的求解思路 共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角 公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是 形或平行四边形中. 向量.在进行向量的线性运算时，要注意三 (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法 角形法则和平行四边形法则的应用 则及向量共线定理用已知向量表示其他 【例题1】计算下列各式. 向量 (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a): (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角 (2)62(2a+8b)-44a-2b)]. 形法则或平行四边形法则建立关于所求向 量和已知向量的等量关系，然后解关于所求 向量的方程。 【例题2】已知△ABC的边BC上有一点D满足 BD=3DC,则AD可表示为 () A.AD=-2AB+3AC B.AD-3AB+1AC C.AD-1AB+3AC D,A=号AB+}Ad 【变式1】化简：号[4a-36)+号b6a-7b] 【变式2】在平行四边形ABCD中，AE=号AB, CF=CD,G为EF的中点，则DG=() AA市-A店 BA店-2Aò CA心-A店 D.号AB-号A西 ·11 数学必修第二册课堂学案 探究三 向量共线定理的应用 【例题3】已知，是两个不共线的向量，若AB 2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,求证： 规律总结 A,B,D三点共线. (1)判断或证明A,B,C三点共线，只需看是 否存在实数入，使得AB=AAC(或BC= 入AB等有公共点的两向量)即可. (2)已知向量共线求入，常根据向量共线的条 件转化为相应向量系数相等求解. (3)若平面内三点A,B,C共线，O为不同于 A,B,C的任意一点，则存在实数入，以使 【变式3】设向量a,b不平行，向量a+b与a+2b OC=OA+红OB,并且1十μ=1. 平行，则实数入 随堂检测 学以致用 答案见P 1.下列各式中不表示向量的是 ) 3.已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，点O A.0a B.a+3b C.3a D.20 为BD的中点，若AB=a,AC=b,则AO= 2.(多选)下列各式计算正确的有 (用a,b表示). A.(-7)×6a=-42a 4.已知e1,e2是两个不共线的向量，a-2e1一e2, B.7(a+b)-8b=7a+15b b=e1十e2,若a与b是共线向量，则实数 C.a-2b+a+2b=2a k= D.4(2a+b)=8a+4b 提示完成Ps课时作业（四） 6.2.4向量的数量积 [学习目标]1，通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量 积（重难点）.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，3.会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系（重点），4，发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见Ps 要点一向量的数量积 (续表) 1.向量的夹角 范围 0≤0≤元 已知两个 向量a,b,O是平面上的任 0=0 a与b 条件 意一点 特殊 情况 0-受 a与b ,记作a⊥b 产生 作向量OA=a,O=b,则 0=元 a与b 过程 叫做向量a与b的 2.向量的数量积的定义 夹角 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我 ·12