7.2 第1课时 一元一次不等式的解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

7.2 一元一次不等式 第7章 一元一次不等式与不等式组 第1课时 一元一次不等式的解法 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解和掌握不等式的解、不等式的解集、解不等式 这些概念的含义； 2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式，并会 在数轴上表示出其解集．（重点、难点） 问题 某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加 1.8 万元. 如果该公司原来的年利润为 200 万元，要使年利润超过 245 万元，那么增加的科研经费应高于多少万元? 导入新课 峰 (峰) - 换行，“1万元”是一起的 前面问题中涉及的数量关系是： 设该公司增加科研经费 x 万元，那么年利润就增加1.8x 万元. 因为年利润要超过 245 万元，所以 200 + 1.8x > 245. 原年利润 + 增加的年利润 ＞ 增加后的年利润 一元一次不等式的概念 1 新知探究 像 200 + 1.8x > 245 这样， 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式. 它与一元一次方程的定义有什么共同点？ 知识要点 1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式? (1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0； (3) (4) x(x - 1) < 2x. ✓ ✓ ✕ ✕ 左边不是整式 化简后是 x2 - x < 2x 练一练 例1 已知 是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是_______． 解析：由 是关于 x 的一元一次不等式得 2a－1＝1，计算即可求出 a 的值是1. 1 典例精析 解不等式： 4x - 1 < 5x + 15. 解方程： 4x - 1 = 5x + 15. 解：移项，得 4x - 5x = 15 + 1. 合并同类项，得 -x = 16. 系数化为 1，得 x = -16. 解：移项，得 4x - 5x < 15 + 1. 合并同类项，得 -x < 16. 系数化为 1，得 x > -16. 解一元一次不等式 2 根据不等式的性质，解不等式 200 + 1.8x > 245. 根据不等式的性质 1，两边同时减去 200，得 200 + 1.8x - 200 > 245 - 200. 即 1.8x > 45. 再根据不等式的性质 2，两边同时除以 1.8，得 x > 25. 因此，这个不等式的解集为 x > 25. 探究 像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式. 例2 解不等式 2x + 5 ≤ 7(2 - x)，并把它的解集在数轴上表示出来. 解： 首先将括号去掉 去括号，得 2x + 5≤14 - 7x. 移项，得 2x + 7x≤14 - 5. 将同类项放在一起 合并同类项，得 9x≤9. x 系数化为 1，得 x≤1. 根据不等式的性质2 原不等式的解集在数轴上的表示如图： -1 0 1 2 例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： 解 ： 不等式两边同乘以 6，得 2(4 + x) - 6 < 3x. 去括号，得 8 + 2x - 6 <3x. 移项、合并同类项，得 -x < -2. x 系数化成1，得 x > 2. 在数轴上表示不等式的解集： 2. 解下列一元一次不等式 ： （1）2 - 5x < 8 - 6x ； （2） 解： （1） 原不等式为 2 - 5x < 8 - 6x. 将同类项放在一起 即 x < 6. 移项，得 -5x + 6x < 8 - 2， 计算结果 练一练 首先将分母去掉 去括号，得 2x -10 + 6≤9x. 去分母，得 2(x - 5) + 6≤9x. 移项，得 2x - 9x≤10 - 6. 去括号 将同类项放在一起 （2） 原不等式为 合并同类项，得 -7x≤4. 两边都除以 -7，得 x≥ . 计算结果 根据不等式性质3 方法归纳：熟练运用不等式的5个基本性质是解题的关键. 解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方. 议一议 所以当 x≤6 时，代数式 x + 2 的值大于或等于 0. 解： 解得 x≤6. x≤6 在数轴上表示如图所示. -1 0 1 2 3 4 5 6 根据题意，得 x + 2≥0， 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6. 3. 当 x 取什么值时，代数式 x +2 的值大于或 等于 0？并求出所有满足条件的正整数. 例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常数) 的解集是 x＜3，求 m. 方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想． 解：因为 x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8，即－3x＞m－8， 因为其解集为 x＜3， 所以 ，解得 m = －1. 1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来: (1) 2x＞－8； (2) －4x＜2； (3) 5x－4≤7x－1； (4) 2x－5≥2＋5x. 课本习题 解：(1) x＞－4. (1) (2) x＞－. (3) x≥－. (4) x≤－. (2) (3) (4) 2.解下列不等式： (1) 3(1－x)≤x＋8； (2) 12－2x＞3(2x－3). 解： (1) 去括号，得 3－3x≤x＋8. 移项，得 x + 3x≥3－8. 合并同类项，得 4x≥－5. x 系数化为 1，得 x≥－. (2) 去括号，得 12－2x＞6x－9. 移项，得 6x + 2x＜12 + 9. 合并同类项，得 8x＜21. x 系数化为 1，得 x＜. 课本习题 1. 解下列不等式： (1) 解： (1) 不等式两边同乘以 5， 得 3x + 7 > 5x - 5. 移项、合并同类项，得 -2x > -12. x 系数化成1，得 x < 6. (2) . (2) 不等式两边同乘以 -15，得 2x + 1 < -5(x - 3). 去括号，得 2x + 1 <-5x +15 移项、合并同类项，得 7x < 14. x 系数化成1，得 x < 2. 2. 当 x 取什么值时，代数式 4x - 1 的值分别满足下列条件：(1) 大于 7； (2) 小于 -2x + 5. 3.设 表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么 这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为( ). (A) (B) (C) (D) A 解：(1) x＞2. (2) x＜1. 一元一次不等式 一元一次不等式的概念 解一元一次不等式 → 将解集在 数轴上表示 课堂小结 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是 ( ) A. 5x－2＞0 B. －3＜2＋ C. 6x－3y≤－2 D. y2＋1＞2 2. 解下列不等式： （1） 3x - 1 > 2(2 - 5x) ； （2） . x＞ x≤ 解析：选项 A 是一元一次不等式，选项 B 中含未知数的项不是整式，选项 C 中含有两个未知数，选项 D 中未知数的次数是 2. A 课后练习 3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）4x - 3 < 2x + 7； （2） . 解： (1) 原不等式的解集为 x < 5， 它在数轴上表示为： (2) 原不等式的解集为 x≤-11， 它在数轴上表示为： -1 0 1 2 3 4 5 6 0 -11 4. 先用不等式表示下列数量关系，然后求出它们的解集，并在数轴上表示出来： （1） x 的 大于或等于 2； -1 0 1 2 3 4 5 x≥2， 解得 x≥4. 不等式的解集在数轴上表示为: 解： （2） x 与 2 的和不小于 1； 解： x + 2≥1， 解得 x≥－1. 不等式的解集在数轴上表示为: -1 0 1 2 3 4 5 （3） y 与 1 的差不大于 0； y－1≤0. 解得 y≤1. 不等式的解集在数轴上表示为： 解： -1 0 1 2 3 4 5 （4） y 与 5 的差大于 -2. y - 5 > -2， 解得 y > 3 . 不等式的解集在数轴上表示为: 解： -1 0 1 2 3 4 5 5. y 为何值时，代数式 的值不大于代数式 的值？并求出满足条件的最大整数． 解：依题意，得 去分母，得 4(5y＋4) ≤ 21－8(1－y)， 去括号，得 20y＋16 ≤ 21－8＋8y， 移项，得 20y－8y ≤ 21－8－16， 合并同类项，得 12y ≤ －3， 把 y 的系数化为 1，得 y ≤ 在数轴上表示如右： 由图可知，满足条件的最大整数是 －1. $$