重点专题2.1 分类加法与分步乘法【九大题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高二下·人教A版·热点题型专练 -

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题2-1 分类加法与分步乘法 总览 题型·解读 模块一 核心基础达标 1 【题型1】分类加法计数原理 1 【题型2】 分步乘法计数原理 3 【题型3】两个原理的简单应用 6 模块二 重点题型专练：两种计数原理的综合应用 8 【题型4】排数问题 8 【题型5】染色问题 13 【题型6】分配问题 22 【题型7】正难则反思想 25 【题型8】枚举法与顶针法 27 【题型9】其它问题 31 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 核心基础达标 【题型1】分类加法计数原理 基础知识 概念梳理：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 典型例题 【例题1】从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选人主持本班的某次专题班会可从名女同学任选一名，也可以从名男同学中任选名, 由分类加法计数原理可知不同的选法种数为种. 【例题2】某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 【答案】(1)68 (2)66 【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目． （2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道共有个正在播放互不相同的节目， 所以一台电视机共可以选看个不同的节目． 巩固练习 题型 【巩固练习1】某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．396种 C．22种 D．18种 【答案】A 【分析】按照分类加法计数原理即可得选法种数. 【详解】从该班男中选一名同学为数学课代表有22种方法，从该班女中选一名同学为数学课代表有18种方法，不同的选法的种数有种. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．15种 C．25种 D．125种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果. 【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种． 故选：. 【巩固练习3】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有 种（数字作答）. 【答案】 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案． 【详解】若一个盒子中放个红球，另一个盒子中放个黑球、个红球，则有种不同的方法； 若一个盒子中放个黑球，另一个盒子中放个红球、个黑球，则有种不同的方法； 若两个盒子中一个盒子放个红球，另一个盒子放个黑球，则有种不同的方法； 若两个盒子中都放个红球、个黑球，则有种方法. 故不同的放法有种． 【题型2】 分步乘法计数原理 基础知识 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 典型例题 【例题1】（23-24高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意，分两步完成，第一步选一个大门进去有4种选法，第二步选一个大门出去有3种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有种. 【例题2】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法. 【例题3】（2025·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 【例题4】（23-24高二下·四川达州·阶段练习）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色，则一共有 种着色方法． 【答案】144 【分析】先对③着色，再求①和②，④和⑤着色，根据分步计数原理，即可求得结果. 【详解】先对③着色，共有种选择； 再对①和②进行着色，因为①和②颜色不能相同，且与③不同，则共有种选择； 最后对④和⑤进行着色，因为④和⑤颜色不能相同，且与③不同，则共有种选择； 根据分步计数原理，则共有：种着色方法. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 【巩固练习2】（2025·陕西榆林·模拟预测）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答） 【答案】81 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以种. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，分5步依次对涂色， 所以不同的涂色方法有（种）. 【巩固练习4】中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．81种 B．64种 C．36种 D．48种 【答案】A 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，每名同学都有3种选法， 故不同的选购方式有种. 【巩固练习5】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【答案】A 【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数. 【详解】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法. 【题型3】两个原理的简单应用 基础知识 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果, 而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果, 具体区别如下表: 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是分类问题 针对的是分步问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法相互依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 典型例题 【例题1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 【答案】AC 【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案. 【详解】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题，故A正确. 对于B，分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，故B错误. 对于C，分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确. 对于D，求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步计数问题，故D错误. 故选：AC. 【例题2】某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人,推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有________种不同的选法？ 【解答过程】选法可分三类：一类是人选自高一，人选自高二，有种选法； 第二类是人选自高一，人选自高三，有种选法； 第三类是人选自高二，人选自高三，有种选法， 所以共有种不同选法． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 模块二 重点题型专练：两种计数原理的综合应用 【题型4】排数问题 解题技巧 基本思路：（1）先解决特殊数字“0”，或者先全部算出来再减去0排在首位的情况 （2）应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 【答案】(1)100 (2)48 (3)30 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可得结果； （2）根据分步乘法计数原理可得结果； （3）根据组成三位偶数，末位数字可分两类，末位数字是0或者不是0，根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果； 【详解】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方 法，第二、三位可以排0，因此，根据分步乘法计数原理共有（个）． （2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除 首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，因此，根据分步乘 法计数原理共有（个）． （3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类： 一类是末位数字是0，则有（种）排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法． 因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数. 【例题2】已知0,1,2,3, 4,5这六个数字. (1)可以组成多少个无重复数字的三位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (3)可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数? (4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5421的四位数 【答案】(1)100个；(2)48个；(3)131个；(4)175个． [详解](1)分3步：①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有 5×5×4=100个 (2)分3步： ①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； ②再选百位数字有4种选法； ③十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个． (3)分3类： ①一位数，共有6个； ②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5×5=25个； ③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有5×5×4=100个； 因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个． (4)分4类： ①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有 2×5×4×3=120个； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个； ③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个； ④5420也满足条件；故所求四位数共有120+48+6+1=175个． 【例题3】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【答案】AC 【分析】根据数的要求及大小结合排列组合数计算求解. 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误； 比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确； 将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）； ③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误． 巩固练习 题型 【巩固练习1】用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，末位数字为或，首位数字有种选择，则中间的数位有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，末位数字为或，首位数字有种选择，则中间的数位有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)120 (2)96 (3)32 【分析】（1）直接全排列即可得答案； （2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答案； （3）分0在个位、在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案. 【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个； （2）首位不能为0，则有个； （3）由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 【巩固练习4】（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)720 (2)420 【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【答案】D 【分析】运用分类加法原理计算即可. 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 【巩固练习6】一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【答案】 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 【题型5】染色问题 解题技巧 (一)根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法 (二)根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数. 注意：要注意是否需要分类讨论 典型例题 【例题1】（高二下·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示：    因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 【例题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（   ）    A．24 B．96 C．48 D．108 【答案】B 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 【例题3】（高二下·广东佛山·阶段练习）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种 【答案】C 【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可. 【详解】 如图，不同的布置方案分两类： 当与布置相同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种. 当与布置不同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种. 所以不同的布置方案有种. 【例题3】（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 【例题4】用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是 ．（用数字填写答案） 【答案】120 【分析】所有涂色方法可分为三类，第一类，区域涂同一种颜色，第二类，区域涂不同颜色，区域涂不同颜色，第三类，区域涂不同颜色，区域涂相同颜色，利用综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决. 【详解】所有的涂色方法可以分为三类： 第一类：区域涂同一种颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂同一种颜色的涂色方法有种，即48种方法， 第二类：区域涂不同颜色，区域涂不同颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即24种方法， 第三类：区域涂不同颜色，区域涂相同颜色， 先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即48种方法， 由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法. 故答案为：120. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【答案】C 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：C． 【巩固练习2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 【答案】120 【分析】利用分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法， 综上可知有种方法. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 【答案】396 【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解. 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 【巩固练习4】（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 【答案】1920 【分析】根据题意，按照地图涂色问题的方法，分步讨论每个区域的涂色方法，由分步计数原理计算求解即可. 【详解】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是：. 【巩固练习5】（23-24高二下·江西赣州·期中）提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】6120 【分析】根据和、和同色或者不同色分类，每一种情况中用分步乘法计数原理，最后利用分类加法计数原理得到涂色方法的数量. 【详解】假定涂色顺序为 若、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法； 故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种. 【巩固练习6】（多选）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（   ） A． B．当时，若同色，共有48种涂法 C．当时，若不同色，共有48种涂法 D．当时，总的涂色方法有420种 【答案】ABD 【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】对于A，由于区域与均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确， 对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂， 故共有种涂法，B正确； 对于C，当时，涂有种， 当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误； 对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂， 故共有种涂法， 当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有， 只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法， 综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确 【巩固练习7】四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 【答案】C 【分析】由第一类区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，第二类区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法，分别利用分步计数原理求解. 【详解】解：第一类：若区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法， 则不同的涂色方案有种； 第二类：若区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法， 再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法； 则不同的涂色方案有种； 根据分类计数原理，不同的涂色方案有种. 【题型6】分配问题 解题技巧 典型例题 【例题1】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】BC 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）， 错误. 故选：BC 【例题2】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 【答案】D 【解题思路】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【解答过程】根据题意，分2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 则共有种选法. 巩固练习 题型 【巩固练习1】现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．50种 B．60种 C．80种 D．90种 【答案】C 【解题思路】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【解答过程】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 则一共有种选法. 【巩固练习2】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　) A．50种 B．60种 C．70种 D．90种 【答案】C 【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： 如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选， ∴选法有种； 如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种， 不同的选法共有种，故选C. 【巩固练习3】一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有 种． 【答案】27 【分析】由题可得有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，然后以只会表演魔术的人分类讨论结合两个基本原理即得. 【详解】由题可知有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技， 针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的人表演魔术有2种选择，再从其他的6人选1人表演口技有6种选择，故共有种选择； 不选只会表演魔术的人，从既会表演魔术又会表演口技的3人中选1人表演魔术，有3种选择， 再从只会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余2人选1人表演口技，有5种选择， 故共有种选择； 所以不同的安排方法有种. 【巩固练习4】甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（    ） A．112 B．80 C．64 D．32 【答案】A 【分析】根据已知条件及分类分步计数原理即可求解. 【详解】分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有种情况； 第二类情况，没有一个去C企业，有种情况， 所以根据分类加法计数原理共有种. 【题型7】正难则反思想 解题技巧 涉及“至多”和“至少”时可以考虑用减法进行计算 典型例题 【例题1】四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（    ） A．37种 B．65种 C．96种 D．108种 【答案】B 【分析】可从反面考虑，计算A学校没有人去的种数. 【详解】若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有种方法， 若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有种方法， 故不同的选法方案有种. 【例题2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种；若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有 种. 【答案】 64 37 【分析】空1：根据分步乘法即可得到答案；空2：计算出没有人选择《第二十条》的情况数，再利用空1的总数减去即可. 【详解】空1：根据分步乘法得不同的选法有种， 空2：若没有人选择《第二十条》，则共有种， 则若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有种 【例题3】为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 【解题思路】先求出甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的选法，再求出这3名学生所选活动课程全相同的选法，即可得解. 【解答过程】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，选法有种， 其中这3名学生所选活动课程全相同的选法有6种， 则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（高二下·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算汉口江滩没人去的情况数目，分析可得汉口江滩一定要有人去的游览方案数． 【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况 【巩固练习2】某学校高二年级的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有（    ） A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求出3个班去4个工厂的方法种数，再求出甲厂没有班级去的方法数即可得解. 【详解】每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有种参观方案， 若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有种参观方案， 所以，甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有种. 【巩固练习3】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】BC 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）， 错误. 故选：BC 【巩固练习4】“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 【答案】B 【分析】先求得所有6位 “回文数”的个数，再求得6位 “回文数”中各位数字全相同的个数，进而得到所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的个数. 【详解】6位 “回文数”中个位与十万位数字相同且不为0， 十位与万位数字相同，百位与千位数字相同， 第一步，确定个位与十万位数字，有9种可能， 第二步，确定十位与万位数字，有10种可能， 第三步，确定百位与千位数字，有10种可能， 则6位 “回文数”共有（个）， 又6位 “回文数”中各位数字全相同的共有9个， 则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（个）. 【题型8】枚举法与顶针法 解题技巧 列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 典型例题 【例题1】某学校高三年级有4个班，学校举行的摸底考试要求4名班主任分别监考4个班，并且每名班主任都不可以监考自己班，请问有多少种安排方案． 【答案】9 【详解】解法一（顶针法）：4个班级1，2，3，4班对应的班主任称为一、二、三、四．若先排一，有3种排法（即2，3，4），若排到2班，则接下来排班主任二也有3种排法（即1，3，4），最后排班主任三、四，两人都只有1种排法，因此由分步计数原理可计算出共有种排法． 解法二（列举法）：列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 【例题2】2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种 巩固练习 题型 【巩固练习1】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d， 当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c， 所以A拿b时有三种不同的分配方式； 同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式， 由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式； 解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡， 如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法， 接下来，剩下的两个人都各只有1种取法， 由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 【巩固练习2】某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【解题思路】由列举法，结合分类计数原理即可求解. 【解答过程】用表示编号的面试者回答的试题为，其中， 所以的全部可能情况有： ， 所以共有9种 【巩固练习3】寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种. 【答案】45 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能； 所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种 故答案为：45 【巩固练习4】如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 【解题思路】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可． 【解答过程】当十位是时，百位可选，个位可选和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选，和2，共个， 当十位是时，百位可选，和，个位可选，和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选和，共个， 综上所述，共个 【巩固练习5】甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲､乙､丙､丁 甲､乙､丙 丙､丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（    ） A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 【答案】B 【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和. 【详解】解：由题意得： 以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人 C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤； C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下： 丙在C路口： A（丁）B（甲乙）C（丙）； A（甲丁）B（乙）C（丙）； A（乙丁）B（甲）C（丙）； 丁在C路口： A（甲乙）B（丙）C（丁）； A（丙）B（甲乙）C（丁）； A（甲丙）B（乙）C（丁）； A（乙）B（甲丙）C（丁）； A（乙丙）B（甲）C（丁）； A（甲）B（乙丙）C（丁）；. 所以一共有2+3+6=11种选法. 【题型9】其它问题 典型例题 【例题1】已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（    ） A．18 B．16 C．14 D．10 【答案】C 【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解. 【详解】分两类情况讨论： 第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）； 第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个）， 由分类加法计数原理，所以所求个数为． 【例题2】有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【答案】A 【分析】分情况讨论即可计算有序数对的个数. 【详解】（1）当时，有为实根，则有4种可能； （2）当时，方程有实根，所以，所以. 当时，有4种. 当时，有4种. 当时，有3种. 所以，有序数对的个数为. 【例题3】从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为 . 【答案】17 【详解】①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时loga1=0，a=2或3或4或7或9． ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有=20个对数，但是其中， ． 综上可知：共可以得到20+1﹣4=17个不同的对数值． 故答案为17． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【答案】 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 【巩固练习2】（22-23高二下·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 【答案】11 【分析】设倾斜角为，由，对分情况讨论，利用计数原理计算即可． 【详解】设倾斜角为，，则，不妨设，则， 若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条； 若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条， 从而，符合要求的直线有条． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东·阶段练习）从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种. 【答案】 8 7 【分析】利用组合公式可求得总的取法数，进而确定不同的乘积结果的方法数与乘积为偶数的方法数即可. 【详解】从五个不同的数中任取两个数共有种不同的取法， 不同的乘积结果有， 所以不同的乘积结果有8种，其中乘积为偶数的有共7种. 【巩固练习4】（23-24高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】借助加法计数原理，得到，依次计算即可. 【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且； 若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且. 由加法原理得，易知， 可得， 所以小明不同的上楼方法共有种. 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题2-1 分类加法与分步乘法 总览 题型·解读 模块一 核心基础达标 【题型1】分类加法计数原理 【题型2】 分步乘法计数原理 【题型3】两个原理的简单应用 模块二 重点题型专练：两种计数原理的综合应用 【题型4】排数问题 【题型5】染色问题 【题型6】分配问题 【题型7】正难则反思想 【题型8】枚举法与顶针法 【题型9】其它问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 核心基础达标 【题型1】分类加法计数原理 基础知识 概念梳理：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 典型例题 【例题1】从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【例题2】某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 巩固练习 题型 【巩固练习1】某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．396种 C．22种 D．18种 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．15种 C．25种 D．125种 【巩固练习3】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有 种（数字作答）. 【题型2】 分步乘法计数原理 基础知识 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 典型例题 【例题1】（23-24高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 【例题2】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【例题3】（2025·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【例题4】（23-24高二下·四川达州·阶段练习）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色，则一共有 种着色方法． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【巩固练习2】（2025·陕西榆林·模拟预测）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答） 【巩固练习3】（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【巩固练习4】中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．81种 B．64种 C．36种 D．48种 【巩固练习5】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【题型3】两个原理的简单应用 基础知识 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果, 而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果, 具体区别如下表: 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是分类问题 针对的是分步问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法相互依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 典型例题 【例题1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 【例题2】某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人,推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有________种不同的选法？ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 模块二 重点题型专练：两种计数原理的综合应用 【题型4】排数问题 解题技巧 基本思路：（1）先解决特殊数字“0”，或者先全部算出来再减去0排在首位的情况 （2）应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 【例题2】已知0,1,2,3, 4,5这六个数字. (1)可以组成多少个无重复数字的三位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ (3)可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数? (4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5421的四位数 【例题3】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 巩固练习 题型 【巩固练习1】用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【巩固练习3】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【巩固练习6】一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【题型5】染色问题 解题技巧 (一)根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法 (二)根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数. 注意：要注意是否需要分类讨论 典型例题 【例题1】（高二下·江苏宿迁·期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【例题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（   ）    A．24 B．96 C．48 D．108 【例题3】（高二下·广东佛山·阶段练习）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种 【例题3】（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【例题4】用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是 ．（用数字填写答案） 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【巩固练习2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 【巩固练习4】（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 【巩固练习5】（23-24高二下·江西赣州·期中）提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【巩固练习6】（多选）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（   ） A． B．当时，若同色，共有48种涂法 C．当时，若不同色，共有48种涂法 D．当时，总的涂色方法有420种 【巩固练习7】四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 【题型6】分配问题 典型例题 【例题1】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【例题2】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 巩固练习 题型 【巩固练习1】现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．50种 B．60种 C．80种 D．90种 【巩固练习2】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　) A．50种 B．60种 C．70种 D．90种 【巩固练习3】一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有 种． 【巩固练习4】甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（    ） A．112 B．80 C．64 D．32 【题型7】正难则反思想 解题技巧 涉及“至多”和“至少”时可以考虑用减法进行计算 典型例题 【例题1】四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（    ） A．37种 B．65种 C．96种 D．108种 【例题2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种；若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有 种. 【例题3】为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 巩固练习 题型 【巩固练习1】（高二下·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【巩固练习2】某学校高二年级的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有（    ） A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 【巩固练习3】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【巩固练习4】“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 【题型8】枚举法与顶针法 解题技巧 列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 典型例题 【例题1】某学校高三年级有4个班，学校举行的摸底考试要求4名班主任分别监考4个班，并且每名班主任都不可以监考自己班，请问有多少种安排方案． 【例题2】2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 巩固练习 题型 【巩固练习1】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 【巩固练习2】某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【巩固练习3】寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种. 【巩固练习4】如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 【巩固练习5】甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲､乙､丙､丁 甲､乙､丙 丙､丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（    ） A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 【题型9】其它问题 典型例题 【例题1】已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（    ） A．18 B．16 C．14 D．10 【例题2】有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【例题3】从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【巩固练习2】（22-23高二下·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东·阶段练习）从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种. 【巩固练习4】（23-24高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$