8.4 乘法公式（平方差公式） 计算天天练 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第四节 平方差公式 第一课时：平方差公式法则 1.填空 （1）(5x+y)(5x-y)= （2）(m+2n)(2n-m)= （3）(-x+3y)(-x-3y)= （4）(-a2-b3)(b3-a2)= （5） （6） （7）（ ）= （8）（ ）=． 2.计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）(2m－3n)(2m＋3n) （10）(－a－1)(－a＋1) （11）（－＋y）（＋y） （12）99×101 （13）（3a－2b）（2b＋3a） ( 日期： ) ( 时间： min ) ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第二课时：先化简再求值 1.先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣3． 2.求的值，其中 3.先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝. 4.先化简，再求值：（2a+b）（2a-b）-（2a-b）2-b（a-2b），其中a＝1，b＝2. 5.化简求值．（2a+1）2-（2a-1）（2a+1），其中a=3 6.先化简，再求值：4（x-1）2-（2x+3）（2x-3），其中x=-1． 7.先化简，再求值2（2x-y）（2x+y）-4x（x-3y）+2x（x2-5y），其中x=-1，y=2． ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：简便运算篇 1.观察下列各式： ， ， ， ， 根据前面各式的规律可得： （其中为正整数）． 2.计算 3.计算+1 4.计算的值． 5．观察下列各式： 2＋1＝3＝22－1． 22＋2＋1＝7＝23－1． 23＋22＋2＋1＝15＝24－1． (1)填空：26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝________＝________． (2)试求1＋2＋22＋23＋…＋262＋263的值． ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：几何篇 1． (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的 形式)； (2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成—个矩形，它的宽是_______，长是_______， 面积是_______(写成多项式乘法的形式)； (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到乘法公式_______； (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①10.2×9.8； ②(2m＋n－p)(2m＋n＋p)． 2.我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而 运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题． （1）如图1所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方 形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积； （2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形． ①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式 成立； ②根据①中的结论计算：已知（2016-m）（2018-m）=2009，求（2018-m）2+（m-2016）2 ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 ) 3.【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线 剪开，拼成图②的长方形 （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到 乘法公式： （用字母表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知4m2-n2=12，2m+n=4，则2m-n的值为 ②计算：（2a+b-c）（2a-b+c） 【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②解方程：（x+1）2-（x-1）2=-4 （3）若m+4n=2，求（m+1）2-m2+（2n+1）2-（2n-1）2的值． 4.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方 形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．a2-2ab+b2=（a-b）2 C．a2+ab=a（a+b） （2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值； （3）计算 ( 时间： min ) ( 日期： ) 第一课时：平方差公式法则 参考答案 1.填空 （1）(5x+y)(5x-y)= 25x2-y2 （2）(m+2n)(2n-m)= 4n2-m2 （3）(-x+3y)(-x-3y)= x2-9y2 （4）(-a2-b3)(b3-a2)= a4-b6 （5） x2-9 （6） （7）（ a+2b ）= （8）（ 3-m2 ）=． 2.计算 （1） （2） （3） =25-b2 =4a2-b2 =4a2-9b4 （4） （5） = = （6） （7） （8） =16-x2 （9）(2m－3n)(2m＋3n) （10）(－a－1)(－a＋1) =4m2-9n2 =a2-1 （11）（－＋y）（＋y） （12）99×101 （13）（3a－2b）（2b＋3a） =9a2-4b2 第二课时：先化简再求值 参考答案 1.先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣3． 解：（1+a）（1-a）+（a-2）2，=1-a2+a2-4a+4=-4a+5， 当a=-3时，原式=12+5=17． 2.求的值，其中 解：原式= 当x=5，y=2时，原式= 3.先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝. 解：原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab， 当a＝－2，b＝.时，原式=-4． 4.先化简，再求值：（2a+b）（2a-b）-（2a-b）2-b（a-2b），其中a＝1，b＝2. 解：原式= 当a＝1，b＝2时，原式=3×1×2=6 5.化简求值．（2a+1）2-（2a-1）（2a+1），其中a=3 解：（2a+1）2-（2a-1）（2a+1）=4a2+4a+1-4a2+1=4a+2， 当a=3时，原式=12+2=14 6.先化简，再求值：4（x-1）2-（2x+3）（2x-3），其中x=-1． 解：原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9）=4x2-8x+4-4x2+9=-8x+13，当x=-1时，原式=8+13=21． 7.先化简，再求值2（2x-y）（2x+y）-4x（x-3y）+2x（x2-5y），其中x=-1，y=2． 解：原式=2（4x2-y2）-4x2+12xy+2x3-10xy=4x2+2x3-2y2+2xy， 当x=-1，y=2时，原式=4-2-8+4=-10． 第三课时：简便运算篇 1.观察下列各式： ， ， ， ， 根据前面各式的规律可得： （其中为正整数）． 2.计算 = 3.计算+1 解：原式=（2-1）+1 4.计算的值． 解：原式= 5．观察下列各式： 2＋1＝3＝22－1． 22＋2＋1＝7＝23－1． 23＋22＋2＋1＝15＝24－1． (1)填空：26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝__27-1______＝___127_____． (2)试求1＋2＋22＋23＋…＋262＋263的值． 1＋2＋22＋23＋…＋262＋263＝ 第四课时：几何篇 1． (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的形式)； (2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成—个矩形，它的宽是_______，长是_______， 面积是_______(写成多项式乘法的形式)； (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到乘法公式_______； (4)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①10.2×9.8； ②(2m＋n－p)(2m＋n＋p)． 解：（1）阴影部分的面积是：a2-b2； （2） 矩形的宽是（a-b），长是（a+b），面积是（a-b）（a+b）； （3） 得到的公式是：a2-b2=（a-b）（a+b）； （4）①10.2÷9.8=（10+0.2）（10-0.2）=100-0.04=99.96． ②（2m+n-p）（2m+n+p）=（2m+n）2-p2=4m2+4mn+n2-p2． 2.我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题． （1）如图1所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积； （2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形． ①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立； ②根据①中的结论计算：已知（2016-m）（2018-m）=2009，求（2018-m）2+（m-2016）2 解：（1）矩形的面积=（a+4）2-（a+1）2=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15； （2）①如图2，阴影部分的面积=a2+b2，如图3，阴影部分的面积=（a+b）2-2ab， 则得到等式a2+b2=（a+b）2-2ab，证明：（a+b）2-2ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2； ②（2018-m）2+（m-2016）2=（2018-m+m-2016）2-2×（m-2016）（2018-m）=4+2009×2=4022． 3.【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 （1） 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知4m2-n2=12，2m+n=4，则2m-n的值为 ②计算：（2a+b-c）（2a-b+c） 【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②解方程：（x+1）2-（x-1）2=-4 (3)若m+4n=2，求（m+1）2-m2+（2n+1）2-（2n-1）2的值． 解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2-b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a-b） 故答案为：a2-b2；（a+b）（a-b）． （2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a-b）=a2-b2 故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2． 【应用】①∵4m2-n2=12，2m+n=4，4m2-n2=（2m+n）（2m-n） ∴（2m-n）=12÷4=3 故答案为：3． ②（2a+b-c）（2a-b+c）=[2a+（b-c）][2a-（b-c）]=4a2-（b-c）2=4a2-b2+2bc-c2 【拓展】①原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 =（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 =（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 =（28-1）（28+1）…（232+1）+1 =（216-1）…（232+1）+1 =264-1+1=264 ∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16 故答案为：6． ②（x+1）2-（x-1）2=-4，（x+1+x-1）（x+1-x+1）=-4，4x=-4，x=-1． （3）（m+1）2+（2n+1）2-m2-（2n-1）2 =[（m+1）2-m2]+[（2n+1）2-（2n-1）2] =[（m+1-m）（m+1+m）]+[（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）] =2m+1+8n =2（m+4n）+1 =4+1 =5． 4.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方 形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．a2-2ab+b2=（a-b）2 C．a2+ab=a（a+b） （2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值； （3）计算 解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b）， ∴上述操作能验证的等式是a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：A； （2）∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8， ∴x-y=2； (3) 学科网（北京）股份有限公司 $$