8.4 乘法公式（完全平方公式） 计算天天练 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第三节 完全平方公式 第一课时：完全平方公式的法则 1.填空 （1）(5+3p)2= （2）(-3b+2c)2 = （3）(-2a-5)2= （4）(x+2y)2 = （5）(a+b)(-a-b)= （6） = （7）(-3x-4y)2= （8）（3a－2b）2= 2.计算 （1） （2） （3） （4）(2a＋b)2 （5）(a－b)2 （6）(－x＋y)2 （7）(－2x－y)2 （8） （9） （10）1022 （11）1972 （12）982 （13）(2x＋y－2)2 （14）(2x－5y)2 （14）700.12 ( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )第二课时：完全平方公式的变形公式 1．已知：求、的值。 2．已知。求①的值；②的值。 3．已知，，求和的值． 4.已知，求和的值 5.已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。 6.已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值。 （1）a2+b2 （2）a2-ab+b2 7.已知a-b=7，ab=-12． (1)求a2+b2的值； (2)求a+b的值． ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：先化简再求值 1.先化简，再求值：，其中． 2.先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中x＝－. 3．先化简，再求值：，其中. 4．求代数式(2a＋b)2－(3a－b)2＋5a(a－b)的值，其中a＝0.1，b＝－0.2． 5.已知，求的值 ( 时间： min ) ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：配方法的应用 1.填空题 1.如果是一个完全平方公式展开后的结果，那么常数的值为________． 2.如果是一个完全平方公式展开后的结果，那么常数的值为_________． 3.不论取何有理数，代数式的值总是________________． 4.已知x2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值是________________． 5.若x2+(m-3)x+25是完全平方式，则m的值是______． 6.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是________________． 7.代数式4－(a＋b)2的最大值是_______，当取得最大值时，a与b的关系是_______． 2.解答题 （1）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若−6n+9=0，求m和n的值。 ∵−6n+9=0 ∴−6n+9=0 ∴ ∴m+n=0，n−3=0 ∴m=−3，n=3 问题：若−2xy+4y+4=0,求的值。 （2）试说明无论、取何值，代数式的值总是非负数． ( 时间： min )（3）已知，则边长为、、的三角形是什么三角形？ ( 日期： ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第五课时：几何篇 1.如图①，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪 成的两张纸拼成如图②所示的梯形． （1）设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，则__________， _________（用含的代数式表示）； （2）上述剪拼过程所揭示的乘法公式是什么？ 2． 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个 等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 （1） 如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的 形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2） 利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38， 求a2+b2+c2的值． （3） 如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接 BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积． 3． （1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形， 然后按图（2）的形状拼成一个大正方形．请问：这两个图形的什么量不变？ （2） 把所得的大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式表示为 ． （3） 由前面的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，当 时，面积最大． （4） 若矩形的周长为24cm，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？ ( 日期： ) ( 时间： min ) ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第六课时：综合篇 1．已知m—＝3，求m2＋的值． 2.已知，求的值． 3.小亮在做“化简（2x+k）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16并求x=2时的值”一题时，错将x=2看成 x=﹣2，但结果却和正确答案一样，由此，你能推算出k值吗？ 4．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图 ②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积为_______； (2)观察图②，请你写出代数式(m＋n)2、(m－n)2、mn之间的等量关系：_______． (3)若x＋y＝7，xy＝10，则利用(2)的结论你能求出x－y的值吗？ 5．用”＞，=，＜”填空，探究规律并解决问题： （1）比较a2+b2与2ab的大小： ①当a=3，b=3时，a2+b2 2ab； ②当a=2，b=12时，a2+b2 2ab； ③当a=-2，b=3时，a2+b2 2ab． （2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想； （3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE， BCFG，连接AF，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若△ACF的面积为1，求S1+S2的最小值． 第一课时：完全平方公式的法则 1.填空 （1）(5+3p)2= 9p2+30p+25 （2）(-3b+2c)2 = 9b2-12bc+4c2 （3）(-2a-5)2= 4a2+20a+25 （4）(x+2y)2 = x2+4xy+4y2 （5）(a+b)(-a-b)= -a2-2ab-b2 （6） = （7）(-3x-4y)2= 9x2+24xy+16y2 （8）（3a－2b）2= 9a2-12ab+4b2 2.计算 （1） （2） （3） = = （4）(2a＋b)2 （5）(a－b)2 （6）(－x＋y)2 （7）(－2x－y)2 （8） （9） （10）1022 （11）1972 （12）982 （13）(2x＋y－2)2 （14）(2x－5y)2 （14）700.12 第二课时：完全平方公式的变形公式 参考答案 1．已知：求、的值。 解： 2．已知。求①的值；②的值。 解： 3．已知，，求和的值． 解： 4.已知，求和的值 解：∵ ∴，即 ∵ ∴，即=47 5.已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。 解： 6.已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值。 （1）a2+b2 （2）a2-ab+b2 解： a2-ab+b2=37+6=43 7.已知a-b=7，ab=-12． (1)求a2+b2的值； (2)求a+b的值． 解：（1）a2+b2=（a-b）2+2ab=49-24=25 （2）（a+b）2=a2+b2+2ab=25-24=1，∴a+b=±1 第三课时：先化简再求值 参考答案 1.先化简，再求值：，其中． 解：原式= 当时，原式=1+3=4 2.先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中x＝－. 解：原式= 当x＝－时，原式= 3．先化简，再求值：，其中. 解：原式= 当时，原式= 4．求代数式(2a＋b)2－(3a－b)2＋5a(a－b)的值，其中a＝0.1，b＝－0.2． 解：原式= 当a＝0.1，b＝－0.2时，原式=5×0.1×（－0.2）=-0.1 5.已知，求的值 解：原式= 当时，原式=14+1=15 第四课时：配方法的应用 1.填空题 1.如果是一个完全平方公式展开后的结果，那么常数的值为____±6____． 2.如果是一个完全平方公式展开后的结果，那么常数的值为__±44________． 3.不论取何有理数，代数式的值总是_______非负数_________． 4.已知x2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值是___7或-1_____________． 5.若x2+(m-3)x+25是完全平方式，则m的值是___-7或13___． 6.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是______±16___________． 7.代数式4－(a＋b)2的最大值是___4____，当取得最大值时，a与b的关系是__a+b=0_____． 2.解答题 （1）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若−6n+9=0，求m和n的值。 ∵−6n+9=0 ∴−6n+9=0 ∴ ∴m+n=0，n−3=0 ∴m=−3，n=3 问题：若−2xy+4y+4=0,求的值。 解：（1）x2+2y2-2xy+4y+4=0，x2-2xy+y2+y2+4y+4=0，（x-y ）2+（y+2）2=0， ∴x-y=0，y+2=0． ∴x=y=-2， ∴ （2）试说明无论、取何值，代数式的值总是非负数． 解： ∵，∴≥0恒成立， 即无论、取何值，代数式的值总是非负数 （3）已知，则边长为、、的三角形是什么三角形？ 解：∵ ∴ 即 ∴ ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 解得：a=b=c ∴边长为、、的三角形是等边三角形 第五课时：几何篇 参考答案 1.如图①，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪 成的两张纸拼成如图②所示的梯形． （1）设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，则__________， _________（用含的代数式表示）； （2）上述剪拼过程所揭示的乘法公式是什么？ 解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴S1=a2-b2．S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； （2）根据题意得：（a+b）（a-b）=a2-b2． 2.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个 等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的 形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38， 求a2+b2+c2的值． （3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接 BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积． 解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）=121-76=45； （3）∵a+b=10，ab=20， ∴S阴影=a2+b2-（a+b）•b-a2=a2+b2-ab=（a+b）2-ab=×102-×20=50-30=20． 3.（1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形 ，然后按图（2）的形状拼成一个大正方形．请问：这两个图形的什么量不变？ （2）把所得的大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式表示为 ． （3）由前面的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，当 时，面积最大． （4）若矩形的周长为24cm，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）∵图（1）的周长为：2m+2n+2m+2n=4m+4n； 图（2）的周长为：4（m+n）=4m+4n； ∴两图形周长不变； （2）大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积为：（m-n）2或m2-2mn+n2； （3）长和宽相等； （4）由（3）得出：当边长为：24÷4=6（cm）时，最大面积为：36cm2． 第六课时：综合篇 参考答案 1．已知m—＝3，求m2＋的值． 解：∵m—＝3，∴(m—)2＝9，即m2＋=9+2=11 2.已知，求的值． 解：由可得：y-x=3 3.小亮在做“化简（2x+k）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16并求x=2时的值”一题时，错将x=2看成 x=﹣2，但结果却和正确答案一样，由此，你能推算出k值吗？ 解：原式=6x2+4x+3kx+2k-6x2-18x+5x+16=（3k-9）x+2k+16， 由结果与x取值无关，得到3k-9=0， 解得：k=3． 4．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图 ②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积为_______； (2)观察图②，请你写出代数式(m＋n)2、(m－n)2、mn之间的等量关系：_______． (3)若x＋y＝7，xy＝10，则利用(2)的结论你能求出x－y的值吗？ 解：（1）阴影部分的边长为（m-n），阴影部分的面积为（m-n）2； （2）（m+n）2-（m-n）2=4mn； （3）（x-y）2=（x+y）2-4xy=72-40=9； ∴x-y=±3 5．用”＞，=，＜”填空，探究规律并解决问题： （1）比较a2+b2与2ab的大小： ①当a=3，b=3时，a2+b2 2ab； ②当a=2，b=12时，a2+b2 2ab； ③当a=-2，b=3时，a2+b2 2ab． （2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想； （3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE， BCFG，连接AF，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若△ACF的面积为1，求S1+S2的最小值． 解：（1）①把a=3，b=3代入，a2+b2=9+9=18，2ab=2×3×3=18，所以a2+b2=2ab，故答案为：=； ②把a=2，b=12代入，a2+b2=4+14=174，2ab=2×2×12=2，所以a2+b2＞2ab，故答案为：＞； ③把a=-2，b=3代入，a2+b2=4+9=13，2ab=2×（-2）×3=-12，所以a2+b2＞2ab，故答案为：＞； （2）由（1）可得，a2+b2≥2ab， 理由如下：∵（a-b）2≥0，即a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab； （3）由题意可知S1=a2，S2=b2， ∵△ACF的面积为1，即ab=1， ∴ab=2， ∵S1+S2=a2+b2≥2ab， ∴S1+S2=a2+b2≥4， 因此S1+S2的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $$