精品解析：广东省汕头市2024—2025学年下学期八年级第一学月考数学试卷

2024—2025学年度第二学期广东省汕头市八年级数学第一学月考试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是0，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 若最简二次根式和能合并，则a、b值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 9. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（   ）     A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则代数式的值是______． 12. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 13. 在平行四边形中，，则的度数为______． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在四边形中，，． （1）在线段上，求作点E，使；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，求的度数． 18. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， (1)如图△ABC中，AB=AC=，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 20. 阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… （1）按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． （2）利用这一规律计算：． 21. 如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． （1）求度数； （2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 23. 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期广东省汕头市八年级数学第一学月考试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 3. 将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件函数的图象向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键． 4. 如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是0，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】由题意得，， ∴， ∴点D表示的数， 故选：C． 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：在中，已知，，， ∵， ∴是直角三角形，其中， 故选：A 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答． 7. 如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 设，则， 将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 8. 若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A. 2和1 B. 1和2 C. 2和2 D. 1和1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 9. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（   ）     A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义推出均为等腰三角形，进而得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则代数式的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将的值代入，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：3． 12. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 13. 在平行四边形中，，则度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，由四边形为平行四边形得，，根据平行线的性质可得，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，可得直线是线段的垂直平分线，则，根据的周长为，平行四边形的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴即， ∵平行四边形的周长为， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： .当时， 原式． 17. 如图，在四边形中，，． （1）在线段上，求作点E，使；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）20° 【解析】 【分析】本题考查尺规作线段，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相关性质，并灵活运用． （1）以为圆心，的长为半径，画弧，交于点，点即为所求； （2）平行线的性质，角的和差关系推出，进而得到，证明，得到，利用，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，点E就是所求作的点； 由作图可知：， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ 由（1）得， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和， ∴， ∴， 又∵， ∴； 18. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， (1)如图△ABC中，AB=AC=，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）BC=3或BC=4. 【解析】 【分析】（1）由“美丽三角形”的定义知，要求出△ABC的中线长，再作比较，由AB=AC=，可知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线，由勾股定理求AD的长即可证明； （2）Rt△ABC中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答. 【详解】（1）证明：如图，作BC的中线AD，如图， ∵AB=AC= ，AD是BC的中线， ∴AD⊥BC, BD=CD= , 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= , ∴AD=BC， ∴△ABC是美丽三角形. （2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”， 当BD=AC= 时， 则CD= , 由勾股定理得 . ②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”， 当BC=AD时， 则CD= , 在Rt△ACD中，由勾股定理得 ， 则 ，解得CD=2， ∴BC=2CD=4. 故BC=3或BC=4. 【点睛】本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确“美丽三角形”的定义是解答本题的关键. 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． 在 Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴， ， ∴四边形 AECD 面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键． 20. 阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… （1）按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． （2）利用这一规律计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 小问1详解】 解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 21. 如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． （1）求的度数； （2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 【答案】（1） （2）轮船需小时赶到C处 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）利用三角形的内角和定理即可求解； （2）在中由勾股定理求得，在中，利用含的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ，， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：作于F， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴轮船需小时赶到C处． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们把对角线互相垂直四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】（1）菱形，正方形；（2）73 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）如答图，连接，设交于点．先证明，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； （2）四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3）如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 23. 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$