第2章 相交线与平行线 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

41 第二章复习 ▶ “答案与解析”见P16 第二章　相交线与平行线 42 考点一 相交线的有关计算 典例1 如图,直线AB,CD 相交于点O,OC平 分∠BOE,∠AOE=2∠FOD. (1) 若∠FOD=21°,求∠AOD的度数. (2) 猜想OE 与OF 之间的位置关系,并说明 理由. (典例1图) 跟踪训练 1. 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥CD, 垂足为O.若射线OF 在∠AOE 的内部, ∠EOF=25°,∠AOF=23∠BOD ,则∠BOC 的度数为 . (第1题) 考点二 平行线的性质与判定 典例2 如图,在三角形ABC中,点D,F在边 BC上,点E 在边AB 上,点G 在边AC上,EF 与GD 的延长线交于点H,连接AD,∠CDG= ∠B,∠1+∠FEA=180°.试说明: (1) EH∥AD. (2) ∠BAD=∠H. (典例2图) 跟踪训练 2. 如图,AB∥EG,CD∥EF,BC∥DE,若α= 50°,β=26°,则γ的度数为 . (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分 ∠BOD,OF ⊥OE.若 ∠AOC =46°,则 ∠COF的度数为 ( ) (第1题) A. 67° B. 92° C. 113° D. 134° 2. 如图,给出下列说法:① ∠B 和∠1是同位 角;② ∠1和∠3是对顶角;③ ∠2和∠4是 内错角;④ ∠A 和∠BCD 是同旁内角.其 中,正确的有 ( ) (第2题) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 43 3. 如图,AB∥CD∥EF,若∠ABC=130°, ∠BCE=55°,则∠CEF的度数为 ( ) A. 95° B. 105° C. 110° D. 115° (第3题) (第4题) 4. 如图,一条公路修到湖边(涂色部分)时,需拐 弯绕湖而过.已知第一次的拐角∠A=120°, 第二次的拐角∠ABC=150°,第三次的拐角 是∠C.若经过拐角∠C 后的公路恰好和第 一次拐弯之前的公路平行,则∠C的度数为 . 5. 如图,∠DAE+∠CBF=180°,CE 平分 ∠BCD,∠BCD=2∠E. (1) CD与EF平行吗? 请说明理由. (2) 若DF平分∠ADC,求∠CDF+∠DCE 的度数. (第5题) 6. (核心素养·推理能力)如图①, AB∥CD,E 为直线CD 下方一点, BF平分∠ABE,连接EC. (1) 试说明:∠ABE+∠C-∠E=180°. (2) 如图②,EG 平分∠BEC,过点B 作 BH∥EG,试探究∠FBH 与∠C之间的数量 关系. (3) 如图③,CN 平分∠ECD,若BF的反向 延长线和CN 的反向延长线交于点M,且 ∠E+∠M=130°,请直接写出∠E的度数. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　相交线与平行线 ∠EFG+∠D. 理由:如图,过点E,F,G 分别作 EM∥AB,FN∥AB,GH∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥EM∥FN∥GH∥CD. 所以∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5, ∠6=∠D. 所以∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+ ∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D= ∠B+∠EFG+∠D. (2) ∠E1 + ∠E2 + ∠E3 + … + ∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+ ∠Fn-1+∠D. (第9题) 专题特训（五）　利用 平行线的性质求角度 1. 122° [解析] 因为易得AB∥CD, ∠ODC = 32°,所 以 ∠BOD = ∠ODC=32°.因为OE⊥OF,所以 ∠EOF=90°.所以∠EOB=90°+ 32°=122°.因为 OE∥DM,所 以 ∠ANM=∠EOB=122°. 2. (1) BE∥AF. 因为BC∥AD, 所以∠B=∠DOE. 因为∠A=∠B, 所以∠DOE=∠A. 所以BE∥AF. (2) 因为BE∥AF, 所以∠A+∠EOA=180°. 因为∠EOA=125°, 所以∠A=55°. 3. C [解析] 如图,由题意,可得 AB∥CD,∠CAE=90°,∠ACF= 45°.因为∠1=25°,所以∠BAC= ∠1+∠CAE=115°.因为AB∥CD, 所以∠BAC+∠ACD=180°.所以 ∠ACD=180°-∠BAC=65°.所以 ∠3=180°-∠ACD-∠ACF=70°. (第3题) 4. 7.5° [解析] 设∠1=x.因为 AB∥CD,所以∠AEF=x.由折叠的 性 质, 知 ∠DFE = ∠D'FE, ∠A'EF=∠AEF=x.因为∠3= 55°,所以 ∠DFE =55°+x.因为 ∠DFE+∠1=180°,所以55°+x+ x=180°,解得x=62.5°.所以∠2= 180°-2∠AEF=180°-2×62.5°= 55°.所以∠1-∠2=62.5°-55°= 7.5°. 5. 如图,过点E作EF∥CD. 因为AB∥CD, 所以∠ABC=∠BCD=42°. 因为BE 为∠ABC的平分线,DE 为 ∠ADC的平分线,∠ADC=72°, 所以∠1= 12 ∠ABC=21° ,∠2= 1 2∠ADC=36°. 因为EF∥CD, 所以∠2=∠FED=36°. 因为AB∥CD, 所以AB∥EF. 所以∠1=∠BEF=21°. 所以∠BED=∠BEF+∠FED= 21°+36°=57°. (第5题) 第二章复习 ［知识体系构建］ 同一平面 180° 90° 同一平面 最短 互补 互补 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 因为 ∠FOD =21°, ∠AOE=2∠FOD, 所以∠AOE=42°. 所以∠BOE=180°-∠AOE=180°- 42°=138°. 因为OC平分∠BOE, 所以∠COE=∠COB=12∠BOE= 1 2×138°=69°. 所以∠AOD=∠COB=69°. (2) OE⊥OF. 理由:设∠DOF=x,∠COE=y,则 ∠AOE=2x,∠BOE=2y. 因为∠AOE+∠BOE=180°,即2x+ 2y=180°, 所以 x +y =90°,即 ∠DOF + ∠COE=90°. 因为∠EOF+∠DOF+∠COE= 180°, 所以∠EOF=90°. 所以OE⊥OF. [跟踪训练] 1. 141° [解析]因为 ∠AOF = 23∠BOD ,所 以 可 设 ∠AOF=2x,则∠BOD=3x.因为 OE⊥CD,所以∠EOD=90°.因为 ∠EOF = 25°,所 以 ∠AOF + ∠BOD=180°-∠EOD-∠EOF= 65°.所以2x+3x=65°,解得x=13°. 所以∠BOD=39°.所以∠BOC= 180°-∠BOD=141°. 典例2 (1) 因为∠CDG=∠B, 所以DG∥AB. 所以∠1=∠BAD. 因为∠1+∠FEA=180°, 所以∠BAD+∠FEA=180°. 所以EH∥AD. (2) 因为EH∥AD, 所以∠1=∠H. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 因为∠1=∠BAD, 所以∠BAD=∠H. [跟踪训练] 2. 24° [解析] 如图, 延长AB 交DE 于点H.因为BC∥ DE,α=50°,所以∠BHE=α=50°. 因为CD∥EF,β=26°,所以∠DEF= β=26°.因为AB∥EG,所以∠HEG= ∠BHE=50°.所以γ=∠HEG- ∠DEF=50°-26°=24°. (第2题) ［综合素能提升］ 1. C 2. B 3. B [解 析]因 为 AB ∥CD, ∠ABC = 130°,所 以 ∠BCD = ∠ABC=130°.因为∠BCE=55°,所 以 ∠DCE = ∠BCD - ∠BCE = 130°-55°=75°.因为CD∥EF,所以 ∠CEF + ∠DCE = 180°.所 以 ∠CEF=180°- ∠DCE =180°- 75°=105°. 4. 150° [解析]如图,过点B 作 BE∥AM.由题意,得AM∥CN,所以 BE∥CN.所以 ∠A = ∠1,∠2+ ∠C=180°.因为∠A=120°,所以 ∠1=120°.因为∠ABC=150°,所以 ∠2=∠ABC-∠1=30°.所以∠C= 180°-∠2=150°. (第4题) 5. (1) CD∥EF. 理由:因为CE平分∠BCD, 所以∠BCD=2∠DCE. 又因为∠BCD=2∠E, 所以∠E=∠DCE. 所以CD∥EF. (2) 因为∠DAE+∠CBF=180°, ∠DAE+∠DAB=180°, 所以∠CBF=∠DAB. 所以AD∥BC. 所以∠ADC +∠DCB=180°. 因为DF平分∠ADC, 所以∠CDF=12∠ADC. 因为CE平分∠BCD, 所以∠DCE=12∠DCB. 所以∠CDF+∠DCE=12∠ADC+ 1 2∠DCB= 1 2 (∠ADC+∠DCB)= 90°. 6. (1) 如图①,过点E作EK∥AB. 所以∠ABE=∠BEK. 因为AB∥CD, 所以EK∥CD. 所以∠CEK+∠C=180°, 即∠BEK-∠BEC+∠C=180°. 所以∠ABE+∠C-∠BEC=180°. (2) 因为BF,EG 分别平分∠ABE, ∠BEC, 所以 ∠ABF = ∠EBF,∠BEG = ∠CEG. 设∠ABF=∠EBF=α,∠BEG= ∠CEG = β,则 ∠ABE = 2α, ∠BEC=2β. 因为BH∥EG, 所以∠HBE=∠BEG=β. 所以∠FBH=∠EBF-∠HBE= α-β. 由(1),知∠ABE+∠C-∠BEC= 180°,即2α+∠C-2β=2(α-β)+ ∠C=180°, 所以2∠FBH+∠C=180°. (3) ∠E=80°. [解析]如图②,过点 M 作PQ∥AB.因为CN,BF 分别平 分∠ECD,∠ABE,所以∠ABF= ∠EBF, ∠ECN = ∠DCN. 设 ∠ABF = ∠EBF =x,∠ECN = ∠DCN = y,则 ∠ABE = 2x, ∠ECD=2y.由(1),知 ∠ABE+ ∠ECD-∠E=180°,即∠E=2(x+ y)-180°.因为AB∥CD,PQ∥AB,所 以PQ∥CD.所以∠PMF=∠ABF= x,∠QMN = ∠DCN =y.所 以 ∠FMN = 180° - ∠PMF - ∠QMN=180°-(x+y).所以∠E+ ∠FMN=x+y=130°.所以∠E= 2(x+y)-180°=2×130°-180°=80°. ① ② (第6题) 第三章　概率初步 1　感受可能性 1. A 2. A 3. ③ 4. 大 5. 6. D 7. D [解析]因为不透明的盒子内装 有除颜色外其余完全相同的2个红 球、2个白球、2个黄球,所以小星第三 次摸球时,摸到红球、白球、黄球的可 能性一样大. 8. > 9. 随机事件 10. B 11. (1) 当女生选1名时,3名男生都 能选上,男生小强参加是必然事件, 所以当n=1时,男生小强参加是必然 事件. (2) 当女生选2名或3名时,男生选 2名或1名,则男生小强有可能参加, 所以当n=2或n=3时,男生小强参 加是随机事件. 12. 选择方法二. 猜不是3的倍数.因为猜不是3的倍 数获胜的可能性大. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71