第2章 相交线与平行线 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

14. -3 [解析] 因为4x÷16y=64, 所以4x÷42y=4x-2y=43.所以x- 2y=3.所以2y-x=-3. 15. 2 [解析] (x2+ax+2)(2x- 4)=2x3+2ax2+4x-4x2-4ax- 8=2x3+(-4+2a)x2+(-4a+ 4)x-8.因为(x2+ax+2)(2x-4) 的结果中不含x2项,所以-4+2a= 0,解得a=2. 三、 16. (1) 原式=1. (2) 原式=10xy-15x2-y2. 17. (1) 原式=4. (2) 原式=20018. (3) 原式=4x2-4xy+y2+12x- 6y+9. (4) 原式=m2+2m+1-4n2. 18. (1) 原式=-2xy-4. 当x=-12 ,y= 1 3 时,原式=-113. (2) 原式=8ab-3. 当ab=-12 时,原式=-7. 19. 设剪去的小圆的半径AO2=r,则 剪去的大圆的半径CO1=r+1,外面 的最大圆的半径则为r+r+1= 2r+1. 因为涂色部分的面积-被剪去部分的 面积=π(2r+1)2-[πr2+π(r+ 1)2]-[πr2+π(r+1)2]=π(2r+ 1)2-2[πr2+π(r+1)2]=4πr2+ 4πr+π-2πr2-2πr2-4πr-2π= -π<0, 所以涂色部分的面积<被剪去部分的 面积. 20. (1) 个位数字是5的两位数平方 后,末尾的两位数是25. (2) (10n+5)2=100n2+100n+25= 100n(n+1)+25. 因为n为整数, 所以n(n+1)为整数. 所以100n(n+1)末尾的两个数字都 是0. 所以100n(n+1)+25末尾的两位数 是25,即个位数字是5的两位数平方 后,末尾的两位数是25. (3) 5952=(10×59+5)2=100× 59×(59+1)+25=354025. 21. (1) ① a2+2ab+b2. ② (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2. (2) 如图所示;(2a+b)(a+3b)= 2a2+7ab+3b2. (3) 因为a+b=6,ab=3,(a+b)2= a2+2ab+b2, 所以36=a2+b2+6. 所以a2+b2=30. (4) 设正方形ACDE 的边长为a,正 方形BCFG 的边长为b,则a+b= AB=5. 因为两正方形的面积和为20, 所以a2+b2=20. 因为(a+b)2=a2+2ab+b2, 所以25=20+2ab. 所以ab=52. 由题意,得∠DCA=90°, 所以∠DCB=90°. 所以涂色部分是直角三角形. 所以S涂色部分=12ab= 5 4. (第21题) 第二章拔尖测评 一、 1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. A [解析]如图,过点B 作BC∥ AP,所以∠2=50°.所以∠1=80°- ∠2=30°.所以此时快艇的航行方向 为北偏东30°. (第8题) 9. B [解 析]因 为 DC ∥OB, ∠AOB=35°,所以∠ADC=∠AOB= 35°.因 为 ∠ADC = ∠ODE,所 以 ∠ODE=35°.所以∠DEO=180°- ∠AOB - ∠ODE = 110°.所 以 ∠DEB=180°-∠DEO=70°. 10. B [解析] 如图,过点E作EG∥ AB,过点F 作FH∥AB.因为AB∥ CD,所以AB∥FH∥EG∥CD.所以 ∠B + ∠HFB =180°,∠EFH = ∠GEF,∠C+∠CEG=180°.所以 ∠HFB = 180° - ∠B = 102°, ∠CEG=180°- ∠C =90°.所 以 ∠GEF=∠CEF-∠CEG=98°- 90°=8°.所以∠EFH=∠GEF=8°. 所以∠EFB=∠EFH+∠HFB= 8°+102°=110°. (第10题) 二、 11. 165° 12. ①②④ 13. 50° 14. ①②③④ 15. 60° [解析]如图,过点P 作 PM∥CD,则∠D+∠MPD=180°. 因为AB∥CD,所以AB∥PM.所以 ∠A=∠APM.因为∠D=140°,所以 ∠MPD=180°-140°=40°.设∠A= x°,则∠APM=x°,∠APD=3x°.易 得3x-x=40,解得x=20.所以 ∠APD=60°. (第15题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 三、 16. (1) 如图所示. (2) 如图所示. (第16题) 17. 设这个角的度数为x°,则这个角 的余角的度数为(90-x)°,补角的度 数为(180-x)°. 依题意,得1 2× (180-x)-2×(90- x)=27,解得x=78. 所以这个角的度数为78°. 18. (1) 因为EO⊥AB, 所以∠BOE=90°. 因为∠EOC=35°, 所以∠BOC=∠BOE+∠EOC= 125°. 所以∠AOD=∠BOC=125°. (2) 因为∠AOC+∠BOC=180°, ∠BOC=2∠AOC, 所以∠AOC+2∠AOC=180°. 所以∠AOC=60°. 所以∠BOD=∠AOC=60°. 所以∠DOE=∠BOE+∠BOD= 90°+60°=150°. 19. (1) CD∥EF. 理由:因为CD⊥AB,EF⊥AB, 所以∠BDC=∠BFE=90°. 所以CD∥EF. (2) 因为CD∥EF, 所以∠2=∠BCD. 因为∠1=∠2, 所以∠1=∠BCD. 所以DG∥BC. 所以∠3=∠ACB. 因为∠3=115°, 所以∠ACB=115°. 20. (1) AF∥DE. 理由:因为GE∥AP∥BD, 所以∠1=∠E,∠AFG=∠PAF. 因为∠1=∠PAF, 所以∠E=∠AFG. 所以AF∥DE. (2) 因为∠1=48°,∠1=∠PAF, 所以∠PAF=48°. 因为AP∥BD, 所以∠PAC=∠ACB=82°. 所以∠FAC=∠PAF+∠PAC= 48°+82°=130°. 因为AQ平分∠FAC, 所以 ∠FAQ = 12 ∠FAC= 1 2 × 130°=65°. 所以∠PAQ=∠FAQ-∠PAF= 65°-48°=17°. 因为AP∥BD, 所以∠Q=∠PAQ=17°. 21. (1) ∠EAB;∠DAC. (2) 如图①,过点P作PF∥AB. 因为AB∥CD, 所以PF∥CD. 所以∠D+∠FPD=180°. 因为PF∥AB, 所以∠B+∠FPB=180°. 所以∠B+∠FPB+∠FPD+∠D= 360°,即∠B+∠BPD+∠D=360°. (3) ① ∠APD=90°. ② ∠PAB + ∠CDP - ∠APD = 180°. 理由:如图②,过点P作PF∥AB. 因为AB∥CD, 所以PF∥CD. 所以∠CDP=∠DPF. 因为PF∥AB, 所以∠PAB+∠APF=180°. 因为∠APF=∠DPF-∠APD, 所以∠PAB+∠DPF-∠APD= 180°. 所以∠PAB+∠CDP-∠APD= 180°. (第21题) 第三章拔尖测评 一、 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. D [解析] 共有24个节气,节气 在夏季的有6个,所以选到的节气在 夏季的概率为6 24= 1 4. 9. A [解析] 根据题意,得P(W)的 值为 π×2 2 π×(2+2+2)2= 1 9. 10. B [解析] 由题意,易得涂色部 分与空白部分的面积相等,都为正方 形面积的一半,所以小球停在涂色部 分的概率P1=停在空白部分的概 率P2. 二、 11. 数字 12. 1 3 13. 15 [解析]由题意,知盒子中球 的总个数为5÷0.25=20,所以盒子 中红球的个数为20-5=15. 14. 3 5 [解析] 因为从盒子中随机 取出一枚棋子,它是黑棋的概率是 3 8 ,所以是白棋的概率是5 8. 所以黑 棋的枚数与白棋的枚数的比值x y 为 3 8∶ 5 8= 3 5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 数学(北师版)七年级下 3 第二章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 如图,从人行横道线上的点P处过马路,沿路线PB行走距离最短, 其依据的原理是 ( ) A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如图,下列说法中,错误的是 ( ) A. ∠1与∠A是同旁内角 B. ∠3与∠A是同位角 C. ∠2与∠3是同位角 D. ∠3与∠B是内错角 3. 如图,在下列四组条件中,能得到AB∥CD 的是 ( ) A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠ADC+∠BCD=180° D. ∠BAC=∠ACD 4. 如图,三条直线AB,CD,EF 相交于点O,且CD⊥EF,∠AOE= 70°.若OG平分∠BOF,则∠DOG的度数为 ( ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° (第4题) (第5题) 5. 如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点D,E,射线DF⊥直 线c,则与∠1互余的角有 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 如果锐角α加上90°得到β,β的补角为γ,那么γ和α的关系是 ( ) A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 无法确定 7. 按如图所示的方法折纸,下列说法中,不正确的是 ( ) (第7题) A. ∠1与∠3互余 B. ∠2=90° C. EA平分∠BEF D. ∠1与∠AEC互补 8. 如图,快艇先从P处沿正北方向航行到A处,再向左转50°航行到 B处,然后向右转80°继续航行.此时快艇的航行方向为 ( ) A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° (第8题) (第9题) (第10题) 9. 如图,OA,OB 均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB 上有一点E, 从点E射出一束光经OA上的点D 反射后,反射光DC恰好与OB 平行,此时∠ADC=∠ODE,则∠DEB的度数是 ( ) A. 35° B. 70° C. 110° D. 120° 10. 如图,AB∥CD,∠C=90°,∠B=78°,∠E=98°,则∠F的度数是 ( ) A. 106° B. 110° C. 118° D. 120° 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 如图,平行于主光轴MN 的光线AB和CD 经过凹透镜的折射后, 折射光线BE,DF 的反向延长线交于主光轴MN 上一点P.若 ∠ABE=155°,∠EPF=40°,则∠CDF的度数是 . (第11题) (第12题) (第13题) 12. 如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,EF∥BC,EC⊥CF,∠EFC= ∠ACF,有下列结论:① AD⊥EF;② ∠FEC=∠ACE;③ AB∥ CF;④ CE平分∠ACB.其中,正确的是 (填序号). 13. 如图,将对边平行的纸带按如图所示的方式折叠,已知∠1=65°,则 ∠2的度数为 . 14. 如图,AB∥CD,OM 平分∠COF,ON⊥OM,OE⊥CD,∠EFO= 40°.给出下列结论:① ∠DON =70°;② ON 平分∠DOF; ③ ∠MOE=∠DON;④ ∠MOF=∠NOE.其中,正确的是 (填序号). (第14题) (第15题) 15. 如图,AB∥CD,∠D =140°,∠P=3∠A,则∠P 的度数为 . 三、 解答题(共50分) 16. (6分)如图,方格纸上有线段AB,CD,按要求画图. (1) 过点P画AB的平行线. (2) 过点P画CD 的垂线. (第16题) 17. (6分)一个角的余角的2倍比这个角的补角的12 少27°,求这个角 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 18. (8分)如图,直线AB,CD 相交于点O,EO⊥AB,垂足为O. (1) 若∠EOC=35°,求∠AOD 的度数. (2) 若∠BOC=2∠AOC,求∠DOE的度数. (第18题) 19. (8分)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上, EF⊥AB,垂足为F. (1) 试判断CD 与EF是否平行,并说明理由. (2) 如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数. (第19题) 20. (10分)如图,GE∥AP∥BD,点C,F分别在BD,GE上,连接AC, AF,DE,点Q在BD 的延长线上,连接AQ,∠1=∠PAF. (1) 判断AF与DE的位置关系,并说明理由. (2) 若AQ平分∠FAC,且∠1=48°,∠ACB=82°,求∠Q的度数. (第20题) 21. (12分)课题学习:平行线的“等角转化”功能. (1) 阅读理解:如图①,A 是BC 外一点,连接AB,AC,求∠B+ ∠BAC+∠C的度数.请补充下面的推理过程. 解:如图②,过点A作ED∥BC. 所以∠B= ,∠C= . 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°, 所以∠B+∠BAC+∠C=180°. 解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化” 的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问 题得以解决. (2) 方法应用:如图③,AB∥CD,求∠B+∠BPD+∠D 的度数. (3) 深化拓展:已知直线 AB∥CD,P 为平面内一点,连接 PA,PD. ① 如图④,∠A=50°,∠D=140°,请直接写出∠APD 的度数. ② 如图⑤,请判断∠PAB,∠CDP,∠APD 之间的数量关系,并 说明理由. (第21题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈