第1章 整式的乘除 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

6ab-b2-2ab-8b2=-13a2-8ab. 2. (1) 原式=(9x2+6xy+y2+ xy-10y2-x2+9y2)÷2x=(8x2+ 7xy)÷2x=4x+ 7 2y. 当x=1,y=-2时,原式=4×1+ 7 2× (-2)=-3. (2) 原式=[9a2+6ab+b2-(9a2- b2)-6b2]÷(-2b)=(9a2+6ab+ b2-9a2+b2-6b2)÷(-2b)= (6ab-4b2)÷(-2b)=-3a+2b. 当a=13 ,b=-2时,原式=-3× 1 3+2× (-2)=-1-4=-5. (3) 原式=4x2+4xy+y2-(x2- 4y2)-(3x2-15xy-xy+5y2)= 4x2+4xy+y2-x2+4y2-3x2+ 15xy+xy-5y2=20xy. 当x=-3,y= 1 5 时,原式=20× (-3)×15=-12. (4) 原式=[4x2-4xy+y2-(4x2- 9y2)-xy]÷5y=(10y2-5xy)÷ 5y=2y-x. 因为x=-2-1=- 12 ,y=π0+ 1=2, 所以原式=2×2- -12 =92. 3. (x2+nx+3)(x2-3x+m)= x4+(-3+n)x3+(m-3n+3)x2+ (mn-9)x+3m. 由题意,得-3+n=0,m-3n+3=0, 解得n=3,m=6. 所以(-m)n=(-6)3=-216. 4. 小红说得对. 原式=x2-4y2-(x2+6xy+9y2)+ 6xy=x2-4y2-x2-6xy-9y2+ 6xy=-13y2. 所以这道题的结果与x的取值无关, 可以求出答案. 当y = -1 时,原 式 = -13× (-1)2=-13×1=-13. 第一章复习 ［知识体系构建］ am+n amn anbn am-n 1 1 ap a2-b2 a2±2ab+b2 ［高频考点突破］ 典例1 由题意,得4m=22m=5,8n= 23n=3,3m=4. (1) 22m+3n=22m·23n=5×3=15. (2) 24m-6n =24m ÷26n =(22m)2÷ (23n)2=52÷32=25÷9=259. (3) 122m =(3×4)2m =32m ×42m = (3m)2×(4m)2=42×52=16×25= 400. [跟踪训练] 1. 8 25 [解析] 因为 xm=2,xn=5,所以x3m-2n=(xm)3÷ (xn)2=23÷52=825. 典例2 原式=[4a2+4ab+b2- (4a2-b2)]÷2b=(4a2+4ab+b2- 4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷2b= 2a+b. 当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3. [跟踪训练] 2. (1) S1=(m+2)· (m+4)=m2+6m+8,S2=m(m+ 6)=m2+6m. 因为S1-S2=(m2+6m+8)- (m2+6m)=8>0, 所以S1>S2. (2) 由题意,得正方形的边长是 1 4 [2(m+4+m+2)+2(m+m+ 6)]=2m+6, 所以 S3 = (2m +6)2 =4m2 + 24m+36. 因为S3-2(S1+S2)=4m2+24m+ 36-2(m2+6m+8+m2+6m)= 4m2+24m+36-2m2-12m-16- 2m2-12m=20, 所以代数式S3-2(S1+S2)的值是 一个常数,为20. 典例3 (1) 4ab=(a+b)2-(a-b)2. (2) 由(1),得4mn=(m+n)2-(m- n)2. 因为m+n=5,mn=94 , 所以4×94=5 2-(m-n)2. 所以(m-n)2=16. 所以m-n=±4. [跟踪训练] 3. (1) 8. (2) 因为(4-x)+x=4, 所以[(4-x)+x]2=42,即(4- x)2+2(4-x)x+x2=16. 又因为(4-x)2+x2=8, 所以8+2(4-x)x=16. 所以(4-x)x=4. ［综合素能提升］ 1. D 2. A [解析] 因为(2x+b)2=4x2+ 4bx+b2,又(2x+b)2=4x2+20x+ a,所以4b=20,a=b2.所以a=25, b=5. 所以a+b=30. 3. B [解析]原式=-6x5-6ax4+ 18x3.因为展开式中不含x4 项,所 以-6a=0.所以a=0. 4. 1×10-4 [解析] 2×103×5× 10-8=1×10-4(cm).所以2×103 个 这样的细胞排成一排的长度是1× 10-4cm. 5. -1或3或1 [解析]分为三种情 况:① x-2≠0,x+1=0,解得x= -1;② x-2=1,解得x=3;③ x- 2=-1,x+1为偶数,解得x=1.综 上所述,整数x的值为-1或3或1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 6. 11 20 [解析] 1- 122 × 1- 1 32 ×…× 1- 1102 = 1-12 × 1+ 12 × 1- 13 × 1+ 1 3 ×…× 1-110 × 1+110 = 1 2× 3 2× 2 3× 4 3× …×910× 11 10= 1 2× 11 10= 11 20. 7. 2a3+9a2+5 [解析]由题意,得 这个多项式为(a2+4a-3)(2a+ 1)+2a+8=2a3+a2+8a2+4a- 6a-3+2a+8=2a3+9a2+5. 8. -1017 [解析] 因为(m - 2033)2+(2034-m)2=2035,所以 [(m-2033)+(2034-m)]2- 2(m-2033)(2034-m)=2035.所 以1-2(m-2033)(2034-m)= 2035,即1-2035=2(m-2033)· (2034-m).所以(m-2033)· (2034-m)=-1017. 9. (1) 原式=-8x6y3·9x2y4+ 60x8y7 = -72x8y7 +60x8y7 = -12x8y7. (2) 原式=[2(x2+2x+1)-(x- 2x2+2-4x)]÷ -32x =(4x2+ 7x)÷ -32x =-83x-143. 10. (1) 原式=4x2-1-(4x2- 12x+9)=4x2-1-4x2+12x-9= 12x-10. 当x=-1时,原式=12×(-1)- 10=-22. (2) 原式=[a2-4ab+4b2-(4b2- a2)-4a2+2ab]÷2a=(-2a2- 2ab)÷2a=-a-b. 因为a+b=-2, 所以原式=-(a+b)=2. 11. (1) (x+2y-3)(x-2y+3)= [x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x2- (2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)= x2-4y2+12y-9. (2) (2x-y+z)2=[(2x-y)+ z]2=(2x-y)2+2z(2x-y)+z2= 4x2-4xy+y2+4xz-2yz+z2. 12. (1) a2-b2;a3-b3;a4-b4. (2) an-bn. (3) 因为[2-(-1)]×(29-28+ 27-…+23-22+2-1)=210-110, 所以29-28+27-…+23-22+2- 1=(210-110)÷3=341. 所以29-28+27-…+23-22+2= 341+1=342. 第二章　相交线与平行线 1　两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 1. C 2. C 3. A 4. 134° 5. (1) ∠EOF,∠DOB (2) ∠BOF 6. D [解析] 由题图,可知∠2与 ∠ACD互补,∠1与∠ACD 互余,所 以∠2=180°-∠ACD,∠1=90°- ∠ACD.所 以∠2-∠1=90°. 7. D [解析]因为OP 平分∠AOC, OQ 平 分 ∠BOC,所 以 ∠POC = ∠POA = 12∠AOC ,∠QOC = ∠QOB = 12∠BOC. 由 题 意,得 ∠AOC + ∠BOC = 180°,所 以 1 2∠AOC+ 1 2∠BOC= 1 2 (∠AOC+ ∠BOC)=90°.所以∠POC与∠QOC 互余,∠POA 与∠QOC互余,∠POC 与∠QOB互余,∠POA 与∠QOB 互 余.所以题图中互余的角共有4对. 8. D [解析]因为OD 平分∠BOC, ∠BOC = 56°,所 以 ∠COD = 1 2∠BOC= 1 2 ×56°=28°. 因 为 ∠AOC 和 ∠COD 互 余,所 以 ∠AOC=90°-28°=62°.① 当OA, OB 在 OC 的 异 侧 时,如 图 ①, ∠AOB=∠AOC+∠BOC=62°+ 56°=118°.② 当OA,OB在OC的同 侧时,如图②,∠AOB=∠AOC- ∠BOC=62°-56°=6°.综上所述, ∠AOB的度数为118°或6°. (第8题) 9. 122° [解析]因为∠AOC=32°, ∠BOD与∠AOC 互为对顶角,所以 ∠BOD=32°.因为∠DOE=∠BOD, 所以∠DOE=32°.所以∠BOE= 32°+32°=64°.所以∠AOE=180°- 64°=116°.因为OF 平分∠AOE,所 以∠EOF=12∠AOE= 1 2×116°= 58°.所 以 ∠BOF = ∠EOF + ∠BOE=58°+64°=122°. 10. 36° [解析] 设这个角的度数为 x°.依题意,得90°-x°=23 (180°- x°)-42°,解得x=36. 所以这个角的 度数为36°. 11. (1) ∠EOC=∠DOF,∠BOD= ∠FOA. (2) ∠DOF 的 补 角 有 ∠DOE, ∠FOC,∠AOB. 12. (1) ∠AOD,∠BOC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 23 第一章复习 ▶ “答案与解析”见P8 第一章　整式的乘除 24 考点一 幂的运算 典例1 已知4m=5,8n=3,3m=4,求: (1) 22m+3n的值. (2) 24m-6n的值. (3) 122m 的值. 跟踪训练 1. 若xm=2,xn=5,则x3m-2n= . 考点二 整式的乘除运算 典例2 (2024·甘肃)先化简,再求值:[(2a+ b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 跟踪训练 2. 甲、乙两个长方形的边长如图所示,其面积分 别记为S1,S2. (第2题) (1) 请通过计算比较S1与S2的大小. (2) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长 方形的周长的和,设该正方形的面积为S3, 试说明:代数式S3-2(S1+S2)的值是一个 常数. 考点三 乘法公式的应用 典例3 如图,用四个长为a、宽为b(a>b)的小 长方形拼成一个“回形”正方形. (1) 用不同代数式表示图中涂色部分的面积,可 得等式为 . (2) 已知m+n=5,mn=94 ,求m-n的值. (典例3图) 跟踪训练 3. (2024·成都锦江段考改编) (1) 若x+y=6,x2+y2=20,则xy的值为 . (2) 拓展:若(4-x)2+x2=8,试求(4-x)x 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 已知5x=3,5y=2,则52x-3y 的值为 ( ) A. 3 4 B. 1 C. 2 3 D. 9 8 2. (2024·西安新城期中)若完全平方式(2x+ b)2=4x2+20x+a,则a+b的值为 ( ) A. 30 B. -25 C. 25 D. 10 3. 要使-6x3·(x2+ax-3)的展开式中不含 x4项,则a的值为 ( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. 1 6 4. (跨学科融合·生物)在电子显微镜下测得 一个圆球体细胞的直径是5×10-8cm,则 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 25 2×103 个这样的细胞排成一排的长度是 cm(结果用科学记数法表示). 5. (2023·大庆)若x满足(x-2)x+1=1,则整 数x的值为 . 6. 计算: 1-122 × 1-132 ×…× 1- 1102 = . 7. 已知一个多项式除以多项式a2+4a-3,所 得的商为2a+1,余式为2a+8,则这个多项 式为 . 8. 若m 满足(m-2033)2+(2034- m)2=2035,则(m-2033)(2034- m)= . 9. 计算: (1) (-2x2y)3· (3xy2)2-12x3y3· (-5x5y4). (2) [2(x+1)2-(x+2)(1-2x)]÷ -32x . 10. 先化简,再求值: (1) (2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中 x=-1. (2) [(a-2b)2-(2b-a)(a+2b)- 2a(2a-b)]÷2a,其中a+b=-2. 11. 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3). (2) (2x-y+z)2. 12. (核心素养·抽象能力)(1) 填空: (a-b)(a+b)= ; (a-b)(a2+ab+b2)= ; (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= . (2) 猜想: (a-b)(an-1+an-2b+ … +abn-2+ bn-1)= (其中n为正整数,且 n≥2). (3) 利用(2)中猜想的结论,计算:29-28+ 27-…+23-22+2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除