27.2 第5课时 相似三角形应用举例&专题特训(六) 相似与学科内知识的融合-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

时,过点M 作MN⊥BF于点N. ∵ BM 平 分 ∠ABF,MA ⊥AB, MN⊥BF, ∴ MA=MN. ∵ ∠A=∠MNF=90°,∠AFB= ∠NFM, ∴ △FAB∽△FNM. ∴ MN AB= MF BF. ∵ 点C关于BE的对称点F 恰好落 在射线DA上, ∴ BF=BC. ∵ MF BC= 1 2 , ∴ MN AB= MF BF= 1 2. ∵ AB=6, ∴ MN=3. ∴ AM=3. 在Rt△ABM 和Rt△NBM 中, BM=BM, AM=NM, ∴ Rt△ABM≌Rt△NBM. ∴ AB=NB=6. 设MF=x,则BF=BC=2x, ∴ FN=2x-6. 在Rt△MNF中, ∵ MN2+FN2=MF2, ∴ 32+(2x-6)2=x2,解得x=5或 x=3(不合题意,舍去). ∴ BC=2x=10. ∴ AD=BC=10. ∴ DF=AD-AM-MF=2. ② 如图②,当点F在边DA的延长线 时,过点M 作MN⊥BF于点N. 同情况①可得AM=MN=3,MF= 5,BN=AB=6,BC=AD=10. ∵ BF=BC=10, ∴ FN=BF-BN=10-6=4. ∴ DF=AD+AM+MF=18. 综上所述,当MF BC= 1 2 时,DF 的长为 2或18. (第7题) 8. 125 11 [解析] 延长CE,与AD交 于点M.∵ 四边形ACBD 是矩形, ∴ AD∥BC,∠CAD=∠ACB=90°. ∴ ∠BCF+∠ACM=90°.∵ CE⊥ BH,∴ ∠BFC=90°.∴ ∠BCF+ ∠CBF=90°.∴ ∠ACM=∠CBF. 又∵ ∠CAM=∠BCH,∴ △CAM∽ △BCH.∴ AM CH = AC CB.∵ AC=3, AH=1,∴ CH=AC-AH=3-1= 2.∴ AM 2 = 3 4.∴ AM = 32. 在 Rt△ACM 中,由勾股定理,得CM= AM2+AC2 = 32 2 +32 = 35 2 .∵ AD ∥BC,∴ ∠EAM = ∠EBC,∠EMA=∠ECB.∴ △AEM∽ △BEC.∴ ME CE = AM BC = 3 2 4 = 3 8. ∴ 易得CE= 88+3CM= 125 11 . 9. 如图,延长QF,与GC的延长线交 于点I. ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∵ E,F分别为对边AD,BC的中点, ∴ DE=12AD ,CF=12BC. ∴ DE=CF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形EFCD是平行四边形. ∴ EF∥CD. ∴ ∠QFE=∠I,∠EFG=∠FGI. ∴ △QOF∽△QCI,△QOE∽△QCG. ∴ OF CI= QO QC= OE CG. ∵ 易知OE=OF, ∴ CI=CG. 又∵ 易知FC⊥GI, ∴ FI=FG. ∴ ∠I=∠FGI,则∠QFE=∠EFG. ∴ FE平分∠QFP. (第9题) 第5课时 相似三角形应用举例 1. B 2. 24 3. 在正方形ABCD中,AD=10分米, 设EF=x分米,则EG=4x分米. 由题意,可得△AEF 和△DEG 为等 腰直角三角形, ∴ △AEF∽△DEG. ∴ AE DE= EF EG. 设AE=a分米,则 a10-a= x 4x ,解得 a=2. ∴ AE=2分米. ∴ 易得EF=2AE=22分米. ∴ 这个正方体礼品盒的棱长为 22分米. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 4. A [解析] 如图,过点P作PE⊥ BC 于点E.∴ PE∥AB.∴ BE EC= AP PC.∵ CD ∥AB,∴ △APB ∽ △CPD.∴ AB CD= AP PC= BE EC= 6 4= 3 2.∴ BE BE+EC= BE BC= 3 5.∵ CD∥ PE,∴ △BPE∽△BDC.∴ PE CD= BE BC. 设PE=a米.∴ a 4= 3 5 ,解得 a=2.4.∴ PE=2.4米. (第4题) 5. B [解析] 由题意,得AB⊥BC, ∴ ∠ABC =90°.∵ DE ⊥AC, ∴ ∠DEC = 90°.∴ ∠DEC = ∠ABC=90°.∵ AB=60cm,AB+ BC=140cm,∴ BC=140-60= 80(cm).∴在 Rt△ABC 中,AC= AB2+BC2 = 602+802 = 100(cm).∵ D 是 BC 的 中 点, ∴ CD=12BC=40cm.∵ ∠DCE= ∠ACB, ∠DEC = ∠ABC, ∴ △ECD∽△BCA.∴ CD CA = DE AB. ∴ DE=CD ·AB CA =24cm.∴ 钢梁 DE的长为24cm. 6. 27 [解析] 如图,设这个展开图折 成的正方体的棱长为xcm,延长FE 交AC于点D,则GH=3xcm,CH= EF=2xcm,EG =xcm,DF = 4xcm.∵ DF∥BC,∴ △GEF∽ △GHB.∴ GE GH= EF HB.∴ GE EF= GH HB. ∵ EG EF= 1 2 ,∴ GH HB= 1 2.∴ HB= 6xcm.∵ BC=24cm,∴ 2x+6x= 24,解得x=3,即这个展开图折成的 正方体的棱长为3cm.∴ 这个展开图 可折成的正方体的体积为27cm3. (第6题) 7. 24 [解析] 如图,延长FB,交EA 的延长线于点T.设TA=x米,CE= y米.由题意,得AB=1.5米,AC= CD=3米,EF=15米.∵ AB∥CD, ∴ △TAB∽△TCD.∴ TA TC= AB CD. ∴ x x+3= 1.5 3 ,解得x=3.∴ TA= 3米,TC =6 米.∵ CD ∥EF, ∴ △TCD∽△TEF.∴ TC TE= CD EF. ∴ 6 6+y= 3 15 ,解得y=24.∴ CE= 24米. (第7题) 8. 6 5 [解析] 如图,作点P 关于 AD的对称点P',设以BC 为直径的 半圆圆心为点O,作半圆O 关于CD 的对称半圆O',连接P'O',与AD 交 于点M,与CD 交于点N,与半圆O' 交于点Q,则P'Q的长就是红外线途 经的最短路线长.∵ 正方形ABCD 的边长为4米,AP=1米,∴ AD∥ BC,AP'=1米,AB=BC=4米, CO'=QO'=2米.∴ P'B=5米, BO' = 6 米.∵ AM ∥ BC, ∴ △P'AM∽△P'BO'.∴ P'A P'B = AM BO'.∴ AM=P'A ·BO' P'B = 6 5 米. (第8题) 9. (1) 24 (2) 480 [解析] 如图,记CD 与EF 相 交 于 点 K.∵ EF ∥ AB, ∴ △CEF∽△CAB.∴ EF AB= CK CD= 1 5.∵ 易得AB=50cm,∴ EF= 1 5AB= 1 5 ×50=10 (cm),CK = 1 5CD= 24 5cm. 同理,可得 MN= 2 5AB=20cm ,PQ=35AB=30cm , GH=45AB=40cm ,∴ 这4张纸条 的面积和=10×245+20× 24 5+30× 24 5+40× 24 5=480 (cm2). (第9题) 10. 过点D作DP⊥AB于点P,则易 得四边形PBCD为矩形. ∴ PD=BC,PB=CD=2m. ∵ ∠APD=∠FEG=90°,∠ADP= ∠FGE, ∴ △APD∽△FEG. ∴ PD EG= AP FE. ∴ AP PD= FE EG=1. ∴ PD=PA=AB-PB. ∵ ∠ABC=∠HNM=90°,∠AMB= ∠HMN, ∴ △ABM∽△HNM. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 ∴ AB HN= BM NM. 设AB=xm. ∵ HN=1.5m,MN=0.8m,CN= 0.6m, ∴ BM=BC-CM =PD-CM = AB-PB-(CN +MN)=(x- 3.4)m. ∴ x 1.5= x-3.4 0.8 ,解得x=517. ∴ AB≈7.3m. ∴ 樱花树AB的高度约为7.3m. 利用镜子的反射测量物体的 高时隐含的条件 利用镜子的反射测量物体的 高时,反射角与入射角相等是判定 两个三角形相似的隐含条件. 专题特训（六）　相似 与学科内知识的融合 1. 17 3 ,35 9 或(11,35) [解析] 如 图,过点 M 作 ME⊥AP 于点E. ∵ 抛物线y= 1 2x 2-52x+c 过点 B(3,-1),∴ -1= 92 - 15 2 +c. ∴ c=2.∴ 点A 的坐标为(0,2),抛 物线对应的函数解析式为 y= 1 2x 2-52x+2. 当y=0时,则0= 1 2x 2-52x+2 ,解得x1=1,x2=4. ∴ 点C的坐标为(4,0).∵ A(0,2), C(4,0),B(3,-1),∴ AC=25, BC=2,AB=32.∵ AB2+BC2= 20=AC2,∴ △ABC为直角三角形, 且∠ABC=90°.设点 M 的坐标为 m,12m2- 52m+2 (m>0). ∴ ME=m,AE=12m 2-52m+2- 2= 12m 2 - 52m. 当 ∠AMP = ∠ABC= ∠AEM =90°,∠ACB= ∠PAM 时,易得△ACB∽△PAM∽ △MAE,∴ AB BC = ME AE.∴ 32 2 = m 1 2m 2-52m .∴ m=173.∴ M 173, 35 9 .当 ∠AMP = ∠ABC = ∠AEM=90°,∠BAC=∠PAM 时, 易得 △ACB ∽ △APM ∽ △AME. ∴ BC AB = EM AE. ∴ 2 32 = m 1 2m 2-52m .∴ m=11.∴ M(11, 35).综上所述,点M 的坐标为 173, 35 9 或(11,35). (第1题) 2. (1) 2. [解析] ∵ 四边形OABC 为矩形,顶点B 的坐标为(4,2), ∴ ∠OCB=∠OAB=∠ABC=90°, OC = AB =2,OA =BC =4. ∵ △ODE是由△OAB 旋转得到的, 即△ODE ≌ △OAB,∴ ∠COF = ∠AOB. ∴ △COF ∽ △AOB. ∴ CF AB= OC OA.∴ CF 2= 2 4.∴ CF=1. ∴ 点F的坐标为(1,2).∵ 反比例函 数y= k x (x>0)的图象经过点F, ∴ 2=k1 ,解得k=2. (2) 存在. △COF∽△BFG;△AOB∽△BFG; △DOE∽△BFG;△CBO∽△BFG. 下面对△AOB∽△BFG进行证明: ∵ 点G在AB上, ∴ 点G的横坐标为4. 在y= 2 x 中,令x=4,得y= 1 2. ∴ 点G的坐标为 4,12 . ∴ AG=12. ∵ BC=AO=4,CF=1,AB=2, ∴ BF=BC-CF=3,BG=AB- AG=32. ∴ AO BF= 4 3 ,AB BG= 2 3 2 =43. ∴ AO BF= AB BG. ∵ ∠OAB=∠FBG=90°, ∴ △AOB∽△BFG. 3. D 4. (1) 40 13 [解析] 延长AF 交CD 于点G.∵ 在Rt△ABD 中,AB=6, AD=8,∴ BD=10.∵ AF⊥BE, ∴ ∠DAG + ∠AEB = 90°. ∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°, ∴ ∠ABE=∠DAG.又∵ ∠BAE= ∠ADG=90°,∴ △ABE∽△DAG. ∴ AB AD= AE DG.∴ 6 8= 2 DG.∴ DG= 8 3.∵ 易知AB∥CD,∴ △ABF∽ △GDF.∴ AB GD = BF DF.∴ 6 8 3 = 10-DF DF .∴ DF=4013. (2) 2 [解析] 设AE=x,则DF= kx.由 (1),得 △ABE ∽ △DAG, ∴ AB DA= AE DG.∴ 6 8= x DG.∴ DG= 4 3x. 由(1),得△ABF∽△GDF, ∴ AB GD = BF DF.∴ 6 4 3x =10-kxkx . ∴ x=20-9k2k .∵ x>0,∴ 20-9k 2k > 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 0.∴ 0<k<209.∴ k可取的最大整 数值为2. 5. (1) 如图①,在BA 上截取BJ,使 得BJ=BE,连接EJ. 根据题意,可知四边形ABCD 是正 方形, ∴ ∠B=∠BCD=90°,BA=BC. ∵ BJ=BE, ∴ AB-BJ=BC-BE,即AJ=EC. ∵ ∠AEC = ∠AEF + ∠CEF = ∠BAE+∠B,∠AEF=∠B=90°, ∴ ∠EAJ=∠CEF. ∵ AE=EF, ∴ △EAJ≌△FEC. ∴ ∠AJE=∠ECF. ∵ ∠B=90°,BJ=BE, ∴ ∠BJE=45°. ∴ ∠AJE=180°-∠BJE=180°- 45°=135°. ∴ ∠ECF=135°. ∴ ∠GCF = ∠ECF - ∠ECD = 135°-90°=45°. (2) ∠GCF=32α-90°. 理由:如图②,在AB 上截取AN,使 AN=EC,连接NE. ∵ ∠B + ∠BAE + ∠AEB = ∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°, ∠B=∠AEF, ∴ ∠EAN=∠FEC. ∵ AE=EF, ∴ △ANE≌△ECF. ∴ ∠ANE=∠ECF. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB=BC. ∴ AB-AN=BC-EC,即BN=BE. ∴ ∠BNE=∠BEN. ∵ ∠B=α, ∴ ∠BNE=180°-α2 =90°- 1 2α. ∴ ∠ANE=180°-∠BNE=90°+ 1 2α. ∵ 四边形ABCD为菱形, ∴ AB∥DC. ∴ ∠B+∠BCD=180°. ∵ ∠B=∠AEF=α, ∴ ∠BCD=180°-α. ∴ ∠GCF = ∠ECF - ∠BCD = ∠ANE- ∠BCD = 90°+12α - (180°-α)=32α-90°. (3) 如图③,过点A作CD的垂线,交 CD 的延长线于点P,设菱形的边长 为3m,过点F作FH⊥BC,交BC的 延长线于点H,在CH 上截取CM,使 CM=BE,连接FM. ∵ AP⊥CD,FH⊥BC, ∴ ∠P=∠H=90°. ∵ DG CG= 1 2 , ∴ DG=m,CG=2m. ∵ 四边形ABCD为菱形, ∴ ∠ADC=∠B=120°. ∴ ∠ADP=180°-∠ADC=60°, ∠DAP=30°. ∴ PD=12AD= 3 2m ,则易得AP= 3PD=323m. ∴ PG=PD+DG=52m. ∵ α=120°, ∴ 由(2),知∠GCF=32α-90°=90°. ∴ ∠P=∠GCF. ∵ ∠AGP=∠FGC, ∴ △APG∽△FCG. ∴ AP FC= PG CG. ∴ 33 2m FC = 5m 2 2m. ∴ FC=635m. ∵ ∠B=∠AEF=120°, ∴ ∠1+∠2=60°,∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3. ∵ BE=CM, ∴ BC=EM. ∴ AB=EM. 在△ABE和△EMF中, AB=EM, ∠3=∠1, AE=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△EMF. ∴ BE=MF,∠B=∠EMF=120°. ∴ CM=FM. ∴ ∠MCF=∠MFC=30°. ∴ FH=12FC= 33 5m ,∠FMH=60°. ∴ ∠MFH=30°. ∴ 易得FM=65m. ∴ BE=CM=65m. ∴ BE CE= BE BC-BE= 6 5m 3m-65m =23. (第5题) 6. 6 [解析] ∵ EF是☉O的切线, ∴ OD ⊥EF.∴ ∠ODE =90°. ∵ OA =OC,∴ ∠A = ∠OCA. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 ∵ ∠COB的平分线交☉O 于点D, ∴ ∠BOC =2∠COD = ∠A + ∠OCA =2∠OCA.∴ ∠OCA = ∠COD.∴ AF∥OD.∴ △ODE∽ △AFE.∴ OE AE= DE EF. 设BE=x,则 OB=OD=OA=2x,∴ OE=3x, AE=5x.在 Rt△ODE 中,DE= OE2-OD2= 5x.∴ 3x 5x= 5x 55 . ∴ x=3.∴ OB=2x=6,即☉O的半 径为6. 7. (1) ∵ AD︵=BD︵, ∴ ∠ACD=∠ECB. ∵ ∠ADC=∠EBC, ∴ △ACD∽△ECB. (2) 过点B作BH⊥CD于点H. ∵ AB是☉O的直径, ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ACB中,AB= BC2+AC2= 12+32= 10. ∵ 易知∠ACD=∠BCD=45°, ∴ ∠ABD=∠BAD=45°. ∴ △ABD为等腰直角三角形. ∴ 易 得 BD = 22 AB = 2 2 × 10=5. 在Rt△BCH 中,∵ ∠BCH=45°, ∴ 易得CH=BH= 22BC= 2 2. ∴ 在 Rt△BDH 中, DH = BD2-BH2= ( 5)2- 2 2 2 = 32 2 . ∴ CD=CH+DH = 22 + 32 2 = 22. ∵ △ACD∽△ECB, ∴ CA CE= CD CB ,即3 CE= 22 1 . ∴ CE=324 . 8. (1) ∵ ∠CDE=∠BDA,∠E= ∠A, ∴ △CED∽△BAD. (2) 过点D作DF⊥EC于点F. ∵ △ABC 是边长为 6的等边三 角形, ∴ ∠A=60°,AC=AB=6. ∵ DC=2AD, ∴ AD=2,DC=4. ∵ △CED∽△BAD, ∴ EC AB= DE DA ,即EC 6= DE 2 . ∴ EC=3DE. ∵ ∠E=∠A=60°,DF⊥EC, ∴ ∠EDF=90°-60°=30°. ∴ DE=2EF. 设EF=x,则易得DE=2x,DF= 3x,EC=6x. ∴ FC=EC-EF=5x. 在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2, ∴ (3x)2+(5x)2=42,解得x= 27 7 或x=-277 (不合题意,舍去). ∴ CE=6×277 = 127 7 . 27.3　位　似 第1课时 位似图形的概念 及画法 1. D 2. D 3. B 4. 5 5. D 6. D 7. 3 [解析] ∵ △OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形, ∴ △OAB∽△OCD.∴ OA OC= OB OD. ∵ AE,CB分别是△OAB,△OCD 的 中线,∴ OE OB= OB OD.∴ OE OB= OA OC. 又 ∵ ∠O=∠O,∴ △OAE∽△OCB. ∵ △OAE与△OCB对应点的连线都 经过同一点,对应边平行或在同一条 直线上,∴ △OAE 与△OCB 是位似 图形.同理,可知△ABE与△CDB是 位似图形.∴ 图中的位似三角形共有 3对. 判断两个图形是否为 位似图形的思路 两个图形是位似图形,必须同 时满足下列条件:首先,两个图形 必须相似;其次,每组对应顶点的 连线交于一点;最后,位似图形的 对应线段平行或在同一条直线上. 8. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (第8题) 9. (1) 4 2. [解析] ∵ 正方形 ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图 形,∴ 四边形A'B'C'D'是正方形. ∴ ∠A'B'C'=90°.∴ A'C'是四边形 A'B'C'D'的外接圆直径.∵ 正方形 ABCD的边长为4,A'B'∶AB=2∶ 1,∴ A'B'=8.∴ A'C'= 82+82= 82.∴ 四边形A'B'C'D'的外接圆半 径为42. (2) 由题意,得C'D'=A'B'=8, CD=AB=4. ∵ 点D'在线段CD的延长线上, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 36 第5课时 相似三角形应用举例 ▶ “答案与解析”见P23 1. (2023·邯郸期末)如图①所示为装有一定量 液体的高脚杯中截面示意图,用去一部分液体 后如图②所示,此时图②中三角形(阴影部分) (第1题) 的面积是 ( ) A. 5cm2 B. 6cm2 C. 7cm2 D. 8cm2 2. (2024·成都模拟)利用相机的“微 距模式”可以拍摄得到与实际物体 等大或比实际物体稍大的像.如图 所示为一个微距拍摄成像的示意图.若拍摄 60mm远的物体AB,其在底片上的像A'B' 的宽是36mm,相机的焦距是90mm,则物体 AB的宽是 mm. (第2题) 3. (2024·中山一模)母亲节即将到来,小明准 备给妈妈送一个礼物.他用正方形纸板,制作 一个正方体礼品盒(按如图所示的方式裁 剪).已知正方形纸板的边长为10分米,则这 个正方体礼品盒的棱长为多少分米? (第3题) 4. 如图,相邻的两根电线杆都用钢索在地面上 固定,一根电线杆的钢索系在离地面4米高 处,另一根电线杆的钢索系在离地面6米高 处,两根电线杆的钢索都有一端固定在另一 根电线杆底部,则中间两段钢索相交处点P 到地面的距离为 ( ) (第4题) A. 2.4米 B. 8米 C. 3米 D. 20 3 米 5. (2024·福州模拟)如图,学校为举办文艺汇 演搭建了舞台及登台的台阶,台阶总高度 AB=60cm,部分台阶上铺有红地毯,红地毯 的长度为140cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D 为BC的中点,则钢梁DE的长为 ( ) (第5题) A. 20cm B. 24cm C. 32cm D. 40cm 6. 在直角三角形纸片(Rt△ABC)上可按如图所 示的方式剪出一正方体表面展开图,直角三 角形的两直角边与正方体展开图左下角正方 形的边共线,斜边恰好经过两个正方形的顶 点.已知BC=24cm,则这个展开图可折成的 正方体的体积为 cm3. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 37 7. (2024·广西模拟)如图,小明用相似图形的 知识测量旗杆的高度.已知小明的眼睛到地 面的距离AB=1.5米,他将3米长的标杆 CD 竖直放置在身前3米处,此时小明的眼 睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一条直线 上,通过计算得到旗杆的高度EF=15米,则 旗杆和标杆之间的距离CE为 米. (第7题) (第8题) 8. (2023·深圳二模)如图,在边长为4米的正方 形场地ABCD内,有一块以BC为直径的半圆 形红外线接收“感应区”,边AB上的点P处有 一个红外线发射器,红外线从点P发射后,经 AD,CD上的平面镜反射后到达“感应区”.若 AP=1米,当红外线途经的路线最短时,AD 上平面镜的反射点距离点A 米. 9. (2023·邯郸期末)如图,△ABC是 一张直角三角形彩色纸,∠ACB= 90°,AC=30cm,BC=40cm,CD⊥ AB于点D. (1) CD= cm. (2) 将斜边上的高CD 进行五等分,然后裁 出4张宽度相等的矩形纸条,则这4张纸条 的面积和是 cm2. (第9题) 10. ★(新情境)小华想用平面镜和阳光下的影子 来测量樱花树的高度.方法如下:如图,首 先,小华在某一时刻测得站立在E 处的小 丽的影长EG=1.6m,在同一时刻测量樱花 树的影长时,因树靠近墙面,影子有一部分 落在墙上,他测得落在墙上的影长CD= 2m.然后,小华在小丽和墙面之间的地面 CE上平放一平面镜,在镜面上做了一个标 记M,保持平面镜不动,小华看着镜面上的 标记,他来回走动,走到N 处时,恰好在镜 面中看到樱花树顶端A,这时测得小华的眼 睛与地面的距离 HN =1.5m,CN = 0.6m,MN=0.8m,点G,B,N 均在直线 EC 上,EF⊥EC,HN ⊥EC,AB⊥EC, CD⊥EC,小丽的身高EF=1.6m.求樱花 树AB的高度(结果精确到0.1m). (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 38 　　　专题特训（六）　相似与学科内知识的融合 ▶ “答案与解析”见P25 类型一 相似与函数的综合 1. (2023·六安模拟)如图,过点B(3,-1)的抛 物线y= 1 2x 2-52x+c 与坐标轴交于点A, C,连接AC,BC,AB,第一象限内有一动点 M 在抛物线上运动,过点M 作MP⊥AM 交 y轴于点P.当点P 在点A 上方,且△AMP 与△ABC相似时,点M 的坐标为 . (第1题) 2. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的 顶点B 的坐标为(4,2),OA,OC 分别落在 x 轴和y 轴上,OB 是矩形的对角线.将 △OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得点B 落在y轴上,得到△ODE,OD 与CB相交于 点F,反比例函数y= k x (x>0)的图象经过 点F,交AB于点G. (1) 计算:k= . (2) 连接FG,图中是否存在与△BFG 相似 的三角形? 若存在,请找出一个,并进行证 明;若不存在,请说明理由. (第2题) 类型二 相似与四边形的综合 3. (2024·苏州期末)如图,在正方形 ABCD 中,△BPC 是等边三角形, BP,CP 的延长线分别交AD 于点 E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H. 给出 下 列 结 论:① △BDE ∽ △DPE; ② FP PH= 3 5 ;③ DP2=PH·PB.其中,正确 的是 ( ) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ (第3题) (第4题) 4. (2024·金华模拟)如图,在矩形ABCD 中, AB=6,AD=8,连接BD,E,F分别为AD, BD上的点,AF⊥BE于点H. (1) 若AE=2,则DF= . (2) 若DF AE=k ,则k可取的最大整数值为 . 5. (2023·武汉)有一个问题:如图①,E是菱形 ABCD的边BC上一点,△AEF是等腰三角 形,AE=EF,∠AEF=∠B=α(α≥90°), AF交CD于点G,连接CF,探究∠GCF与α 之间的数量关系. (1) 先将问题特殊化,如图②,当α=90°时, 求∠GCF的度数. (2) 再探究一般情形,如图①,探究∠GCF与 α之间的数量关系,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 39 (3) 将图①特殊化,如图③,当α=120°时,若 DG CG= 1 2 ,请直接写出BE CE 的值. (第5题) 类型三 相似与圆的综合 6. (2024·丹东二模)如图,AB 是☉O的直径, C是☉O上一点,连接OC,∠COB的平分线 交☉O于点D,过点D 作☉O的切线分别交 AB,AC的延长线于点E,F.若BE=12OB , EF=55,则☉O的半径为 . (第6题) 7. (核心素养·模型建构)(2024·新疆)如图, 在☉O 中,AB 是☉O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD ︵ =BD ︵,连接AD,BD,BC,AC. (1) 求证:△ACD∽△ECB. (2) 若AC=3,BC=1,求CE的长. (第7题) 8. 如图,边长为6的等边三角形ABC 内接于 ☉O,D 为AC 上的动点(不与点A,C 重 合),BD的延长线交☉O于点E,连接CE. (1) 求证:△CED∽△BAD. (2) 当DC=2AD时,求CE的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似