18.2.1：矩形【9大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

18.2.1：矩形 【考点梳理】 · 考点一：矩形性质的理解 · 考点二：矩形的性质求角度 · 考点三：矩形的性质求线段 · 考点四：矩形的性质求面积和坐标 · 考点五：矩形的折叠问题 · 考点六：添加一个条件成为矩形问题 · 考点七：矩形的判定证明问题 · 考点八：直角三角形斜边上的中线问题 · 考点九：矩形的性质和判定综合性问题 【知识梳理】 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图,在□ABCD中,如果∠A=90°,那么□ABCD就是矩形。 知识点二：矩形的性质 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 技巧归纳： (1)矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质。 (2)矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。 (3)由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。 (4)矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形,所以也常用等腰三角形的性质解决问题。 知识点三：直角三角形的一条重要性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：如图,在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线, ∴BD=1/2 AC 知识点四：矩形的判定方法 1: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 (用定义判定) 几何语言: 如图,∵∠BAD=90°,四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 3: 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: 如图,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°,四边形ABCD是矩形。 【题型归纳】 题型一：矩形性质的理解 1．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：矩形的性质求角度 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 5．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型三：矩形的性质求线段 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 9．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 题型四：矩形的性质求面积和坐标 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 11．（2021·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型五：矩形的折叠问题 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 14．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ） A． B． C． D．5 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，，，对角线 相交于点，过 作 于点，将沿 折叠，点恰好落在线段的点处， 则的长为 （   ） A． B． C． D． 题型六：添加一个条件成为矩形问题 16．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型七：矩形的判定证明问题 19．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 21．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 题型八：直角三角形斜边上的中线问题 22．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分，，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，那么的长是（     ） A．1 B． C． D． 24．（23-24八年级下·湖南娄底）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 题型九：矩形的性质和判定综合性问题 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 26．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 27．（23-24八年级下·江苏苏州）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； (2)将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 7．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 二、填空题 1．（24-25八年级下·江苏南京）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 4．（24-25九年级下·广东广州）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 三、解答题 1．（24-25八年级下·湖南长沙）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 5．（23-24八年级下·广东广州）如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2) 擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连接交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.1：矩形 【考点梳理】 · 考点一：矩形性质的理解 · 考点二：矩形的性质求角度 · 考点三：矩形的性质求线段 · 考点四：矩形的性质求面积和坐标 · 考点五：矩形的折叠问题 · 考点六：添加一个条件成为矩形问题 · 考点七：矩形的判定证明问题 · 考点八：直角三角形斜边上的中线问题 · 考点九：矩形的性质和判定综合性问题 【知识梳理】 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图,在□ABCD中,如果∠A=90°,那么□ABCD就是矩形。 知识点二：矩形的性质 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 技巧归纳： (1)矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质。 (2)矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。 (3)由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。 (4)矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形,所以也常用等腰三角形的性质解决问题。 知识点三：直角三角形的一条重要性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：如图,在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线, ∴BD=1/2 AC 知识点四：矩形的判定方法 1: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 (用定义判定) 几何语言: 如图,∵∠BAD=90°,四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，∵AC=BD，四边形ABCD为平行四边形, ∴□ABCD是矩形。 3: 有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言: 如图,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°,四边形ABCD是矩形。 【题型归纳】 题型一：矩形性质的理解 1．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，可得，解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 题型二：矩形的性质求角度 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，首先根据矩形的性质得到，，由此可得，然后根据，可以求出，，据此进而得到的度数，最后进一步求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，得出，从而得到是等边三角形，进而得到，根据得到，进而得到，之后利用三角形外角定理得到即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ． 故选：C． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 题型三：矩形的性质求线段 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形得到，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ，则， 在中，， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：B． 9．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型四：矩形的性质求面积和坐标 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 11．（2021·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)， ∴AD=OC=10，DC=AO=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3， ∴点E的坐标为(10,3)． 故选择A． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键． 12．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题． 【详解】解：∵ ∴F是的中点， ∵D是中点， ∴是中位线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴四边形为矩形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴矩形面积． 故选：A． 题型五：矩形的折叠问题 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理求解是解答的关键． 设，由折叠性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， 设 在中，， ∴，解得， 故选：A． 14．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出x即可解决问题； 【详解】在和中， ， ∴； ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C 15．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形 中，，，对角线 相交于点，过 作 于点，将沿 折叠，点恰好落在线段的点处， 则的长为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，折叠的性质，由矩形的性质及勾股定理可得，进而由三角形的性质可得，再由勾股定理得，即可由折叠的性质得，最后由线段的和差关系即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故选：． 题型六：添加一个条件成为矩形问题 16．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定是矩形， 在中，添加或或，都不能判定是矩形， 故选：D． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的判定定理、菱形的定义和菱形的判定定理等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，推导出，则四边形是菱形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可推导出四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，且，可证明四边形是菱形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可判断四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 18．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 题型七：矩形的判定证明问题 19．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）证明：中，，是中线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形， ， 中，是中线， ， 是的中位线， ，． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明四边形是矩形，掌握其性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 21．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 题型八：直角三角形斜边上的中线问题 22．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据题意得到，，然后求出，，然后根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】∵的周长是 ∴ ∵的周长比的周长多 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴． 故选：C． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分，，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，那么的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由平分，，，，易得是等腰三角形，，由含30度角的直角三角形的性质，即可求得的长，进而求得的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，等角对等边，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．此题难度适中，注意数形结合思想的应用． 24．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 题型九：矩形的性质和判定综合性问题 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 26．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②12 【分析】（1）先利用已知条件得出四边形为平行四边形，再得出，即可得出四边形为矩形． （2）①由矩形的性质得出，，再由线段中点的定义得出，进而证明，由全等三角形的性质可得出，，最后再得出，根据等角对等边即可得出答案． ②由①知可得出，设，根据勾股定理得代入数值求出x的值，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 又∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）①∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵，F为的中点， ∴，． ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ②由①知， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理得： 即 【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，等角对等边，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 27．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； (2)将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1） 解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2） 解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； （3） 解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 4．（2024·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，求得，并且根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，所以，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 把沿折叠，点C落在边上的F处， ，， ，， ， ， ， 解得：， 故选：D． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 在中，，，， 又，即， ， 于E，于F， ， 四边形为矩形， ， 当于点时，最小，即最小， 有， 故选：B． 7．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 8．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转，8秒一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，， ∴8秒一个循环， ∵， ∴点G与原位置的点G的坐标相同， ∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为． 故选：A． 9．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 二、填空题 1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定， 根据矩形的性质可知，可得，进而得出，再根据阴影部分的面积可得答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，由直角三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出，则可求出答案．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点D是的中点，点E是的中点， , ,点D是的中点， ， 根据勾股定理， ． 故答案为：3． 4．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，易得四边形是平行四边形，进而得到三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：延长交于点N，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点为中点， ∴三点共线， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图，若点在线段上时，过点作， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， 四边形是矩形， ∵把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上 ； 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求得，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 三、解答题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解： 由（1）可知四边形是矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线性质可得结论； （3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， 则； （2）证明：由折叠可知， 在矩形中，， ， ； （3）如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）由折叠的性质得出，从而得到，然后可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，得出，从而得到，设，则，求出，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 5．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，再证明，等量代换即可得出答案； （2）依题意补全图形，线段之间的数量关系是：．连接，先证明，再证明，进而得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，是的中点， ， ，， ， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2) 擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连接交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【答案】(1) (2)①；②当点、在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，延长，取，连接， 根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，说明H是的中点，根据中位线的性质得到即可； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G，延长，取，连接， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$