第一章 数列 单元测试卷（A）-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章 数列 单元复习测试卷（A） 一、选择题 1．已知在等差数列中,,则( ) A.6 B.8 C.7 D.10 2．已知数列2,,,,,…,,…,则该数列的第40项是( ) A. B. C.11 D.5 3．在等差数列中，若，，则( ) A.195 B.196 C.197 D.198 4．已知是等差数列的前n项和，若，，则数列的首项( ) A.3 B.2 C.1 D. 5．数列的通项公式为，该数列的前50项中最大项是( ) A. B. C. D. 6．在等差数列中,,设数列的前n项和为,则( ) A.12 B.99 C.132 D.198 7．设等比数列的前n项和为,若,,则( ) A.20 B.30 C.35 D.40 8．用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则( ) A.2022 B.2023 C. D. 二、多项选择题 9．近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系.在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”.某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有( ) A.站在第20拐角的学生是111号 B.站在第23拐角的学生是137号 C.第133号同学站在拐角位置 D.站在拐角位置的同学共有79名 10．等差数列中，，，若，，则( ) A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值 C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值 11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式为( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．已知正项等比数列满足,则其公比___________. 13．等差数列的前n项和为，，，则________. 14．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________. 四、解答题 15．已知数列满足，，其中为的前n项和，. （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式. 16．已知数列中,,且,为数列的前n项和,,数列是等比数列,,． (1)求数列和的通项公式; (2)若,求数列的前n项和． 17．设正项数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记的前n项和为，求证：. 18．已知数列是首项为1的正项数列，且，数列满足，且. （1）求数列，的通项公式； （2）求. 19．从社会效益和经济效益出发，某地准备投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. （1）设n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； （2）至少经过多少年，旅游的总收入能超过总投入？（取） 第一章 数列 单元复习测试卷（A） （参考答案） 1．答案：D 解析：因为,所以. 故选:D. 2．答案：C 解析：依题意,所给数列的通项公式为, 所以该数列的第40项. 故选：C. 3．答案：C 解析：设等差数列的首项为， 公差为d，则 解得 所以， 所以. 故选：C 4．答案：B 解析：设等差数列的公差为d，因为， 可得，即，所以， 又因为，可得， 即，联立解得，. 故选：B. 5．答案：C 解析：因为 所以当，即时，，所以. 当，即时，，所以. 且时，数列为递减数列， 所以该数列的前50项中最大项是. 故选：C 6．答案：C 解析：,, . 故选：C. 7．答案：B 解析：由等比数列的前n项和的性质可得,,也成等比数列,所以,则,解得. 8．答案：D 解析：函数有两个零点1，2 ， , 则由题意得 , , ,且 , 所以数列是以1为首项, 以2为公比的等比数列, 所以, , 故选：D. 9．答案：ACD 解析：观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26，… 将奇数项的拐角即为，易得：; 偶数序号的拐角即为，由规律可得： 第20拐角的学生编号为：正确； 站在第23拐角的学生编号为：错误； 由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置； 由，可得，由，可得， 所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确； 故选：ACD 10．答案：AD 解析：设等差数列的公差为d， 依题意，得， 解得， ， ， 当时，有最小值-25，无最大值， 而， 易得，，，， 且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. 11．答案：BD 解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…, 且正方形数是这串数中相邻两数之和,容易得到：,,,,只有BD是对的. 故选：BD. 12．答案：3 解析：依题意可得,,代入原式得. 即,解得或,当时,与题意矛盾舍去,故. 故答案为：3. 13．答案：13 解析：因为为等差数列， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：13. 14．答案： 解析：设首项，公比q，易知， ∴， 由于均为正，∴， ∴. 故答案为： 15．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为，， 所以，即， 所以，即，所以， 则. 又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知，所以. 当时，， 当时，不满足上式， 所以数列的通项公式为 16．答案：(1),; (2)数列的前n项和为. 解析：(1)由已知当,时,,, 所以, 又, 所以, 所以, 所以数列为等差数列,公差为1, 又,所以, 所以当,时,, 又, 所以,, 设等比数列的公比为q, 因为,, 所以,, 所以,所以, (2)由(1), 所以, 所以数列的前n项和, 所以. 17．答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）因为， 当时，，又，则， 当时，，， 两式相减，整理可得， 又为正项数列，即， 所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得，所以， 所以， 两式相减得 ， 所以. 18．答案：（1）数列的通项公式为；数列的通项公式为 （2） 解析：（1）由， 可得， 又数列是首项为1的正项数列， 所以，即， 所以， 所以有， 也满足， 所以数列的通项公式为. 数列满足，即， 则有， 所以 ， 也满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 设， 则，① ，② 可得 ， 所以. 19．答案：（1）， （2）5年 解析：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元， 第n年投入为万元， 所以n年内的总投入. 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为万元， 第n年旅游业收入为万元， 年内的旅游业总收入万元. （2）设至少经过n年旅游业的总收入就能超过总投入， 即，即， 化简得， 设，则不等式等价为， 解得或（舍去）. 即，又，所以. 即经过5年旅游业的总收入就能超过总投入. 学科网（北京）股份有限公司 $$