专题09 排列组合问题-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题09 排列组合问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题09 排列组合问题 一、知识填空： 1．计数原理： （1）分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． （2）分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 2.排列数组合数公式： （1） （2） 3.求解排列组合问题的常用方法 （1）特殊优先法： 元素优先：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素. 位置优先：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置. （2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉. （3）相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列. （4）不相邻(相间)问题插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间. （5）定序问题逐一插空法： （6）相同元素隔板法. 自检自纠：1．（1） （2） 2.（1） （2） 二、专题训练： 题组一： 计数原理 例题： 1.高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有 种． 【解析】． 2.公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有种. 3.将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即不同的放法，故答案为：64． 练习： 1.六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有 种不同的报名结果. 【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法种． 2.六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有 种. 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有种可能. 3.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　　） A． B． C． D． 【解析】个号码中不含4、7的有， “优惠卡”的个数为，故选：． 4.同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（  ） A．     B．种      C．种    D．种 【解析】设四人分别为、、、，写的卡片分别为、、、，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故有三种拿法，不妨设拿了，则可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，和只能有一种拿法，所以共有种分配方式，故选：． 5.某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A．15种 B．12种 C．9种 D．6种 【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，总上可知共有种结果，故选：． 6.足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( ) A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选B. 题组二：排列问题 例题： 已知5男4女站成一排，则 （1）甲站正中间的排法有　 　种， （2）甲不站在正中间的排法有　 　种． （3）甲、乙相邻的排法有　 　种， （4）甲乙丙三人在一起的排法有　 　种． （5）甲站在乙前的排法有　 　种， （6）甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有　 　种， （7）丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有　 　种． （8）甲乙不站两头的排法有　 　种， （9）甲不站排头，乙不站排尾的排法种有　 　种． （10）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有　 　种． （11）女生互不相邻的排法有　 　种， （12）男女相间的排法有　 　种． （13）甲与乙、丙都不相邻的排法有　 　种． （14）甲乙之间有且只有4人的排法有　 　种． （15）若排成一圈，有 种不同的排法. 【解析】（1）甲站正中间的排法有 （2）甲不站在正中间的排法有 （3）甲、乙相邻的排法有 （4）甲乙丙三人在一起的排法有 （5）甲站在乙前的排法有 （6）甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 （7）丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 （8）甲乙不站两头的排法有 （9）甲不站排头，乙不站排尾的排法有 （10）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 （11）女生互不相邻的排法有； （12）男女相间的排法有 （13）甲与乙、丙都不相邻的排法有 （14）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法． （15）因为由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有 种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，所以共有种排法. 另法：若排成一圈，即弯曲排成一排，先一人站定，然后其余8人排列有种不同的排法． 练习： 1．（多选）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　 A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 【答案】CD 【详解】中，中，中，中． 综上可得：正确．故选：． 2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　 A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 【答案】B 【详解】可分3步． 第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有种排法， 第二步，位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法 第三步，2名老人之间的排列，有种排法 最后，三步方法数相乘，共有种排法.故选：． 3．已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　 A．360 B．288 C．216 D．96 【答案】B 【详解】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有种，不同的排列方法共有种，故选：． 4．已知12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　 A．168 B．20160 C．840 D．560 【答案】C 【详解】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法， 则不同调整方法的种数是．故选：． 5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有种放法，再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有种方法，故不同的排列方式有种，故选． 6．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】 【详解】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有种方法；剩下的一套全排列，有种方法；概率为：，故答案为：． 7．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　 A．36种 B．108种 C．216种 D．720种 【答案】D 【详解】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有，再将两组分别按要求排序，各有种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有种．故选：． 8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有　 　种（结果用数值表示）． 【答案】10 【详解】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金， 则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有.故答案为10 9．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 【答案】12600 【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是. 10．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是_____（用数字作答）. 【答案】90 【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题，可知不同的取法有种.故答案为：90. 题组三：排数问题 例题： 1．（多选）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．可以组成个三位数 B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C．在组成的三位数中，比大的个数为 D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 【答案】ABD 【详解】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数.对于A选项，可以组成个三位数，A对；对于B选项，因为，所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对；对于C选项，由题意可知，百位数字为或，所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错；对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小，即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，所以，百位上的数字最小的个数为个，D对.故选：ABD. 2．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　) A．512个 B．192个 C．240个 D．108个 【答案】D 【详解】由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D． 练习： 1．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个 【答案】648 【详解】因为百位不能为，所以百位共有种情况，再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，有种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.故答案为：. 2．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在、、种任选一个数，有种选择，其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为.故选：B. 3．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A．288 B．360 C．480 D．600 【答案】A 【详解】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有种取法，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法，则五位奇数共有，故选：A． 4．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】分两类：一、若五位数的个位数是，则有种情形；二、若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理可得种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为，应选答案B ． 5．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ） A．216 B．288 C．312 D．360 【答案】C 【详解】由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有种；当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有.综上可知，共有个.故选：C. 6．由数字0，1，2，3，4，5可以组成_________个是3的倍数，但不是5的倍数的四位数. 【答案】58 【详解】一个数是3的倍数需满足各位数之和是3的倍数，一个数是5的倍数需满足个位是0或者5， 从数字0，1，2，3，4，5中选四个数字出来，其中满足四个数字是3的倍数的有：0123，0135，0234，0345，1245，当选择的数字是0123时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是0135时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是0234时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是0345时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个，当选择的数字是1245时，能够组成个数，其中个位数是5的有个，所以满足题意的有个，综上：共有个，故答案为：58. 7．用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（ ） A．1260 B．1320 C．1200 D．1140 【答案】A 【详解】当没有偶数时，这样的四位数的个数为;当含有一个偶数时这个偶数为0时，这样的四位数的个数为;当这个偶数为其中一个时，这样的四位数的个数为.即满足题意的四位数的个数为.故选：A 8．从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数. 【答案】198 【详解】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，故答案为：198. 9．从1，3，5，7，9中任取2个不同的数字，从0，2，4，6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为___________.(用最简分数作答) 【答案】 【详解】若选出的个数中有，则组成的四位无重复的数字共有个，其中奇数有个；若选出的个数中无，则组成的无重复数字的四位数有个，其中奇数有个，所以，组成的四位数为奇数的概率为. 10．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________. 【答案】72 【详解】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；故符合条件的有；故答案为：． 题组四：组合问题 例题： 1．在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 【答案】 【详解】（1）恰有2件次品的抽法有种. （2）若一件次品都没有则，若只有1件次品，有，恰有2件次品的抽法有种， 则至多有2件次品的抽法有种. （3）若一件次品都没有，则，则至少有1件次品的抽法有种. （4）若恰有2件次品的抽法有种，若恰有3件次品的抽法有种，则至少有2件次品，2件正品的抽法有种. 2．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）.故答案为：. 3．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 【答案】69 【详解】从9个点中任取3个的全部组合数为，三角形三个边上三点共线的组合数为，所以能构成三角形的个数为.故答案为：. 练习： 1．某校开设A类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有(    ) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 【答案】B 【详解】从A类选修课中选两门有种选法，从类选修课中选两门有种选法，因此，共有种选法.故选：B. 2．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程，从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理，不同的选修方案有种.故选：B 3．学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【详解】选出的志愿者中，个女生个男生时，方法数有种，个女生个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.故选：B 4．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球，从中取个球，则有种取法．故选：D． 5．某博物馆需要从3名男生和5名女生中选取4名志愿者，则志愿者中至少有2名男生的不同选法的种数（   ） A．35 B．40 C．60 D．70 【答案】A 【详解】由题意可知：男生人数为2或3，若有2名男生，则不同选法的种数为；若有3名男生，则不同选法的种数为；所以不同选法的种数.故选：A. 6．春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种，再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片，共有种，因此所有不同的选法种数为种.故选：C 7．某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【详解】甲乙两位同学每人从乒乓球、羽毛球和篮球三门课中选择一门，共有种选课方法， 甲乙两位同学都未选乒乓球，共有种选课方法，则甲乙两位同学至少有一位同学选择了乒乓球，不同的选课方法共有种.故选：C. 8．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（   ） A．6种 B．8种 C．12种 D．15种 【答案】C 【详解】从物理、历史2门首选科目中选考1门，有种选择，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有种选择，故选考方案有种.故选：C 9．如图，三角形的每一边上都有两个点，在这9个点（包括三角形的顶点）中任取4个点，能构成四边形的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【详解】从这9个点中任选4个点共有种情况，当四点共线或三点共线时，均不能构成四边形，此时有种情况，所以能构成四边形的概率为：.故答案为： 10．已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【详解】不共线的三点确定一个圆，从10个点任选3个点取法有，故一共可画个圆内接三角形.故答案为： 题组五：分配问题 例题： 已知有6本不同的书,则： （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本，有 种不同的分法; 【解析】无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法. （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本，有 种不同的分法; 【解析】有序不均匀分配，共有(种)选法. （3）平均分成三份,每份2本，有 种不同的分法; 【解析】无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,顺序不同,因此只能作为一种分法,故有种. （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本，有 种不同的分法; 【解析】有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本，有 种不同的分法; 【解析】无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本，有 种不同的分法; 【解析】有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本，有 种不同的分法; 【解析】直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. （8）分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有 种分法； 【解析】6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种； （9）分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有 种分法； 【解析】先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种. （10）全部分给甲乙丙丁四人，每个同学至少有一本书，共有 种分法. 【解析】根据题意,将6本书分成4组，共有2种不同比例：按1：1：1：3分，有种分组方法，若分成1:1:2:2，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的四组全排列，对应4名学生，有种情况，则有种分法. （11）全部分给甲乙丙三人，不必每人都得，共有 种分法； 【解析】根据题意，若6本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有种. 练习： 1．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法. 【解析】分2步进行分析：①先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有种情况，则有种不同的安排方式.故答案为：150. 2．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 【解析】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有种选法；剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有种选法，由乘法原理得分配方案有种． 3．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种，故答案为660. 4．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答） 【解析】将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为，每个乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A的个数是,所以概率是. 5．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 【解析】如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有： 种，如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有： 种，由加法原理可得：不同分配方法数为种.本题选择C选项. 6．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ） A．116 B．100 C．124 D．90 【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有种分组方法，故有种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去医疗点，可分配到医疗点中的一个，有种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有种分配方法，则有种分配方法．根据分步计数原理，共有种分配方法．故选：B． 7．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ） A．10 B．12 C．14 D．24 【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：①甲分配到班：有种分配方案；②甲不分配到班：有种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.故选：. 8．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ． 【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种. 9．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【解析】按3人分到3所不同学校和3人分到2所不同学校分类，共有种. 10．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A． B． C． D． 【解析】号、号与号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有种选法，都比24大时，有种选法，合计30种选法，号、号与在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C. 题组六：染色问题 例题： 1．如图，从左到右有5个空格.若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色. （1）现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有 不同的涂法，其中恰用2色的有 不同的涂法，恰用3色的有 不同的涂法； 【答案】48，6，42 【解析】有3色可选时有种涂法,其中恰用2色的有种，恰用3色的有种（并区法:设从左到右5个空格分别为A，B，C，D，E，在允许同色的情况下将5个格合并成三个区域有以下7种情况：1.ACE，B，D；2.AC，BD，E；3.AC，BE，D;4.AD，BE，C;5.AD，CE，B;6.AE，BD，C；7.A，BD，CE，每种都有，故恰用3色的涂色方法有种）. （2）若有4种颜色可供使用，有 不同的涂法，若有5颜色可供使用有 不同的涂法. 【答案】324，1280 【解析】有4色可选时有种；有5色可选时有种. 2．如图，给由A，B，C，D四个区域构成的闭环图染色，要求相邻区域不同色. 若有3颜色可供使用，问一共有 种不同的染色方法. 【答案】18 【解析】有3色可选时有种涂法,其中恰用2色的有种，恰用3色的有种（并区法:设从左到右5个空格分别为A，B，C，D，在允许同色的情况下将4个区域合并成三个区域有以下2种情况：1.AD，B，C；2.BC，A，D，每种都有种，故恰用3色的涂色方法有种）. 3.如图，给有A，B，C，D，E五个区域构成的闭环图染色，若有3种颜色可供使用，有 不同的涂法；若有4种颜色可供使用，有 不同的涂法. 【答案】30，120 【解析】有3色可选时有种；有4色可选时有种. 练习： 1．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是 . 【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有种方法，后3个圆也有3种颜色，有种方法，此时不同方法有6×4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有方法.综上可知，所有的涂法共有种方法.故答案为： 120 2．现将如图所示的个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中个涂红色， 个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有 种(用数字作答). 【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有，当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有，则不同的涂法种数共有种．故答案为：6． 3．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花可供选择，则不同的种植方法有 种. 【解析】先对部分种植，有4种不同的种植方法；再对部分种植，又3种不同的种植方法；对部分种植进行分类：①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，共有（种），综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72. 4. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种. 【答案】120 【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；所以共有种 栽种方法.故答案为：120 5.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 . 【答案】84 【详解】种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84． 6．如图所示五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为____． 【答案】84 【详解】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有种涂法；（2）用三种颜色涂色，有种涂法；（3）用两种颜色涂色，有种涂法；所以共有涂色方法.故答案为：84 7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）. 【答案】420 【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420. 8．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答） 【答案】96 【解析】解法一：种；解法二：（并区法）种. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个．故选：D 2．四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有（ ）种. A．12 B．64 C．81 D．7 【答案】C 【详解】每个同学都有三种选择，故总方法数为.故选：C 3．一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（    ） A．24 B．48 C．16 D．12 【答案】B 【详解】安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为.故选：B. 4．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】D 【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选； 第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案.故选：D. 5．已知3名男同学，2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（    ） A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种 【答案】A 【详解】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有种排法； 当有1名女生排在一端，另一端排男生时，共有种排法； 当男生排在两端时，共有种排法；故不同的排法共有（种），故选：A 6．2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 【答案】A 【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种， 故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，故选：A 7．某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（    ） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】D 【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种；（2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种.因此一共种.故选：D 8．年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列即可，有种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；不同的分析情况共有种．故选：A. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【详解】(直接法)先排第一位，有种方法，再排后三位有种方法，所以共有种排法； (间接法)先进行全排列共有种排法，首位是的排法为,所以共有－排法，故选： 10．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 【答案】ACD 【详解】解：由题意得：对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.故选：ACD 11．我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（　　） A．某学生从中选3类，共有56种选法 B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有种排法 C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法 D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法 【答案】ABD 【详解】选项A，某同学从中选3类，共有(种)选法，A正确；选项B，若“X”“T”不相邻，剩余6类排列方法为，形成7个空，则“X”“T”填入7个空的方法为，所以共有种排法，B正确；选项C，先排列“S”“C”“I”三科，则有2种排列方法，3科形成整体与剩余5科再进行全排列，则有种排列方法，所以共有(种)排法，C错误；选项D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法，则共有种排法，D正确．故选：ABD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是 ．（用具体数字作答） 【答案】10 【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.②丙选择两名男子：.所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10. 13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲､乙，丙､丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案.（用数字作答） 【答案】36 【详解】根据题意，先将4名志愿者分成3组，有1种分组方法，即分成1、1、2的三组，有种方法，再将分好的三组对应3个不同的场馆，有种情况，则共有种分配方案. 14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 【答案】420 【详解】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有种， 用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有种，用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有种， 所以不同的着色方法共有（种）.故答案为：420 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 排列组合问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题09 排列组合问题 一、知识填空： 1．计数原理： （1）分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． （2）分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 2.排列数组合数公式： （1） （2） 3.求解排列组合问题的常用方法 （1）特殊优先法： 元素优先：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素. 位置优先：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置. （2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉. （3）相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列. （4）不相邻(相间)问题插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间. （5）定序问题逐一插空法： （6）相同元素隔板法. 自检自纠：1．（1） （2） 2.（1） （2） 二、专题训练： 题组一： 计数原理 例题： 1.高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有 种． 2.公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 3.将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_______． 练习： 1.六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有 种不同的报名结果. 2.六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有 种. 3.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　　） A． B． C． D． 4.同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（  ） A．      B．种      C．种     D．种 5.某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A．15种 B．12种 C．9种 D．6种 6.足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( ) A．种 B．种 C．种 D．种 题组一：排列问题 例题： 已知5男4女站成一排，则 （1）甲站正中间的排法有　 　种， （2）甲不站在正中间的排法有　 　种． （3）甲、乙相邻的排法有　 　种， （4）甲乙丙三人在一起的排法有　 　种． （5）甲站在乙前的排法有　 　种， （6）甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有　 　种， （7）丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有　 　种． （8）甲乙不站两头的排法有　 　种， （9）甲不站排头，乙不站排尾的排法种有　 　种． （10）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有　 　种． （11）女生互不相邻的排法有　 　种， （12）男女相间的排法有　 　种． （13）甲与乙、丙都不相邻的排法有　 　种． （14）甲乙之间有且只有4人的排法有　 　种． （15）若排成一圈，有 种不同的排法. 练习： 1．（多选）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　 A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　 A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 3．已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　 A．360 B．288 C．216 D．96 4．已知12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　 A．168 B．20160 C．840 D．560 5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　 A． B． C． D． 6．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 7．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　 A．36种 B．108种 C．216种 D．720种 8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有　 　种（结果用数值表示）． 9．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 10．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是_____（用数字作答）. 题组二：排数问题 例题： 1．（多选）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．可以组成个三位数 B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C．在组成的三位数中，比大的个数为 D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 2．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　) A．512个 B．192个 C．240个 D．108个 练习： 1．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个 2．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A． B． C． D． 3．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A．288 B．360 C．480 D．600 4．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ） A．216 B．288 C．312 D．360 6．由数字0，1，2，3，4，5可以组成_________个是3的倍数，但不是5的倍数的四位数. 7．用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（ ） A．1260 B．1320 C．1200 D．1140 8．从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数. 9．从1，3，5，7，9中任取2个不同的数字，从0，2，4，6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为___________.(用最简分数作答) 10．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________. 题组三：组合问题 例题： 1．在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 2．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 3．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 练习： 1．某校开设A类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有(    ) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 2．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 4．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 5．某博物馆需要从3名男生和5名女生中选取4名志愿者，则志愿者中至少有2名男生的不同选法的种数（   ） A．35 B．40 C．60 D．70 6．春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 7．某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 8．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（   ） A．6种 B．8种 C．12种 D．15种 9．如图，三角形的每一边上都有两个点，在这9个点（包括三角形的顶点）中任取4个点，能构成四边形的概率为 （用最简分数表示） 10．已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 题组四：分配问题 例题： 已知有6本不同的书,则： （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本，有 种不同的分法; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本，有 种不同的分法; （3）平均分成三份,每份2本，有 种不同的分法; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本，有 种不同的分法; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本，有 种不同的分法; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本，有 种不同的分法; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本，有 种不同的分法; （8）分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有 种分法； （9）分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有 种分法； （10）全部分给甲乙丙丁四人，每个同学至少有一本书，共有 种分法. （11）全部分给甲乙丙三人，不必每人都得，共有 种分法； 练习： 1．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法. 2．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 3．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 4．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答） 5．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 6．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ） A．116 B．100 C．124 D．90 7．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ） A．10 B．12 C．14 D．24 8．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ． 9．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 10．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A． B． C． D． 题组五：染色问题 例题： 1．如图，从左到右有5个空格.若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色. （1）现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有 不同的涂法，其中恰用2色的有 不同的涂法，恰用3色的有 不同的涂法； （2）若有4种颜色可供使用，有 不同的涂法，若有5颜色可供使用有 不同的涂法. 2．如图，给由A，B，C，D四个区域构成的闭环图染色，要求相邻区域不同色. 若有3颜色可供使用，问一共有 种不同的染色方法. 3.如图，给有A，B，C，D，E五个区域构成的闭环图染色，若有3种颜色可供使用，有 不同的涂法；若有4种颜色可供使用，有 不同的涂法. 练习： 1．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是 . 2．现将如图所示的个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中个涂红色， 个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有 种(用数字作答). 3．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花可供选择，则不同的种植方法有 种. 4. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种. 5.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 . 6．如图所示五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为____． 7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）. 8．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答） 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 2．四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有 A．12 B．64 C．81 D．7 3．一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（    ） A．24 B．48 C．16 D．12 4．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 5．已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（    ） A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种 6．2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 7．某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（    ） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 8．年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．－ 10．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 11．我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（　　） A．某学生从中选3类，共有56种选法 B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有种排法 C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法 D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是 ．（用具体数字作答） 13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲､乙，丙､丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案.（用数字作答） 14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$