专题12 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题12 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之半角模型 1 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 15 26 模型1.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 例2．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 例3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 2．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 4．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 6．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值； 【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 相似三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之半角模型 1 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 15 26 模型1.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可； （3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， 解得：， ； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； 综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 例2．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 【答案】【探究一】见解析 【探究二】见解析 【探究三】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】【探究一】根据旋转的性质证明，即可得证； 【探究二】根据正方形的性质和全等的性质证明，在结合公共角，可证； 【探究三】先根据正方形对角线性质及可证得，得出，，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上，得出，根据全等的性质得出，进而可得，由此可证，最后根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【探究一】证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【探究二】证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【探究三】∵、是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 模型2.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等与相似是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【答案】【问题解决】见解析；【拓展探究】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】[问题解决]先证明，得到，进而得到，根据两直线平行同旁内角互补，得到； [拓展探究]延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】[问题解决] 证明：，， ． ， ． ． ． ． [拓展探究] 延长到G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 例3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可； （）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （）根据（）中的结论证明即可得证； 证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； 解：，理由如下， 如图，∵，，，四点共圆， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 1．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 (3)四边形周长的最小值为 (4)；， 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形，全等三角形，等边三角形，相似三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据等边三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）根据全等三角形的性质，则，，得到四边形周长为：，根据，则当时，四边形周长值最小，根据菱形的性质，勾股定理的运用，即可； （4）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴是等边三角形． （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵是正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴，， ∴四边形周长为： ∵ ∴当时，四边形周长值最小， 四边形是菱形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长为：． （4）∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴图中始终与相似的三角形有个； 当与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当且相似比为， ∴， 设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴． 2．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ，， ，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， ，，，，， ，， 即，∽，， ，，∽，， 成立如图3， ，，又，，， ，， 即，∽，， ，，∽，，． 由有，∽， ，，， 如图4图5图6，连接EF．在中，，，， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，，，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，，， ，或（舍），综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）10；（2），理由见解析：（3）26 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．即可求解； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程，再求出四边形的面积即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 由旋转得：， ，，，， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：10； （2）， 理由如下：如图②，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ， ， ， 又，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （3）如图③，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 在矩形中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解； ②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解． 【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，， ，，，， ，，∴∠EDF，， 在和中，，∴， ， ，即； （），理由如下：过点作于，于， ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，，，，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，，设，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， 又，，，， ； 当点在的延长线上时，如图5，，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，， 设，，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点，∴， 由（2）得，∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴，∴，∴∴，∴， ∵，代入得，∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴， ∴如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当当，可得到，证明方法同法（2）； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】（1）延长到点G，使， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 延长到点G，使， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接． 则：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形． 6．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值； 【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析；（2）的最小值为；（3）点运动的路程为． 【分析】（1）过点作于，于，可证得，得出，再由，，得出：，，可得：，，则，，结合已知即可求得答案；（2）设，，，过点作于，可证得，得出，进而推出，，则，即可求得答案；（3）确定以下几个关键点时点的位置：当点在点处时，当点运动到点处时，当点在边上时，即可求得答案． 【详解】解：（1）结论：，理由：如图1，过点作于，于， 则，四边形是矩形，， ，四边形是矩形，，，， 由旋转得：，，即， ，，，为中点，， ∵，，，， ，，，， ，，，； （2）当时，，设，，，过点作于，如图2， 则，，，， ，，，， ，，， ，点在边上，，即，， ，的最小值为； （3），，， 在中，，为中点，， 当点在点处时，如图3，，，， ，即，， 的中点为，；当点运动到点处时，如图4， 是斜边的中点，，，，， ，即，，的中点为，，；当点在边上时，如图5，过点作于， 则，，， 点运动的路程为． 【点睛】本题是矩形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，要求学生有较强的识图和逻辑思维能力，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$