重难点01 平行四边形的性质与判定（9大题型+18道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

专题01 平行四边形的性质与判定重难点题型专项训练 9大题型 题型一 利用平行四边形的性质与判定求角度 1．如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ． 【答案】35°． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DE∥BF， ∵DF∥BE， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴∠EBF=∠1， ∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于E， ∴∠EBF =35°， ∴∠1=35°， 故答案为35°． 3．如图，四边形是平行四边形，点E，F分别为线段的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 题型二 利用平行四边形的性质与判定求线段 4．如图，在平行四边形中，的平分线BE交于点，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得CD∥AB，AB＝CD＝7cm，可得∠CEB＝∠EBA，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠EBC＝∠CEB，可得CE＝CB，即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD∥AB，AB＝CD＝7cm， ∴∠CEB＝∠EBA ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE＝∠EBC ∴∠CEB＝∠CBE ∴CE＝BC＝3cm ∴DE＝CD−CE＝4cm 故选：C． 5．如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 题型三 利用平行四边形的性质与判定求线段的和 7．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　 　) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6， ∴∠F=∠DCF， ∵∠C平分线为CF， ∴∠FCB=∠DCF， ∴∠F=∠FCB， ∴BF=BC=8， 同理：DE=CD=6， ∴AF=BF−AB=2，AE=AD−DE=2 ∴AE+AF=4 故选C 8．如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（　　） A．8 B． C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，延长分别交于G、H，易得四边形是平行四边形，是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出即可． 【详解】解：延长分别交于G、H， 则由，，， 四边形是平行四边形， ∴， 是等边三角形，， 是等边三角形， ∴， 又的周长为18， ∴， 故选：C． 题型四 平行四边形的性质与判定与面积 9．如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：C． 10．如图，平行四边形的对角线相交于点O，若，，，则平行四边形的面积为 ．    【答案】24 【分析】作交的延长线于点E，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点E，如图所示，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：． 11．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 题型五 利用平行四边形的性质与判定进行判断 12．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上） 【答案】③ 【分析】本题考查了轴对称图形的基本特征，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称以及平行，证明，知道，结合，知道四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质判断即可． 【详解】是四边形的对称轴， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， 又， ， 故①②④正确，③错误； 所以答案是③． 13．如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 【答案】②③①④ 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，即，则可证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】证明：延长到点F，使，连接， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：②③①④． 题型六 利用平行四边形的性质与判断进行证明 14．四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握一行四边形的性质是解答本题的关键． 由题中结论可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，对角线互相平分 ∴B、C、D均正确， 而A选项，但并不一定，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 15．如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形． ∴图中共有个平行四边形9个． 故选：D． 16．下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，△ABC． 求作：直线AD，使AD∥BC． 作法：如图2：   ①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F； ②作直线EF，交AC于点O； ③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB； ④作直线AD． ∴ 直线AD就是所求作的平行线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ＯA =OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形( )（填推理依据）． ∴AD∥BC( )（填推理依据）． 【答案】 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形对边平行 【分析】根据平行四边形的判定及性质依次判断即可. 【详解】证明：连接CD， ∵OA=OC， OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)， ∴AD∥BC (平行四边形的对边平行)， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行. 17．如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 题型七 平行四边形的性质与判定求周长问题 18．如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（   ）    A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的和判定和性质．由于，，则可以推出四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明的周长等于． 【详解】解：∵，， 则四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ，， 所以：的周长等于． 故选：B． 题型八 平行四边形的性质与判定的实际应用 19．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【答案】C 【分析】构造四边形FEPP′为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 【详解】作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， ∴四边形FEPP′为平行四边形，∴P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故选：C． 20．如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 21．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1） ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 题型九 利用平行四边形的性质与判定解决动点问题 22．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点运动路线是，（2）点运动路线是，（3）点运动路线是，（4）点运动路线是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，则，， 当时，以四点组成的四边形是平行四边形 （1）点运动路线是，则，， 则，解得，不合题意； （2）点运动路线是，则， 则，解得； （3）点运动路线是，则， 则，解得； （4）点运动路线是，则， 则，解得 综上，则的所有可能取值为4.8或8或9.6． 故选：D． 23．如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则 秒后四边形成为一个平行四边形． 【答案】2 【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解． 【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形， 则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t， ∵AD∥BC， ∴AP∥BQ， 当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t=6-2t， ∴t=2， 当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合． 综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形． 故答案为：2． 24．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 培优训练 1．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在中，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形是性质，勾股定理；由平行四边形的性质得，，，由勾股定理得，，即可求解；掌握平行四边形是性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴， 在中， ， ． 3．如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 4．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质得，再结合可得，接下来说明是等边三角形，然后得出，进而得出，即可得出答案； 对于（2），由（1），得，再根据平行四边形的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：． ∵是等边三角形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 6．如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明． 【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 7．如图，在 中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的画法、平行四边形的性质等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接交点与点A交于点E，AE即为所求； （2）先根据平行四边形的性质得出，得出，由角平分线的性质得出，所以，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）相等，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 9．如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵垂直平分 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴． 10．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，围成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 12．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 13．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 14．如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 15．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．当的值为多少时，以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的几何应用，分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：①当为平行四边形的边，则在点左侧，，， ∵， ∴， 解得； ②当为平行四边形的对角线，则在点右 侧，，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或时，以为 顶点的四边形为平行四边形． 16．如图，在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分别交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)连接，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． （1）根据平行四边形的性质进行推导即可解题； （2）证明，然后得到，，进而得到，过点作交延长线于，由，则可得到为平行四边形，然后在等腰直角中利用勾股定理计算解题； （3）过点作，交延长线于，证明，，得到是等腰直角三角形，然后利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， （2）， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作交延长线于，由， ∴为平行四边形 为等腰直角三角形，，， ； （3）过点作，交延长线于， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 17．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    18．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得：，，根据即可求证； （2）分类讨论 两种情况，画出图形即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵，， ∴， ∵ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）解：时，如图所示： 则， ∴， ∴ 由（1）得：， ∴， 解得：； 时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行四边形的性质与判定重难点题型专项训练 9大题型 题型一 利用平行四边形的性质与判定求角度 1．如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（   ）． A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ． 3．如图，四边形是平行四边形，点E，F分别为线段的中点．若，求的度数． 题型二 利用平行四边形的性质与判定求线段 4．如图，在平行四边形中，的平分线BE交于点，则的长是（  ） A． B． C． D． 5．如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 题型三 利用平行四边形的性质与判定求线段的和 7．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　 　) A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（　　） A．8 B． C．6 D．9 题型四 平行四边形的性质与判定与面积 9．如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 10．如图，平行四边形的对角线相交于点O，若，，，则平行四边形的面积为 ．    11．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 题型五 利用平行四边形的性质与判定进行判断 12．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上） 13．如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 题型六 利用平行四边形的性质与判断进行证明 14．四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D．对角线互相平分 15．如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 16．下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，△ABC． 求作：直线AD，使AD∥BC． 作法：如图2：   ①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F； ②作直线EF，交AC于点O； ③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB； ④作直线AD． ∴ 直线AD就是所求作的平行线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ＯA =OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形( )（填推理依据）． ∴AD∥BC( )（填推理依据）． 17．如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 题型七 平行四边形的性质与判定求周长问题 18．如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（   ）    A．5 B．10 C．15 D．20 题型八 平行四边形的性质与判定的实际应用 19．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 20．如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 21．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    题型九 利用平行四边形的性质与判定解决动点问题 22．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 23．如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则 秒后四边形成为一个平行四边形． 24．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 培优训练 1．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 2．如图，在中，，，，求的长度． 3．如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 4．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 5．如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 6．如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 7．如图，在 中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 8．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 9．如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 10．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 11．学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 12．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 13．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 14．如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 15．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．当的值为多少时，以为顶点的四边形为平行四边形？ 16．如图，在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分别交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)连接，证明：． 17．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 18．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$