2.2.1 平行四边形的性质（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

2.2.1平行四边形的性质 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 4．如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 题型二 利用平行四边形的性质证明 1．如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    4．如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 题型三 平行四边形性质的其它应用 1．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 2．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 3．如图，▱ABCD中，BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，则▱ABCD的面积为 ． 4．如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成 3、5 两段，那么这个平行四边形的周长为 ． 5．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    1．如图，已知在平行四边形中，．求证：． 2．如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 3．如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 4．已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 5．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 6．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 7．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：AE=CF； （2）若平行四边形ABCD的面积是12，△OCF的面积是2，求△ADF的面积．      8．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1平行四边形的性质 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 3．如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 题型二 利用平行四边形的性质证明 1．如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握性质是解题关键．平行四边形的性质：①两组对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③对角线互相平分． 【详解】A、平行四边形邻边不一定相等，故选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定垂直，故选项不符合题意； C、平行四边形对边相等，故选项符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．根据四边形内角和可得的度数，再根据平行四边形的性质即可得的度数． 【详解】解：，， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故选C． 3．如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    【答案】/90度 【分析】根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 4．如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 题型三 平行四边形性质的其它应用 1．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等， 故选：D． 2．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 【详解】∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 3．如图，▱ABCD中，BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，则▱ABCD的面积为 ． 【答案】48 【分析】由勾股定理求出AC＝8，再由平行四边形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵BC＝8，AB＝10，BC⊥AC， ∴AC＝， ∴▱ABCD的面积＝BC×AC＝8×6＝48； 故答案为：48． 4．如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成 3、5 两段，那么这个平行四边形的周长为 ． 【答案】26 或 22 【分析】根据题意可证明AE=AB，由于一边被分成了3、5两段，可分两种情况讨论，一是AE=5，DE=3，二是AE=3，DE=5，再计算平行四边形的周长即可． 【详解】解：设平行四边形ABCD，BE平分∠ABC∠AD于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠AEB=∠EBC， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC ∴∠AEB=∠ABE ∴AE=AB 根据题意，可分如下两种情况， ①当AE=5，DE=3时，如图1所示， 则AD=3+5=8，AB=AE=5 ∴平行四边形的周长为：2（8+5）=26， ②当AE=3，DE=5时， 则AB=AE=3，AD=3+5=8， ∴平行四边形的周长为：2（8+3）=22 故答案为：22或26． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及平行四边形周长的计算，解题的关键是画出图形，分类讨论． 5．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 1．如图，已知在平行四边形中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键，首先根据平行四边形的形质可得，，，再由题意可得，最后根据全等三角形的判定得出，即可证出． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ． 2．如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵且交的延长线于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 【答案】见解析 【分析】过点B作BD⊥AN交AM于点D，分别以B，D为圆心，AD，AB为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，CD，四边形ABCD即为所求． 【详解】解：解：如图，平行四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，作出BD⊥AN是解本题的关键． 4．已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质． 由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：猜想，， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 5．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解： ，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 6．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：AE=CF； （2）若平行四边形ABCD的面积是12，△OCF的面积是2，求△ADF的面积．      【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】（1）通过平行四边形的性质和平行线的性质得出，，然后利用SAS证明，则结论可证． （2）过点A作AG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，首先证明，然后得出，然后利用面积之间的关系得出， ，最后利用即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， 在和中， ； （2）如图，过点A作AG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，    ， ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， 在和中， ． 底相等，高也相等，所以面积也相等， ． 底相同，高相等，所以面积也相等， ． 8．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$